A seguire potete trovare il testo originale e
la soluzione ufficiale (molto stringata)
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA –Polo di Spezia- Scuola Politecnica FISICA GENERALE I - Prova del 10/02/2015
Lo studente inserisca i valori numerici solo dopo aver risolto il problema con calcoli simbolici.
I risultati finali espressi nelle unità del sistema internazionale (SI) e con due cifre significative.
PROBLEMA ME1: Un pendolo è costituito da una pallina di massa m=100 g appesa ad una fune di lunghezza ℓ=1.0 m. Partendo dalla posizione di equilibrio, con azioni esterne si agisce sulla pallina affinchè questa alla fine ruoti a velocità costante su una circonferenza orizzontale di raggio R=50 cm senza ulteriori azioni esterne.
a) Calcolare la velocità della pallina sulla circonferenza b) la tensione della fune
c) Il lavoro compiuto delle azioni esterne per portare la pallina fino alla condizione finale PROBLEMA ME2: Un sistema di movimentazione è formato da una ruota, di
raggio R=20 cm, momento di inerzia I=1.0 kg m2 e asse orizzontale tenuto da un supporto senza attrito. La ruota sta girando a velocità angolare =10 rad/s ed il supporto viene abbassato finchè la ruota non striscia su una lastra ℓ di massa m=10 kg inizialmente ferma che poggia su un piano orizzontale con coefficiente
di attrito statico ௦ =0.50 e dinamico ௗ =0.10. Se tra ruota e lastra c’è un coefficiente di attrito dinamico ோ=0.80, Calcolare
a) La minima forza che preme la ruota necessaria a mettere in moto la lastra b) con 2, l’accelerazione iniziale della lastra e
c) il tempo necessario a far finire lo strisciamento tra ruota (che rallenta) e lastra (che accelera) Problema EM1: Due corpi conduttori di forma sferica sono separati da distanza molto grande in modo da considerarli non interagenti. Il primo corpo ha raggio R1=10 cm mentre il secondo R2=20 cm. Essi vengono portati a due potenziali V1=200 V e V2=100 V, rispettivamente con potenziale di riferimento all’infinito. Un lungo filo conduttore viene steso tra le sfere e le mette in contatto.
Trascurando l’effetto del filo sulla simmetria sferica dei conduttori, calcolare a) La carica sulle due sfere prima e dopo il contatto con il filo
b) Dopo il contatto, il campo elettrico sulla superficie delle sfere c) L’energia dissipata a seguito del collegamento con il filo
Problema EM2: una pinza amperometrica viene utilizzata per misurare la corrente () =
cos 2, che scorre in un cavo (assunto di lunghezza infinita, di raggio R=5.0 mm e con corrente distribuita uniformemente) con il tempo in secondi, = 50 Hz, = 100 . Assumendo che la pinza sia approssimabile ad una bobina di N=10 spire circolari di raggio Rs=5.0 mm, costruita con un filo di raggio s=0.20 mm e resistività = 1.69 10ି଼Ω , posta coassialmente con il filo, calcolare:
a) Il campo magnetico massimo sulla superficie del cavo b) La f.e.m. massima indotta ai capi della bobina
c) La corrente massima indotta che circola nella bobina se questa viene cortocitcuitata.
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA –SCUOLA POLITECNICA FISICA GENERALE I – Soluzioni Prova del 15/01/2014
PROBLEMA ME1: Se il raggio della traiettoria è R=50 cm, l’angolo che ha la fune con la verticale è ℓ = , = ோℓ = 30°. Le forze applicate sono la forza peso e la tensione della fune perciò la legge di Newton nella direzione radiale (e orizzontale) –mv2/R=-T sen( )=-T R/ℓ → = ்ோℓమ mentre in direzione verticale T cos( )-mg=0 →T=mg/ cos( )
a) =1.6828 m/s≈1.7 m/s b) T=1.1328 N≈ 1.1 N
c) La pallina è partita da ferma quindi il lavoro necessario è pari all’energia cinetica e potenziale acquistata dalla pallina: L=∆K+∆U=ଵ
ଶ ଶ+ ℎ =ଵଶ ଶ+ ℓ(1 − cos ) =0.2730 J≈0.27 J.
PROBLEMA ME2:
a) Preso come sistema la lastra, definito un sistema di riferimento con asse x orizzontale, y verticale e asse z uscente dal foglio, detta _௫=௦ la forza di attrito statico massima tra lastra e piano, N forza normale al piano, ோ =ோ la forza di attrito tra ruota e lastra, dalla I eq.cardinale proiettata sugli assi si può scrivere:
x: ோ−_௫=0 (per il valore minimo di F la lastra non accelera ancora) y: N-mg-F=0
→N=mg+F sostituita in ோ−௦ = ோ−௦( + ) → =௦ /(ோ−
௦)=163.5 N≈1.6 102 N.
b) Riscriviamo la Ieq.cardinale per la lastra con 2
x: ோ−=ma y: N-mg-F=0 con =ௗ la forza di attrito dinamico tra lastra e piano → = (ோ−)/ = 21.9090 m/s2≈ 22 m/s2.
c) Lo strisciamento finirà quando la velocità della lastra è uguale alla velocità periferica della ruota =. La lastra accelera e la sua velocità cambia nel tempo come =
(prendendo come inizio dei tempi l’istante in cui la ruota è stata premuta ed entra in contatto con la lastra) mentre applicando la II eq.cardinale dei sistemi alla ruota, con polo nell’asse di rotazione, = ோ→ = ோ/→ = − →− = → =ାோఈோఠ = 0.0618 s≈0.062 s=62 ms.
Problema EM1: Trasurando l’interazione elettrostatica fra i due corpi, il potenziale di una sfera conduttrice carica è = ସగఌଵబொோ da cui
a) Prima del contatto ଵ= 4 ଵଵ= 2.2253 10ିଽ C≈2.2 10ିଽ C ଶ= 4 ଶଶ= 2.2253 10ିଽ C≈2.2 10ିଽ C. Dopo il contatto la carica totale si conserva ridistribuendosi sulle sfere e le sfere sono equipotenziali:
= ଵ+ ଶ= ଵᇱ + ଶ′ e ସగఌଵ
బ
ொభ ᇲ
ோభ=ସగఌଵ
బ
ொమ ᇲ
ோమ
, da cui risolvendo il sistema ଵᇱ = ோభோାோభమ= 1.4835 10ିଽ C≈1.5 10ିଽ C e ଶᇱ = ோభோାோమమ= 2.9670 10ିଽ C≈3.0 10ିଽ C
b) Dal teorema di Gauss, il campo elettrico sulla superficie di un conduttore vale =ఌఙబ→
ଵ= ொభ
ᇲ
ସగோభ
మఌబ= 1.3333 10ଷ / ≈1.3 10ଷ / e
ଶ = ଶᇱ
4ଶଶ = 666.6667 / ≈0.67 10ଷ /
c) Considerando le 2 sfere come 2 condensatori di capacità C=Q/V=4 , l’energia elettrostatica iniziale vale ℇ =ொభ
మ
ଶభ+ொమ
మ
ଶమ e quella finale ℇ =ொభᇱ
మ
ଶభ +ொమᇱ
మ
ଶమ e la loro differenza fornisce l’energia dissipata ℇ − ℇ = 3.7088 10ି଼ !≈3.7 10ି଼ !.
Problema EM2:
a) Dai dati del problema, il campo che attraversa la bobina è quello interno al filo. Applicando la legge di Ampere per linee amperiane interne e circolari di raggio ≤ coassiali al filo
"2 = గோூమଶ, il modulo del campo è →" = ଶగோఓబூమ, il valore è massimo per la corrente massima = , e sulla superficie del cavo B=ఓబூబோ
ଶగோమ =ఓబூబ
ଶగோ= 4.0 10ିଷ T.
b) il calcolo del flusso del campo attraverso la bobina richiede l’integrazione di " → Φ = # $ ∙ %&, e poi dalla legge di Faraday la f.e.m.=−ௗௗ௧,d’altra parte le linee di B sono circonferenze concentriche al filo →B ⊥', area delle spire della bobina, da cui Φ = 0 () costante quindi f.e.m.=0 V
c) Ogni spira della bobina richiede un filo lungo ℓ = 2 (viene trascurato lo spessore r del filo) quindi in totale la lunghezza L= ℓ la cui resistenza vale ℛ = =గ௦మ quindi la corrente massima vale *௫ =(.ୣ.୫.)୫ୟ୶
ℛ , ma dai dati della risposta precedente *௫= 0 A.
