Lez.8 Teoremi sulle reti 1

(1)

Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A. 2017-2018, Elettrotecnica. Lezione 8 Pagina 1

Lez.8 Teoremi sulle reti 1

(2)

Teorema di sostituzione

Data una generica rete (lineare o non, in regime variabile o non), si supponga che essa abbia soluzione unica per tutte le tensioni e correnti di lato. Il teorema di sostituzione afferma che un generico bipolo avente tensione vk e corrente ik può essere sostituito con un altro bipolo, ad es. con un generatore indipendente di tensione ek [o di corrente jk] impressa uguale a quella del bipolo sostituito, cioè ek=vk

[oppure jk=ik], senza alterare la distribuzione di tensioni e correnti in tutti i lati della rete.

(3)

Dimostrazione del teorema di sostituzione

La rete originaria ha soluzione unica. La nuova rete ha la medesima topologia della precedente e soddisfa le medesime LKC e LKT. Essa ha anche le stesse equazioni di lato per (L-1) bipoli (tutti tranne quello modificato). Nel nuovo sistema di equazioni è poi imposto il vincolo ek=vk [jk=ik] nel lato k-simo sostituito. La nuova rete ha pertanto anch’essa soluzione unica, uguale alla soluzione della rete originaria.

Osservazione: l’utilità del teorema fondamentale della sostituzione è che la rete modificata è più agevolmente risolvibile di quella originale

(4)

Principio di sovrapposizione degli effetti

Se la rete è lineare, cioè se il sistema di equazioni della rete (LKC, LKT, caratteristiche) è lineare, è valido il principio di sovrapposizione degli effetti:

“la tensione (corrente) in un generico ramo della rete data dall’azione contemporanea di più generatori è pari alla somma delle tensioni (correnti) in quel ramo, che si ottengono facendo agire un solo generatore per volta, lasciando tutti gli altri spenti”

(5)

 spegnere un generatore di corrente (j(t)=0) equivale a sostituirlo con un circuito aperto; spegnere un generatore di tensione (e(t)=0) equivale a sostituirlo con un corto circuito;

 l’applicazione del principio di sovrapposizione comporta la risoluzione di Ng reti semplici (con un solo generatore), ove Ng è il numero totale di generatori indipendenti della rete

 Il singolo effetto risulta proporzionale alla causa che lo produce, tramite un coefficiente di proporzionalità

 il principio di sovrapposizione degli effetti non è valido per la potenza, che è una forma quadratica.

(6)

Teorema di Tellegen

Scelte due reti con N nodi e L lati aventi lo stesso grafo, ma non necessariamente gli stessi bipoli interconnessi; detto {v,i} un insieme di valori di tensione e corrente compatibili con la LKT e la LKC nella prima rete e {v^*,i^*} un insieme di valori di tensione e corrente compatibili con la LKT e la LKC nella seconda rete; scelta su tutti i bipoli la medesima convenzione (es. utilizzatore), in ogni istante di tempo vale la relazione:

0

1

* 1

*

  



  L

k

k k L

k

i v i

v

(7)

1

2 3

4 k

6

8 7

5

A B C

D E

F

v6 i6

vk

ik

1

2 3

4 k

6

8 7

5

A B C

D E

F

v*6 i*6

v*k

i*k

(8)

Definito potenza virtuale il prodotto

v

^k

i

^k^* oppure il prodotto

v

^k^*

i

^k _{, il}

teorema di Tellegen afferma che la somma delle potenze virtuali assorbite da tutti i lati della rete è in ogni istante nulla. In modo analogo: la somma delle potenze virtuali erogate da tutti i lati della rete è in ogni istante nulla.

 È un teorema puramente topologico

 prescinde dalla tipologia dei bipoli o n-poli che costituiscono i lati

 prescinde dai fenomeni fisici che possono avvenire nella rete

 è valido anche per reti di n-poli e/o n-bipoli

(9)

 applicato alla stessa rete, il teorema di Tellegen diviene la conservazione delle potenze:

 



^



















^La ^Lp

La k

k a La

k

k a Lp

La

La k

k a La

k

k a L

k

a

P P P P

P

1 , 1

, 1

,

0 



^





^La ^Lp

La k

k a La

k

g

P

1 , 1

,

La somma delle potenze erogate dai lati attivi della rete (La) è in ogni istante uguale alla somma delle potenze assorbite dai lati passivi (Lp).

(10)

Dimostrazione del teorema di Tellegen

Scegliamo una rete con L lati e N nodi e applichiamo la stessa convenzione su tutti i bipoli (ad es. la convenzione dell’utilizzatore).

Diciamo vk e ik la tensione e la corrente sul k-simo bipolo. Prendiamo una rete con il medesimo grafo della precedente e utilizziamo anche in questo caso la convenzione dell’utilizzatore. Diciamo v^*k e i^*k la tensione e la corrente sul k-simo bipolo e valutiamo la somma delle potenze virtuali assorbite su tutti i bipoli

  L k

k k i v

1 *

(11)

Scriviamo la potenza virtuale in funzione dei nodi i,j connessi al generico bipolo. Possiamo farlo anche se due nodi non sono collegati tra loro: basta aggiungere tra questi un bipolo circuito aperto, lasciando così inalterata la rete originaria.

Poiché in questo modo la potenza sul generico k-simo bipolo è calcolata due volte, nella operazione di uguaglianza è necessario aggiungere il termine ½. Infatti ad esempio si calcola P^*12=v12*i^*12

quando i=1 e j=2, ma anche P^*21= P^*12=v21*i^*21 quando i=2 e j=1.

(12)

Esprimendo la tensione come differenza di potenziale:

    ^{ }    

 





 

 

^N 



  i

N i

N j

ij j N

j

ij i N

i

N j

ij j i

L k

k

i i i i

v

1 1 1

* 1

* 1 1

* 1

*

2 1 2

1 2

1    

Poiché i è indipendente da j e j è indipendente da i:

   





^N 



  i

N j

N i

ij j

N j

ij i

L k

k

i i i

v

1 1 1

* 1

*

2 1 2

1  

vij

iij

 

   

 ^N

i

N j

ij ij L

k

k i v i

v

1 1

* 1

*

2

1

(13)

Risulta che, per la LKC per le correnti i^*ij al nodo i

e per la LKC per le correnti i^*ij al nodo j

Da cui, la tesi.

i1j

i2j

iij

j

1 i 2

0

1

*





 N i

i

ij

ii1

ii2

iij

i

1 j 2

0

1

*





 N j

i

ij

(14)

Teoremi del generatore equivalente

Teorema di Thevenin:

“Una rete lineare, costituita da componenti attivi e passivi, accessibile da due morsetti A e B, è equivalente (ha la stessa caratteristica ai morsetti A e B) a un bipolo costituito da un generatore di tensione che eroga la tensione a vuoto

v

⁰^AB , in serie con un resistore la cui resistenza RAB è la resistenza equivalente della rete valutata ai morsetti AB quando si sono spenti tutti i generatori.”

(15)

Dimostrazione del teorema di Thevenin

E’ necessario trovare la caratteristica v=f(i) ai morsetti AB.

Alimentiamo la rete con un generatore di corrente che eroga la generica corrente i(t) e, in corrispondenza, valutiamo la tensione v(t).

v(t) i(t) A

B

(16)

Applichiamo la sovrapposizione degli effetti perché la rete è lineare.

  ^t ^v   ^t ^v   ^t

v  '  ' '

   

_{ } _{ } _{ }

    ^t ^v ^t

_{ } _{ } _{ }

^R ⁱ   ^t

v

v t

v

t AB e t

j t

i

t AB e t

j t

i









0

; 0

0 0

; 0

' ' '

v'(t) i(t)=0 A

B

v''(t) i(t) A

B

(17)

Pertanto, la caratteristica è:

  ^t ^v   ^t ^R ⁱ   ^t

v 

_AB⁰



_AB

che è la caratteristica di un bipolo normale costituito da un generatore indipendente di tensione

v

⁰^AB , in serie con un resistore di resistenza RAB.

R_AB

i (t)

v (t) v (t)

AB 0

+

A

B

v

i

V⁰_AB

(18)

La caratteristica che si ottiene è anche la caratteristica di un bipolo normale costituito da un generatore di corrente che eroga la corrente

ccAB AB

AB

i R

v

⁰



, pari alla corrente di cortocircuito tra i morsetti AB, in parallelo con un resistore di resistenza

R

^AB . Si ottiene, in questo caso, il circuito equivalente di Norton.

R_AB

i (t)

v (t) i (t)

ccAB

A

B

v

i_ccAB i

(19)

Teorema di Norton:

“Una rete lineare, costituita da componenti attivi e passivi, accessibile da due morsetti A e B, è equivalente (ha la stessa caratteristica ai morsetti A e B) a un bipolo costituito da un generatore di corrente che eroga la corrente di cortocircuito iccAB tra i morsetti AB, in parallelo con un resistore la cui resistenza RAB è la resistenza equivalente della rete valutata ai morsetti AB quando si sono spenti tutti i generatori.”

Si può dimostrare il teorema usando la dualità, alimentando la rete dai morsetti AB con un generatore indipendente di tensione.

(20)

Osservazioni:

 Se la rete non è controllabile in corrente dai morsetti AB, non esiste il bipolo equivalente di Thevenin

 se la rete non è controllabile in tensione dai morsetti AB, non esiste il bipolo equivalente di Norton

 i teoremi del generatore equivalenti sono molto utili per l’analisi di sensibilità

 se la rete è non lineare, per la risoluzione si può separare la parte non lineare da quella lineare, sostituendo quest’ultima con la sua rete equivalente.

 La caratteristica di un sistema elettrico assimilabile ad una rete di bipoli normali si può determinare con sole due misure: misura della tensione a vuoto e della corrente di cortocircuito.

Lez.8 Teoremi sulle reti 1