Nozioni di Goniometria

Nozioni di Goniometria

Misura degli angoli

Per misurare un angolo occorre fissarne l’unità di misura. Gli angoli possono essere misurati in:

 gradi sessagesimali;

 gradi centesimali;

 gradi millesimali;

 radianti;

 ore.

Misura degli angoli in gradi sessagesimali

Come unità pratica di misura per gli angoli si assume il grado sessagesimale, che si definisce come la 360ª parte di un angolo giro. Il grado viene indicato con il simbolo [ ° ]. Quando si usano i gradi, vengono utilizzati anche dei sottomultipli:

 il minuto primo o semplicemente primo, pari alla 60ª parte del grado; i primi vengono indicati con il simbolo [



 il minuto secondo o semplicemente secondo, pari alla 60ª parte del primo e alla 3600ª parte del grado; i secondi vengono indicati con il simbolo [



Il sistema di misurazione degli angoli in gradi sessagesimali risale all’antica civiltà babilonese.

La notazione in gradi, primi e secondi è anche detta in sigla DMS (Degree, Minute, Second ovvero Gradi - Minuti - Secondi).

Forma decimale dei gradi

I sottomultipli del grado, oltre che in primi e secondi, possono essere espressi in un altro modo, la co- siddetta modalità decimale DD (Decimal Degree). Le calcolatrici scientifiche lavorano normalmente fornendo le misure angolari in modalità decimale.

Per convertire il valore di un angolo da gradi, minuti e secondi in gradi decimali si usa la seguente formula:

3600 secondi 60

minuti gradi

decimali gradi

: DD

DMS   

Ad esempio 14° 23 56 diventano   14,398889 3600

56 60 14 23

Per convertire il valore di un angolo espresso in gradi decimali in uno in gradi, minuti e secondi si usa la seguente procedura:

1) la parte intera in gradi è la stessa;

2) la parte decimale viene moltiplicata per 60; di tale prodotto la parte intera dà il valore dei minuti;

3) si moltiplica la parte decimale del prodotto ancora per 60: il risultato è il valore dei secondi.

Ad esempio volendo convertire 52,4725° in gradi DMS si ha:

1) D = 52°

2) 0,4725° · 60 = 28,35  M = 28;

3) 0,35 · 60 = 21  S = 21.

e quindi 52,4725° (DD)  52° 28 21

Misura degli angoli in radianti

In un contesto matematico, gli angoli vengono normalmen- te misurati in radianti oltre che in gradi.

Assegnata una generica circonferenza di raggio OA, indi- chiamo con  l’angolo A ˆOP :

P O

A ˆ



La misura dell’angolo  in radianti è data dal rapporto tra la lunghezza L dell’arco AP sotteso dall’angolo  e la lun- ghezza R del raggio OA:

A O

P A R L

RAD







 

Tale rapporto non dipende dal raggio della circonferenza.

Osserviamo che la misura in radianti di un angolo è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto tra due lunghezze.

Valori in radianti dell’angolo giro e dell’angolo piatto.

Il valore dell'angolo giro in radianti è presto ricavato data la definizione precedente.

L'arco sotteso da un angolo giro corrisponde a tutta la circonferenza e dunque ha lunghezza pari a R

L2 dove R è il raggio della circonferenza. Dalla definizione si ha così:

28 , 6 2 2 2







 



    



R R R

L

Il valore dell’angolo piatto in radianti è poi ricavato ricordando che l’angolo piatto è la metà dell’angolo giro e pertanto:

14 , 2 3

2

2     

     



Conversione tra gradi e radianti.

È possibile convertire la misura di un angolo da gradi sessagesimali (DD) in radianti e viceversa. Per operare tale trasformazione si usa la seguente proporzione, basata sul fatto che conosciamo l’espressione dell’angolo piatto sia in gradi sia in radianti:





  : 180  

:

Si faccia attenzione al fatto che nella proporzione l’angolo ° è espresso in forma decimale. Risolven- do la proporzione si ha:

 per passare da gradi a radianti:

  ·  180

 

RAD ;

 per passare da radianti a gradi:

  · 180 



 

Utilizzando la prima relazione di conversione ricaviamo la seguente tabella, che esprime i valori in ra- dianti dei principali angoli:

 R

L

angolo  angolo rad

0° 0

 

 

 

90° 

180° 

270° 

360° 2

Esempio 1. Convertire l’angolo ° = 47° 25’ 50’’ in radianti.

In primo luogo esprimiamo la misura dell’angolo in forma decimale:











 47,4305555

3600 50 60 47 25



Applichiamo la formula di conversione per ricavare il valore in radianti:

8278 , 0 180 ·

430556 ,

· 47

180 



 



   

 _RAD

Esempio 2. Convertire l’angolo  = 1,3252 in gradi.

In primo luogo ricaviamo la misura dell’angolo in gradi nella forma decimale:













 1,3252·180 75,9284 180

· 



 ^RAD

Esprimiamo poi il valore dell’angolo in forma DMS (gradi, minuti e secondi):

"

12 , 42 ' 55 75 9284 ,

75  

Lunghezza dell'arco di circonferenza

La lunghezza di un arco di circonferenza è immediatamente ricavabile quando si lavora con gli angoli misurati in radianti; infatti, invertendo la definizione di radianti, si ottiene:

R L  

·

Dunque dato l'angolo sotteso dall'arco e il raggio della circonferenza un semplice prodotto ci porta ad avere la lunghezza d'arco corrispondente.

Una relazione così semplice ed immediata è impossibile con l'uso dei gradi.

Esempio 1. Si voglia calcolare la misura in gradi (DMS) dell’angolo  sotteso da un arco di circonfe- renza la cui lunghezza L è 17 m e il cui raggio R è 8,5 m.

Calcoliamo il valore dell’angolo  in radianti:

00 , 5 2 , 8 17 



R L

RAD

Successivamente convertiamo tale valore in gradi decimali:













 2,00·180 114,5916 180

· 



 ^RAD e in gradi DMS: 11435' 29,6"

Esempio 2. Si voglia calcolare la lunghezza L di un arco di circonferenza sotteso da un angolo  la cui misura in gradi (DMS) è 25° 35’ 48’’ e il cui raggio R è 16 m.

Come primo passo esprimiamo il valore dell’angolo in gradi decimali (DD):











 25,5967

3600 48 60 25 35



Calcoliamo poi il valore dell’angolo in radianti:

4467 , 0 180 ·

5967 ,

· 25

180 



 



   

 _RAD

Infine calcoliamo la lunghezza dell’arco L:

15 , 7 4467 , 0 16

·   

 R

L _RAD .

Circonferenza goniometrica

La Circonferenza Goniometrica è la cir- conferenza di centro O(0;0) e raggio 1. Ricor- diamo che in base alla Geometria Analitica una circonferenza di centro C







 



Sostituendo x₀ 0; y₀0; r1 si ha:



 



2

1

2

 y  x

Coincidenza tra archi ed angoli sulla circonferenza goniometrica.

Poiché sulla circonferenza goniometrica il raggio OA è unitario, la misura in radianti di un angolo as- sume un valore particolare:

P P A

A A O

P A

RAD

 

 

 





 1



Si ottiene così che sulla circonferenza goniometrica la misura dell’angolo in radianti coincide con la lunghezza dell’arco corrispondente. Per questo motivo in seguito si parlerà indifferentemente di angoli o archi.

Archi o angoli orientati.

Si assume che il punto A sia l’origine degli archi, e che il lato OA sia l’origine degli angoli.

Si considera positivo il verso di percorrenza an- tiorario e negativo il verso orario. Avremo allora angoli o archi positivi e angoli o archi negativi a seconda della posizione del punto e del verso di percorrenza. Nella figura a fianco l’arco

A  P 

(o l’angolo

A ˆ O P

A  P  '

(o l’angolo

A O ˆP '

 1 A O



Inoltre si può vedere che ad uno stesso punto P sulla circonferenza goniometrica può corrispondere un angolo positivo o un angolo negativo, a seconda di se, a partire da A, si giunge a quel punto percorrendo la circonferenza in senso antiorario od orario.

Nella tabella seguente troviamo per alcuni angoli i valori positivi e i corrispondenti negativi.

angolo 

positivo 0°    90° 180° 270° 300° 315° 330° 360°

angolo 

negativo 0°    -270° -180° -90° -60° -45° -30° -360°

Angoli propri e angoli impropri.

Immaginiamo di percorrere la circonferenza goniometrica in senso antiorario a partire dal punto A: il valore della lunghezza dell’arco percorso (che coincide con l’ampiezza dell’angolo espressa in radianti) aumenterà via via a partire dal valore 0. Dopo un quarto di giro saremo a /2 o (90°), dopo mezzo giro sa- remo a , dopo un giro completo saremo a 2. E se continuiamo? La misura della lunghez- za dell’arco percorso (e dell’angolo descritto) aumenterà ulteriormente, oltre 2 o 360°. È dunque possi- bile definire archi di lunghezza superiore a 2 o angoli di ampiezza maggiore di 360°.

Per chiarezza agli archi la cui ampiezza è non maggiore di una circonferenza sono detti archi propri, mentre quelli la cui ampiezza supera una circonferenza sono detti archi (o angoli) impropri.

La misura dell’ampiezza di un arco o angolo improprio si può sempre ricondurre a quella di un arco proprio più un numero intero di giri, mediante il metodo delle sottrazioni successive.

Ad esempio un angolo improprio di 1000° si riconduce ad un angolo proprio di 280° + 2 giri:

1000° = 280° + 2·360°.

Analogamente un angolo negativo di -1500° si riconduce ad un angolo proprio di 300° - 5 giri:

-1500° = 300° - 5·360°.

Definizione di Coseno e Seno

Consideriamo un generico punto P appartenen- te alla circonferenza goniometrica. Il segmento OP forma con la metà positiva dell’asse x un an- golo, indicato con .

La posizione del punto P può essere facilmente individuata conoscendo il valore di tale angolo.

Essendo inoltre il punto P un punto del piano cartesiano, esso può anche essere individuato dal- le sue due coordinate cartesiane, l’ascissa e l’ordinata.

Si definisce allora coseno di  (cos ) l’ascissa del punto P, mentre si definisce seno di  (sen 

l’ordinata del punto P.

Per chiarezza si precisa che il coseno (e il se- no) di un angolo non è un segmento ma la mi- sura di un segmento orientato, cioè un numero reale con segno. In altre parole, il coseno dell’angolo  è la misura del segmento OH, presa con segno positivo se H è a destra di O, con segno negativo se H è a sinistra di O. Analogamente il

seno dell’angolo  è la misura del segmento OK, presa con segno positivo se K è al di sopra di O, con segno negativo se K è al di sotto di O.

1ª identità fondamentale della goniometria

Poiché il triangolo OPH è rettangolo, vale il teorema di Pitagora:

OH² + HP² = OP² ma OH = cos ;

HP = OK = sen ;

OP è il raggio della circonferenza go- niometrica e vale 1;

sostituendo avremo dunque 1

sin cos² ² 

Tale relazione prende il nome di 1ª i- dentità fondamentale della goniometria.

Definizione di tangente

Tracciamo la retta verticale, tangente al- la circonferenza goniometrica e passante per il punto A (1;0).

Il prolungamento del segmento OP in- contra tale retta nel punto Q. Si definisce allora tangente goniometrica dell’angolo 

(tg ) l’ordinata AQ del punto Q o in altre parole, la misura del segmento AQ, presa con segno positivo se Q è a al di sopra di A, con segno negativo se Q è al di sotto di A.

Anche in questo caso, come per il coseno e il seno, la tangente di un angolo non è un segmento ma la misura di un segmento orientato, cioè un numero reale con segno.

2ª identità fondamentale della goniometria

Consideriamo i triangoli rettangoli OPH e OQA: essi hanno in comune l’angolo  e sono simili, ovve- ro i loro lati sono in proporzione.

AQ : OA = HP : OH risulta AQ = tg ;

OA = raggio = 1 HP = OK = sen ;

OH = cos ;

sostituendo otteniamo:

tg  : 1 = sen  : cos  e cioè:



  cos tg  sin .

Tale relazione prende il nome di 2ª identità fondamentale della goniometria.

Definizione di cotangente

La cotangente è una quarta funzione go- niometrica, della quale si può dare una defi- nizione geometrica, come segue: tracciamo la retta orizzontale, tangente alla circonferenza goniometrica e passante per il punto B (0;1).

Il prolungamento del segmento OP incon- tra tale retta nel punto R. Si definisce allora cotangente goniometrica dell’angolo 

 cotg  

Mediante considerazioni di carattere geo- metrico si può vedere che la cotangente può essere anche definita più semplicemente come il reciproco della tangente:





 

sin cos tg

cotg  1 

Coseno, Seno, Tangente e Cotangente come funzioni goniometriche

Nelle pagine precedenti abbiamo definito sulla circonferenza goniometrica coseno, seno, tangente e cotangente e le 2 identità fondamentali che le legano.

Coseno, seno, tangente e cotangente vengono comunemente chiamate funzioni goniometriche o fun- zioni circolari. Vediamo perché.

Ricordiamo che in matematica una funzione y = f(x) è una corrispondenza che ad ogni valore (ammis- sibile) della variabile indipendente x associa un unico valore della variabile indipendente y secondo una legge assegnata. Abbiamo poi denominato dominio della funzione l’insieme dei valori della variabile in- dipendente x in cui la funzione f è definita o calcolabile e codominio della funzione l’insieme dei valori assunti dalla variabile dipendente y.

Nel nostro caso assumiamo come variabile indipendente l’angolo  positivo o negativo misurato sulla circonferenza goniometrica; il coseno di una angolo è dunque quella funzione matematica che ad ogni an- golo  associa il coseno di quest’angolo, come definito precedentemente sulla circonferenza goniometri- ca. Analogamente per seno, tangente e cotangente:





cos





sen



 tg y



 cotg y

Dominio delle funzioni goniometriche

Per quanto riguarda il coseno e il seno, dato un qualsiasi angolo , individuato corrispondentemente il punto P sulla circonferenza goniometrica, è sempre possibile costruire le proiezioni ortogonali HO e KO sugli assi x e y e determinare coseno e seno dell’angolo.

Pertanto il dominio sia del coseno che del seno è dunque tutto l'asse reale e si può scrivere:

Dominio(coseno) =

R

R

Dominio(seno) =

R

R

Consideriamo ora la funzione tangente: a mano a mano che l’angolo  si avvicina al valore di 90° (o di

/2 in radianti), il punto P si avvicina al punto B(0;1) e le semirette OP tendono a diventare sempre più vicine alla verticale, determinando un aumento vertiginoso del valore dell’ordinata del punto Q e cioè della tangente;

quando l’angolo vale proprio 90° il punto P sulla cir- conferenza coinciderà con il punto B, la semiretta OP sarà verticale e parallela alla retta verticale per A: le due rette saranno parallele e pertanto non avranno punto di intersezione o anche, avranno intersezione all’infinito.

Per questo motivo non è definito il valore della tan- gente per l’angolo di 90°; si può anche dire che la tan- gente a 90° è infinita. Un discorso analogo si può ripete- re per l’angolo di 270° e per tutti gli angoli impropri de- finiti nei giri successivi.

Con riferimento al dominio possiamo allora conclu- dere:

Dominio(tangente) =

R

 90

180

, con



R







  

 k

, con

2 



A questa conclusione si poteva giungere anche per un’altra strada e cioè considerando che, grazie alla II identità fondamentale, la tangente è definita come



  cos tg  sin .

Poiché il denominatore di una frazione non può essere mai nullo, occorre escludere dal dominio i valo- ri per i quali il coseno vale zero, che risultano essere proprio 90° e 270°.

Per la funzione cotangente si può ripetere un discorso del tutto analogo; sinteticamente possiamo dire che la cotangente non è definita quando l’angolo  vale 0° oppure 180°:

Dominio(cotangente) =

R



180

, con



R



 , con



Segni delle funzioni goniometriche nei 4 quadranti

Le funzioni goniometriche coseno, seno, tangente, cotangente possono essere positive, negative o an- nullarsi. Nella tabella seguente è riportato il segno che ognuna di esse assume nei 4 quadranti:

Quadrante cos ( ) sin ( ) tg ( ) cotg ( )

I + + + +

II - + - -

III - - + +

IV + - - -

Periodicità delle funzioni goniometriche

Supponiamo di far variare l’angolo  su tutta la circonferenza e di calcolare le funzioni goniometriche coseno e seno. Nel momento in cui l’angolo supera il valore di 360° ritorneremo sulle stesse posizioni i- niziali e ovviamente, le funzioni goniometriche

ri-assumeranno gli stessi valori del giro prece- dente. Possiamo esprimere questo concetto di- cendo che le funzioni goniometriche coseno e seno sono funzioni periodiche, e il periodo, definito come l’intervallo della variabile indi- pendente dopo cui la funzione assume gli stessi valori, vale 360°:

  360  cos 

cos

  360  sen 

sen

Per quanto riguarda le funzioni tangente e co- tangente non è necessario aspettare un giro completo perché esse assumano gli stessi valori, ma, come si vede nella figura a fianco, è suffi- ciente mezzo giro:

Possiamo esprimere questo concetto dicendo

che le funzioni goniometriche tangente e cotangente sono funzioni periodiche di periodo pari a 180°:

  180  tg  tg

  180  cotg  cotg

Codominio delle funzioni goniometriche

Coseno e seno. Coseno e seno sono state definite come l’ascissa e l’ordinata di un punto P variabile sulla circonferenza goniometrica, di raggio unitario. Il mas- simo valore dell’ascissa si ha quando P è sul punto A, il minimo valore quando P è sul punto A’; analogamente il massimo valore del seno si ha quando il punto P coin- cide con B, il minimo valore quando P coincide con B’.

Possiamo quindi concludere dicendo che

1

cos

1





1

sen 

1

Pertanto le funzioni goniometriche coseno e seno hanno per codominio l’intervallo

 - 1;

1 

Codominio(coseno) =

 - 1;

1 

Codominio(seno) =

 - 1;

1 

Tangente. Per quanto riguarda la tangente, essendo definita come l’ordinata di un punto al di fuori della cir-

conferenza goniometrica, essa può assumere qualsiasi valore reale; ciò si esprime dicendo che:

Codominio(tangente) =

R.

Per la cotangente vale un discorso analogo e dunque:

Codominio(cotangente) =

R.

Valori delle funzioni goniometriche nei principali angoli

Nella tabella seguente vengono riportati i valori che le funzioni goniometriche assumono nei principali angoli:

angolo  0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

angolo rad        2



cos 1

2 3

2 2

2

1 0 -1 0 1



sin 0

2 1

2 2

2

3 1 0 -1 0



tg 0

3 3 3

1  1 3 ∞ 0 ∞ 0



cotg ∞ 3 1

3 3 3

1  0 ∞ 0 ∞

Grafici delle funzioni goniometriche

Il grafico della funzione coseno ycosx i chiama cosinusoide; il grafico della funzione seno x

ysen si chiama sinusoide; infine il grafico della funzione ytgx si chiama tangentoide.

cosinusoide

sinusoide

tangentoide

Ricavare tre funzioni goniometriche quando ne è nota una quarta

1) Quando si conosce solo il coseno di un angolo , è possibile determinare, utiliz- zando alcune formule che si ricavano delle identità fondamentali, il valore del seno, della tangente e della cotangente dello stesso angolo :



 1 cos

sin



 

cos

tg

sin 



 

sen cos tg

cotg

1

Il segno  va scelto in base al quadrante a cui appartiene l’angolo.

2)

Analogamente, quando si conosce solo il seno di un angolo , è possibile determi- nare, utilizzando altre formule, il valore del coseno, della tangente e della cotan- gente dello stesso angolo :



 1 sin²

cos  



 

cos tg  sen





 

sen cos tg

cotg

1

Anche qui il segno  va scelto in base al quadrante a cui appartiene l’angolo (vedi la tabella dei segni delle funzioni goniometriche).

3) Quando si conosce solo la tangente di un angolo , è possibile determinare il valo- re della cotangente, del coseno e del seno dello stesso angolo :

  tg cotg

1

 

tg

1 cos 1

 

 

 

tan

1 sen tg

 



4) Quando si conosce solo la cotangente di un angolo , è possibile determinare il va- lore della tangente, del coseno e del seno dello stesso angolo :

 

cotg tg

1

 

tg

1 cos 1

 

 

 

tan

1 sen tg

 



Angoli Associati

angoli opposti:  - angoli esplementari:  360°-

cos(-α) = cos(α) sin(-α) = - sin α tg(-α) = - tg α cotg(-α) = - cotg α

cos(360° - α) = cos α sin(360° - α) = - sin α tg(360°- α) = - tg α cotg(360°-α) = - cotg α

cos(2 - α) = cos α sin(2 - α) = - sin α tg(2- α) = - tg α cotg(2-α) = - cotg α angoli supplementari:  180°- angoli complementari:  90°-

cos(180° - α) = - cos α sin(180° - α) = sin α tg(180° - α) = - tg α cotg( - α) = - cotg α

cos( - α) = - cos α sin( - α) = sin α tg( - α) = - tg α cotg( - α) = - cotg α

sin(90° - α) = cos α cos(90° - α) = sin α tg(90° - α) = cotg α cotg(90° - α) = tg α

sin(/2 - α) = cos α cos(/2 - α) = sin α tg(/2 - α) = cotg α cotg(/2 - α) = tg α angoli che differiscono di 90°:  90°+ angoli che differiscono di 180°:  180°+

cos(90° + α) = - sin α sin(90° + α) = cos α tg(90° + α) = - cotg α cotg(90° + α) = - tg α

cos(/2 + α) = - sin α sin(/2 + α) = cos α tg(/2 + α) = - cotg α cotg(/2 + α) = - tg α

cos( + α) = - cos α sin( + α) = - sin α tg( + α) = tg α cotg( + α) = cotg α

cos( + α) = - cos α sin( + α) = - sin α tg( + α) = tg α cotg( + α) = cotg α

Principali Formule Goniometriche

Formule di addizione

 ^{ }  ^{cos  cos  sin  sin }

cos     

 ^{ }  ^{sin  cos  cos  sin }

sin     

 







 

 1 tan tan tan tan tan





 



Formule di sottrazione

    cos  cos  sin  sin 

cos     

    sin  cos  cos  sin 

sin     

 







 

 1 tan tan tan tan tan





 



Formule di duplicazione















2 2

2 2

sin 2 1 2

cos

1 cos

2 2

cos

sin cos

2 cos

















 2 sin cos 2

sin   



 

tan 1

tan 2 2

tan  

Formule di bisezione

2 cos 1

cos  2     2 cos 1

sin  2    







cos 1

cos 1

tan 2



 



Formule parametriche

tg 2 con

2 , cos 1

2



   t  t

t

t t 2 sin 1



 

2 2

1 tg 1

t t



 



Equazioni goniometriche elementari

Un’equazione si dice goniometrica se essa contiene almeno una funzione goniometrica. Si dicono e- quazioni goniometriche elementari equazioni del tipo:

c x

b x

a x







tan sin cos

Equazioni in coseno

cos x  a

Indicato con  l’angolo fondamentale che risolve l’equazione (ricavato dalle tavole o con la calcolatri- ce, usando la funzione inversa), si avrà una doppia infinità di soluzioni:

Z k k

x

Z k k

x



















360

· 360

·





Equazioni in seno

sin

Indicato con  l’angolo fondamentale che risolve l’equazione (ricavato dalle tavole o con la calcolatri- ce, usando la funzione inversa), si avrà una doppia infinità di soluzioni:

Z k k

x

Z k k

x





















360

· 180

360

·





Equazioni in tangente

tan

Indicato con  l’angolo fondamentale che risolve l’equazione (ricavato dalle tavole o con la calcolatri- ce, usando la funzione inversa), si avrà una semplice infinità di soluzioni:

Z k k

x



· 180

Nozioni di Trigonometria

Risoluzione dei triangoli rettangoli

Risolvere un triangolo rettangolo significa trovare tutti i suoi elementi. Esistono tre importanti relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo utili a tale scopo:

1) in ogni triangolo rettangolo un cateto è uguale all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacen- te;

2) in ogni triangolo rettangolo un cateto è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto;

3) in ogni triangolo rettangolo un cateto è uguale all’altro cateto per la tangente dell’angolo oppo- sto.

Schematicamente si ha:

formule dirette formule inverse - 1 formule inverse - 2



·cos i b 

i

 b



cos cos 

i  b

 sen

· i a 

i

 a



sen sen 

i  a

 tg

· b a 

b

 a



tg tg 

b  a

Ricordiamo che, essendo il triangolo rettangolo, vale per esso il teorema di Pitagora, che lega tra loro le lunghezze dei cateti e dell’ipotenusa:

2 2

2 2

2 2

a i b

b i a

b a i













b

i a





Schema operativo per la risoluzione dei triangoli rettangoli

dati noti a b i  

ipotenusa i

angolo  ai

· sen 

· cos 

 

90



cateto a

angolo opposto  a

 tg

 sen

i a

 

90



cateto b

angolo adiacente  ab

· tg 

 cos

i b

 

90



cateto a

ipotenusa i a b i² a^{2 i}

i

arcsen





90



cateto b

ipotenusa i a i²b² b i

i

arcsen





90



cateto a

cateto b a b i a²b²

b

arctg





90



Risoluzione dei triangoli generici

Risolvere un triangolo generico significa trovare tutti i suoi elementi. Per questo, esistono due utili teo- remi: il teorema di Carnot o del Coseno ed il teorema dei Seni.

Teorema dei Seni

Il teorema dei seni afferma che in un triangolo generico il rapporto tra lato e seno dell’angolo opposto è costante. In formula:

c b

a





 sin sin

sin

Il teorema dei seni può essere utilizzato per la risoluzione dei trian- goli generici quando sono noti:

a) 1 lato e 2 angoli;

b) 2 lati e l’angolo non compreso fra essi.

Teorema di Carnot o del Coseno

Il teorema di Carnot è una generalizzazione di quello di Pitagora:

esso afferma che in un triangolo generico il quadrato di ogni lato è da- to dalla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto delle misure dei due lati per il coseno dell’angolo fra essi compreso:



·cos

2

2

2

2 b c bc

a   

Analogamente per gli altri due lati, in maniera ciclica:



·cos

2

2

2

2 a c ac

b    e



·cos

2

2

2

2 a b ab

c   

Il teorema di Carnot può essere utilizzato per la risoluzione dei triangoli generici quando sono noti:

c) 2 lati e l’angolo compreso fra essi.

d) 3 lati.

b

a

 

c

C

A B



b a

 

c

C

A B



Schema operativo per la risoluzione dei triangoli generici

dati noti a b c   _

1 lato c e

2 angoli adiacenti  e  

 sin

·sin c a



 sin

·sin c

b

c  ^





2 lati a e b e l’angolo

non compreso 

a b

sin

·sin a

c





 



  

 arcsin sin a

b  180





2 lati a e b e l’angolo

compreso 

a b

2

cos 







 



 



 arcsin sin

b



3 lati a, b e c

a b c

bc a c b arccos 2

2 2

2 

 

ac b c a arccos 2

2 2

2 

  180



 b

a

 

c

C

A B

