26 - Esercizi di riepilogo e di complemento
Calcolo degli integrali doppi
Parte I
1. Calcolare l’integrale doppio
D ( x + y) dx dy dove D `e uno dei seguenti domini:
a) il semicerchio di raggio r con centro nell’origine e posto dalla parte delle ordinate non negative;
b) l’insieme dei punti ( x, y) tali che x 2 /a 2 + y 2 /b 2 1, x 0, y 0.
[
a) 2 3 r
3; b) 1
3 ab(a + b)
2. Calcolare l’integrale doppio
D ( x 2 − xy) dx dy dove D `e uno dei seguenti domini:
a) l’insieme dei punti ( x, y) delimitato dalla parabola y 2 = 4 x e dalla retta x = 4;
b) il triangolo delimitato dalla rette y = 0, y = x, x + y = 1.
[
a) 1024 7 ; b) 5
96
3. Calcolare l’integrale doppio
D y dx dy
dove D `e il dominio quadrato di vertici V 1 , (1, 0), V 2 (2 , 1), V 3 (1 , 2), V 4 (0 , 1).
[ [2]
4. Calcolare l’integrale doppio
D xy dx dy dove D `e uno dei seguenti domini:
a) l’insieme limitato racchiuso dalle parabole y = 2x 2 − 4x, y = 2x − x 2 ;
b) l’insieme dei punti di ordinata non negativa e delimitato dalle parabole y 2 = 4 x, y 2 = 5 − x e dal segmento 0 x 5 dell’asse delle x.
[
a) − 8 5 ; b) 10
5. Calcolare l’integrale doppio
D ( x − 2y) dx dy
dove D `e il dominio contenuto nel primo quadrante, limitato dalla circonferenza x 2 + y 2 = r 2 , dall’ellisse x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 , (r < a, r < b) e gli assi x e y.
[
1
3 [ab(a − 2b) + r
3]
1
6. Calcolare l’integrale doppio
D x
1 − x 2 d x dy
dove D `e la parte di quadrato 0 x 1, 0 y 1 non interna all’iperbole equilatera di equazione xy = 1/2.
[
16 − 9 √ 3
48 + π
12
7. Calcolare l’integrale doppio
D y dx dy
dove D `e il dominio delimitato dal quarto
AB di circonferenza di centro il punto Q(1, 1), raggio 1 , e dai segmenti BC, CE, EF, F A, dove A(1, 0), B(0, 1), C(−1, 1), E(−1, 0), F (0, −1).
[
1 − π 4
8. Calcolare l’integrale doppio
D f(x, y) dx dy dove
f(x, y) =
x(y − x)y −2 se 0 x < y
0 se x y
e D `e il quadrato di vertici O(0, 0), A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1).
[
1 12
9. Calcolare l’integrale doppio
D x dx dy
dove D `e il dominio limitato racchiuso dalla curva γ di equazione x 3 + x 2 − y 2 = 0 e dalla retta x = 1.
[
8 105 (11 √
2 − 8)
10. Sapendo che
D y dx dy = 1
0 d x
(3−x)/(2−x)
1 y dy
determinare il dominio D. Calcolare poi l’integrale doppio invertendo l’ordine delle integrazioni.
[
1 4 + log 2
11. Calcolare l’integrale doppio
D sign( x 2 − y 2 − 1) dx dy dove D `e il cerchio x 2 + y 2 3 e
sign( x 2 − y 2 − 1) =
1 se x 2 − y 2 − 1 > 0 0 se x 2 − y 2 − 1 = 0
−1 se x 2 − y 2 − 1 < 0 [
2
2 √
2 − 3π + 12 arcsin 1
√ 3 − 2 log(1 + √ 2)
2
12. Calcolare l’integrale doppio
D E(x + y) dx dy
dove E(x + y) denota la parte intera di x + y e D `e il quadrato 0 x 1, 0 y 1.
[
1 2
13. Calcolare l’integrale doppio
D E(x − y) dx dy
dove E(x − y) denota la parte intera di x − y e D `e il cerchio x 2 + y 2 1.
[
− π 2
14. Calcolare l’integrale doppio
D
E(y − x 2 ) + 1 d x dy
dove E(y − x 2 ) denota la parte intera di y − x 2 e D `e il rettangolo 0 x 1, 0 y 5 2 . [
4 + 7 √ 2 + √
6 6
