27 - Esercizi di riepilogo e di complemento
Calcolo degli integrali doppi
Parte II - Cambiamento di variabili
1. Calcolare l’integrale doppio
D x dx dy
dove D `e il quarto di corona circolare di centro l’origine e raggi 1 e 2 contenuta nel primo quadrante.
[
7 3
2. Calcolare l’integrale doppio
D
x + y
x 2 + y 2 d x dy
dove D `e la parte di corona circolare di centro l’origine, raggi a e b (a < b), contenuta nel primo e secondo quadrante.
[ [2( b − a)]
3. Calcolare l’integrale doppio
D
1 − x 2 − y 2 1 + x 2 + y 2 d x dy
dove D `e il dominio x 2 + y 2 1, x 0, y 0.
[
π(π − 2) 8
4. Calcolare l’integrale doppio
D ( x 2 − y 2 ) d x dy dove D `e il semicerchio x 2 + y 2 − 2rx 0, y 0 (r > 0).
[
π 2 r
4
5. Calcolare l’integrale doppio
D ( x 2 + y 2 − 2y − 3) dx dy
dove D `e la corona circolare limitata dalle due circonferenze x 2 + y 2 − 4x − 2y + 4 = 0, x 2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0.
[
15 2 π
6. Calcolare l’integrale doppio
D arcsin( x 2 + y 2 ) d x dy
dove D `e il dominio delimitato dalla curva γ di equazione (x 2 + y 2 ) 3 − y 2 = 0 , y 0.
[
4 − π 2
1
7. Calcolare l’integrale doppio
D
tg 2 ( x + y)
tg( x + y) + 1 d x dy
dove D `e il dominio |x| + |y| π 6 .
[
π 6
− π
6 + log 3 + √
√ 3 6
8. Con un cambiamento di variabili conveniente, calcolare l’integrale doppio
D y dx dy
dove D `e il dominio quadrato di vertici V 1 (1 , 0), V 2 (2 , 1), V 3 (1 , 2), V 4 (0 , 1).
Confrontare il risultato con quello dell’esercizio 3 della parte I.
[ [2]
9. Calcolare l’integrale doppio
D f(xy) dx dy
dove D `e il dominio delimitato dalle iperboli γ 1 : xy = k 1 , γ 2 : xy = k 2 , dalle rette r 1 : y = m 1 x, r 2 : y = m 2 x, con k 1 < k 2 , 0 < m 1 < m 2 , x > 0, y > 0.
Applicare la formula ottenuta per calcolare l’integrale doppio
D
xy + 1
x 2 y 2 + 1 d x dy [
1 2 log m
2m
1 k2 k1f(u) du; 1 2 log 2
− π
4 + arctg3 + 1 2 log 5
