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Definiamo le funzioni seno iperbolico e coseno iperbolico, rispettivamente, come

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Academic year: 2021

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Definiamo le funzioni seno iperbolico e coseno iperbolico, rispettivamente, come

sinh : R → R

sinh x := e

x

−e 2

−x

e cosh : R → R

cosh x := e

x

+e 2

−x

. Si tratta, evidentemente, di funzioni continue.

Esercizio 1. Dimostrare la relazione cosh 2 x − sinh 2 x = 1 ∀ x ∈ R.

Esercizio 2. Dimostrare che sinh 0 = cosh e cosh 0 = sinh.

Esercizio 3. Dimostrare che sinh x > 0 se x > 0, sinh x < 0 se x < 0 e sinh 0 = 0. Si usi questo risultato, insieme all’esercizio 2, per dimostrare che

• cosh ` e decrescente su (−∞, 0) e crescente su (0, +∞). Dunque cosh ha un minimo assoluto in 0 e cosh 0 = 1;

• sinh `e crescente su R (si usino l’esercizio 2 e il punto precedente);

• si studino i limiti di sinh x e cosh x per x → ±∞; dedurre che Im sinh = R e Im cosh = [1, +∞).

Tracciare i grafici di sinh e cosh, osservando che sinh ` e una funzione dispari mentre cosh ` e pari.

Dall’esercizio 3 segue che sinh ` e invertibile su R (perch´e monotona), mentre cosh non ` e invertibile su R ma lo `e su [0, +∞). Le inverse si chiamano arcose- no iperbolico (o anche settore seno iperbolico) e arcocoseno iperbolico (o anche settore coseno iperbolico) e si denotano, rispettivamente,

arcsinh := (sinh) −1 : R → R (o anche settsinh)

arccosh := (cosh |[1,+∞) ) −1 : [1, +∞) → [0, +∞) (o anche settcosh) Tali funzioni si possono calcolare esplicitamente nel seguente modo. Suppo- niamo di voler calcolare arcsinh t; posto x = arcsinh t, dovr` a evidentemente valere

t = sinh x = e x − e −x 2

da cui, con facili conti, (e x ) 2 − 2te x − 1 = 0. Risolvendo l’equazione di secondo grado si ottiene

e x = t ± p t 2 + 1

e la soluzione col segno − ` e da scartare in quanto restituirebbe un valore negativo per e x (verificare!). Dunque

x = arcsinh t = log(t + p

t 2 + 1) ∀ t ∈ R . Esercizio 4. Procedendo in maniera analoga, si verifichi che

arccosh t = log(t + p

t 2 − 1) ∀ t ≥ 1 . (Attenzione! arccosh t ` e definito solo per t ≥ 1.)

1

(2)

Esercizio 5. Verificare che

arcsinh 0 (t) = 1

√ t 2 + 1 ∀t ∈ R arccosh 0 (t) = 1

t 2 − 1 ∀t ≥ 1 . Si noti che, a differenza di arccosh, la funzione log(t + √

t 2 − 1) ` e definita per ogni t ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞) e, su questo insieme, ha per derivata 1

t

2

−1 . Osservazione. Oltre che derivando direttamente, le derivate dell’esercizio 5 si possono ottenere anche tramite la formula di derivazione delle funzioni inverse.

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