α) il sistema di vettori u

(1)

Si consideri un sistema di vettori u

1

, . . . , u

h

in uno spazio vettoriale V . A lezione abbiamo dimostrato che sono equivalenti le seguenti proprieta’:

α) il sistema di vettori u

1

, . . . , u

h

e’ linearmente dipendente;

β) tra i vettori u

1

, . . . , u

h

c’e’ un vettore u

i

che dipende linearmente dai rimanenti vettori u

₁

, . . . , ˆ u

_i

, . . . , u

_h

(l’accento su u

_i

sta a significare che u

_i

non appartiene al sistema u

1

, . . . , ˆ u

i

, . . . , u

h

, cioe’ che e’ stato tolto dal sistema u

1

, . . . , u

h

cui appartiene);

γ) tra i vettori u

1

, . . . , u

h

c’e’ un vettore u

i

tale che

Span(u

1

, . . . , u

h

) = Span(u

1

, . . . , ˆ u

i

, . . . , u

h

).

Definizione

Un vettore u

i

come nella proprieta’ γ) si dice sovrabbondante rispetto al sistema di vettori u

₁

, . . . , u

_h

.

Un criterio operativo per riconoscere un vettore sovrabbondante e’ il seguente Corollario Sia u

i

un vettore del sistema di vettori u

1

, . . . , u

h

. Allora u

i

e’ sovrabbondante rispetto al sistema u

₁

, . . . , u

_h

se e solo se esistono pesi a

₁

, . . . , a

_i

, . . . , a

_h

con a

i

6= 0 tali che a

1

u

1

+ · · · + a

i

u

i

+ · · · + a

h

u

h

= 0.

Dimostrazione del Corollario. Cominciamo con il supporre che il vettore u

i

sia sovrabbondante, e per semplificare le notazioni supponiamo che i = 1. Allora sap- piamo che Span(u

1

, u

2

, . . . , u

h

) = Span(u

2

, . . . , u

h

). Quindi u

1

e’ un elemento di Span(u

₂

, . . . , u

_h

), e percio’, secondo opportuni pesi a

₂

, . . . , a

_h

possiamo scrivere u

₁

= a

2

u

2

+ · · · + a

h

u

h

, cioe’

u

₁

− a

₂

u

₂

− · · · − a

_h

u

_h

= 0.

E questa e’ una relazione tra i vettori u

1

, . . . , u

h

in cui u

1

appare con peso diverso da 0 (in questo caso il peso e’ 1).

Viceversa supponiamo che esista una relazione del tipo a

₁

u

₁

+ a

₂

u

₂

+ · · · + a

_h

u

_h

= 0 con a

₁

6= 0. Allora possiamo scrivere anche

u

₁

=

− a

2

a

₁

u

₂

+ · · · +

− a

h

a

₁

u

_h

.

Cio’ ci dice che u

1

∈ Span(u

2

, . . . , u

h

). Deduciamo che {u

1

, u

2

, . . . , u

h

} ⊆ Span(u

2

, . . . , u

h

) e percio’ Span(u

1

, u

2

, . . . , u

h

) ⊆ Span(u

2

, . . . , u

h

). Poiche’ l’inclusione opposta e’ sem- pre verificata, l’argomento precedente implica che

Span(u

₁

, u

₂

, . . . , u

_h

) = Span(u

₂

, . . . , u

_h

),

(2)

2

cioe’ che u

1

e’ sovrabbondante rispetto al sistema di vettori u

1

, u

2

, . . . , u

h

. Fine della dimostrazione del Corollario.

Quindi in generale per trovare un vettore sovrabbondante ci calcoliamo le eventuali relazioni non banali tra i generatori assegnati. E’ sovrabbondante quel vettore che appare con peso diverso da 0 nella relazione.

Esempio.

Sia U := Span((1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)). Osserviamo che (1, 0, 0)+(0, 1, 0)−(1, 1, 0) = 0. Quindi la terna (1, 1, −1) e’ una relazione non banale tra i tre generatpri di U . E’

sovrabbondante ogni vettore che appare con peso 6= 0, Quindi ciascuno dei tre vettori e’

sovrabbondante, cioe’ possiamo scrivere indifferentemente U = Span((1, 0, 0), (0, 1, 0))

oppure U = Span((1, 0, 0), (1, 1, 0)) oppure U = Span((0, 1, 0), (1, 1, 0)).