il sottospazio generato dai vettori u

26 Febbraio 2019

Esame scritto di Geometria per Ingegneria (lettera P-Z, Salvatore) Svolgere i seguenti esercizi, spiegando chiaramente i procedimenti svolti.

1) Sia U ⊂ R

il sottospazio generato dai vettori u

= (1, 0, 0, 1) e u

= (0, 1, 1, 0). Sia V ⊂ R

lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo

( x

+ x

= 0 x

+ x

= 0

(a) Si determini la dimensione e una base dell’intersezione U ∩ V (b) Si determini la dimensione e una base della somma U + V .

(c) Si scriva, se possibile, il vettore w = (0, 1, 0, 1) come w = u + v con u ∈ U e v ∈ V .

2) Si consideri lo spazio vettoriale V dei polinomi di grado minore o uguale a 2.

Sia f : V → V la trasformazione lineare definita da f (p(x)) = (x − 1)p

(x) Per esempio f (x

) = (x − 1)(2x) = 2x

− 2x.

(a) Determinare la matrice di f rispetto alla base {x

, x, 1}.

(b) Determinare dimensioni e basi di Ker(f ) e Im(f ).

(c) Determinare tutti i polinomi q(x) ∈ V , se esistono, tali che f (q(x)) = x

− 1.

3) Nello spazio euclideo con riferimento monometrico ortogonale siano dati la retta r, passante per il punto P = (3, 0, 1), con vettore direttore v = (2, −1, 1) e la retta s, di equazioni cartesiane z = −y = −x.

(a) Determinare se le rette r e s sono parallele, incidenti o sghembe. Deter- minare inoltre se sono tra loro ortogonali.

(b) Determinare l’equazione cartesiana del piano π parallelo a r e s passante per il punto (3, 2, 1).

(c) Determinare la distanza del piano π dall’origine degli assi.

4) Dopo aver calcolato la matrice prodotto M = 1 2 4

· 1 1 1
(a) Calcolare gli autovalori di M .

(b) Per ogni autovalore di M si trovi una base ortonormale del relativo au- tospazio.

(c) Si dica se M ` e diagonalizzabile.