RETI MULTIPORTA. Le coppie di morsetti sono chiamate PORTE e ad esse si possono collegare solo bipoli. In generale dato un M-porte: M+1 N 2M. i M.

(1)

DOPPI BIPOLI

(2)

RETI MULTIPORTA

Le coppie di morsetti sono chiamate PORTE e ad esse si possono collegare solo bipoli

In generale dato un M-porte: M+1≤N≤2M

consentito

interdetto 1 1’

M

1

M’

i₁

2 2’

i₂

i_M i_M

i₂

3

3’

(3)

CARATTERIZZAZIONE DEGLI M-PORTA PASSIVI

Solo se il componente è definito su base

corrente

1 0 2 21

1 0 1 11

2 2

=

I I

I Z V



I1 I₂ = 0

V1 V₂

1 = 0

I I₂

V1 V₂

I1 I₂

2 0 22 2

2 0 1 12

1 1

=

I I

I Z V



 



+

=

+

=

2 22 1

21 2

2 12 1

11 1

I Z I

Z V

I Z I

Z V



I Z V 



  ⇒ =



 



⋅ 

 

 



= 

 

 



⇒ 

2 1

22 21

12 11

2 1

I I Z

Z

Z Z

V V

I1

V1 V2

I2

I1 I₂

impedenza matrice

=

Z 

(4)

EQUIVALENZA DI DOPPI BIPOLI

I1

V1 V₂

I2 I₁

V1 V₂

I2

 

 





A A

Z Z

22 21

12 11



 

 





B B

Z Z

22 21

12 11



 



 





=

B A

Z Z

22 22

21 21

12 12

11 11



(5)

Doppio bipolo a T o a Stella

Z

A

Z

_B

Z

C

A

C C

1 B

I

V

1

I

2

V

2

C I

C A

I

I Z Z V

Z I Z

Z V



=

+

=

1 0 2 21

1 0 1 11

2 2

C B

I

C I

Z I Z

Z V

Z I Z

Z V



+

=

2 0 2 22

21 2 0

1 12

1 1

[ ] _



 





+

= +

C B

C

C C

A

Z Z

Z

Z Z



 

Rete di bipoli  Matrice simmetrica

(6)

Una rete a T in funzione dei parametri impedenza.

21 22

22

21 12

12 11

11

Z Z

Z

Z Z

Z

Z Z

Z

C B

C

C A



−

=

−

=

−

=

−

=

C I

C A

I

I Z Z V

Z I Z

Z V



=

+

=

1 0 2 21

1 0 1 11

2 2

C B

I

C I

Z I Z

Z V

Z I Z

Z V



+

=

2 0 2 22

21 2 0

1 12

1 1

12

11

Z

Z  −  Z  −

₂₂

Z 

₂₁

21

12

Z

Z  = 

A

C C

1 B

I

V

1

I

2

V

2

(7)

Doppio bipolo a Π o a Triangolo

( )

∆

= ∆

∆

= ∆

+ + =

+

= +

=

+ =

= +

=

+ + =

+

= +

=

Z Z Z Z

Z Z Z

Z Z

Z I

Z V

Z Z Z Z

Z Z

Z Z I

I Z Z V

Z Z Z Z

Z Z Z

Z Z

Z I

Z V

CA BC BC

AB CA

BC AB

BC CA

AB I

CA BC CA

BC AB

CA BC

BC I

CA BC CA

AB CA

BC AB

CA BC

AB I



 



 



 

2 0 2 22

2 1 0

2 21

1 0 1 11

1 2 2

'













+ +

=

∆

Z Z Z Z

Z Z Z

Z Z

Z Z Z Z

Z Z Z

CA BC BC

AB CA

BC

CA BC CA

BC CA

AB



 [ ]

Z

CA

Z

AB

Z

BC

A

C C

1 B

I

V

1

I

2

V

2

'2

I

(8)

Esempio

R C L

²

V

₁

I

¹

^L

¹

_V

2

I

²

 



+

=

+

=

2 22 1

21 2

2 12 1

11 1

I Z I

Z V

I Z I

Z V



( ) ( )

( )

// 1 1

2 1

2

2 1

11

C L L

L L

R j L

j L

C j R j

Z − +

+ +

= +

+

= ω

ω ω ω ω



(

₁ ₂

)

¹²

2

21

1 Z

L L

C L

Z  j = 

+

= −

ω

( )

(

₁ ₂

)

2

2 1

2

2 1

22

1 // 1 1

L L

C

L j C L L

C j L j

j

Z − +

= −

 

 



 +

= ω

ω ω ω

ω ω



( )

1

1 '

2 1

1 2 2

2

2 ⇒

+ +

=

L L

C j j

C I j

L j I

L j

V

ω

ω ω ω

ω

'2

I

(9)

Determinare i parametri Z m=2/3

 ⇒



 



= +

=

⋅

−

I V

I I

V

I V

m I

3 5 4

2 1 1

2 1

Esempio

I

₁

I

₂

=0

I

Lasciamo aperta la porta 2 e alimentiamo la porta 1 con un generatore di corrente

Ω

=

Ω

=

⇒

 



 



+

= +

=

 ⋅



 

  +

= +

⋅

⇒ =

=

3 17

1 3 4 5

3 4 5

3 1 3

2 3

1 0 1 11

1 0 2 21

1 1

2 1

1

2 2

2 1

2 2

I I

I Z V

I V I

I V

V V V

m

I

(10)

Lasciamo aperta la porta 1 e alimentiamo la porta 2 con un generatore di corrente

I

₂

I

₁

=0

( )

Ω

−

=

Ω

=

 ⇒

 



−

=

−

=

−

=

−

=

⋅

⇒

= +

⇒

−

⋅

=

3 1 1

3 1 3

1 3

2 4

3 3

3

2 0 1 12

2 0 2 22

2 2

2 2 2

2 1

2 2

1 1

I I

I Z V

I V

V V

V m V

V

I V

I mV

V mV

I V

21

12

Z

Z ≠

(11)

Matrice Ammettenza

Solo se il componente è definito su base

tensione

 



+

=

+

=

22 2 21 1

2

12 2 11 1

1

V Y V

Y I

V Y V

Y I



V Y I 



  ⇒ =



 



⋅ 

 

 



= 

 

 



⇒ 

2 1

22 21

12 11

2 1

V V Y

Y

Y Y

I I

I1

V1 V2

I2

V

1

V

²

Y 

1 0 21 2

1 0 1 11

2 2

=

V V

V Y I



I1 I₂

V1 V₂ = 0

2 0 22 2

2 0 1 12

1 1

=

V V

V Y I



I1 I₂

1 =0

V V₂

Se il componente è definito su base tensione e su base corrente:

[ ] [ ] ^Z ^{= Y}

⁻¹

(12)

Doppio bipolo a T o a Stella

Y

A

Y

_B

Y

C

A

C C

1 B

I

V

1

I

2

V

2

( )

C B

A

C B B

A

C B

A

B C A

V

C B

A

A B

V

C B

A

A C B

A

C B

A

A C B

V

Y Y

Y

Y Y Y

Y Y

Y Y Y

V Y I

Y Y

Y Y Y V

Y I

Y Y

Y

Y Y Y

Y Y

Y Y Y

V Y I



 



 



 

+ +

= + +

+

= +

=

+

− +

=

+ +

= + +

+

= +

=

2 0 2 22

1 0 2 21

1 0 1 11

1 2 2

(13)

Doppio bipolo a Π o a Triangolo

Z

CA

Z

AB

Z

BC

A

C C

1 B

I

V

1

I

2

V

2

AB V

CA AB

V

V Y Y I

Y V Y

Y I



−

=

+

=

1 0 2 21

1 0 1 11

2 2

AB BC

V

AB V

Y V Y

Y I

Y V Y

Y I



+

=

−

=

2 0 2 22

21 2 0

1 12

1 1

[ ] _



 





+

−

= +

AB BC

AB

AB CA

AB

Y Y

Y

Y Y



 

Rete di bipoli  Matrice simmetrica

(14)

Una rete a Π in funzione dei parametri ammettenza.

12 11

11

21 22

22

21 12

Y Y

Y

Y Y

Y

Y Y

Y

AB CA

AB BC

AB



+

=

−

=

+

=

−

=

−

=

−

=

12

11

Y

Y  +  Y  +

22

Y 

21 21

12

Y

Y  = − 

−

AB V

CA AB

V

V Y Y I

Y V Y

Y I



−

=

+

=

1 0 2 21

1 0 1 11

2 2

AB BC

V

AB V

Y V Y

Y I

Y V Y

Y I



+

=

−

=

2 0 2 22

21 2 0

1 12

1 1

A

C C

1 B

I

V

1

I

2

V

2

(15)

Casi particolari: Esempio 1

[Z] non esiste I1

V1 V2

I2

I

1

I

²

Il doppio bipolo

non è definito su base corrente

Z V

Y I Z

V Y I

V V

1 1

1 0 2 21

1 0 1 11

2 2

−

=



 Z

Alimentiamo la porta 1 e cortocircuitiamo la porta 2

I1

V1

V

₂

= 0

I2

Z

1 2

1 1

I I

I Z V

−

=

= 

Determiniamo la matrice di ammettenza

(16)

Casi particolari: Esempio 1

[ ]   





 







−

= −

Z Z

Z Y Z

1 1

1

I

V1 V2

I2

I

1

Z I

²

2 1

2 2

I I

I Z V

−

=

= 

Determiniamo la matrice di ammettenza

Z V

Y I Z

V Y I

V V

1 1

2 0 1 12

2 0 2 22

1 1

−

=



I1

V

2 1

= 0

V

I2

Z

(17)

Casi particolari: Esempio 2

[Y] non esiste I1

V1 V2

I2

V

1

V

²

Il doppio bipolo

non è definito su base tensione

Z

I Z Z V

I I

=

= 1 0

2 21

1 0 1 11

2 2



Alimentiamo la porta 1 e lasciamo aperta la porta 2

1 2

1 1

V V

I Z V

=

= 

Determiniamo la matrice di impedenza

I1

V1 V2

2

= 0

I

Z

(18)

Casi particolari: Esempio 2

[ ] _



 



= 

Z Z

Z Z Z

I1

V1 V2

I2

V

1

Z V

²

I Z Z V

I I

=

= 2 0

1 12

2 0 2 22

1 1



2 1

2 2

V V

I Z V

=

= 

Determiniamo la matrice di impedenza

1

= 0 I

V1 V2

I

2

Z

(19)

Trasformatore ideale



 



⋅

−

=

⋅

=

2 1

1 I I n

V n V

n: rapporto di trasformazione

(20)

Matrici Ibride

1. Base di definizione

 





 





2 1

V I

 





 



⋅ 

 

 



= 

 





 





2 1 22

21

12 11

2 1

V I h

h

h h

I V

Tipica dei transistori

I parametri [h] non hanno omogeneità dimensionale

1 0 1 11

2=

= I

V

h V

2 0 1 12

1=

= V

I

h V

1 0 2 21

2=

= I

V

h I

2 0 2 22

1=

= V

I

h I

Impedenza di ingresso in c.to c.to [Ω]

Guadagno

di tensione inverso in c.a. [adim.]

Guadagno

di corrente diretto in c.to c.to [adim.]

Ammettenza di uscita in c.a. [S]

(21)

 





 





2 1

I V

 





 



⋅ 

 

 



= 

 





 





2 1 22

21

12 11

2 1

I V g

g

g g

V I

Tipica dei tubi a vuoto

Matrici Ibride

2. Base di definizione

I parametri [g] non hanno omogeneità dimensionale

1 0 1 11

2=

= V

I

g I

2 0 1 12

1=

= I

V

g I

1 0 2 21

2=

= V

I

g V

2 0 2 22

1=

= I

V

g V

Ammettenza di ingresso

in c.a. [S]

Guadagno

di corrente inverso in c.to c.to [adim.]

Guadagno

di tensione diretto in c.a. [adim.]

Impedenza di uscita in c.to c.to [Ω]

(22)

Doppio bipolo equivalente nella formulazione ibrida h.

Doppio bipolo equivalente nella formulazione ibrida g.

(23)

Esempio

[ ]   





 







−

= −

Z Z

Z Y Z

1 1

[Z] non esiste

Abbiamo visto precedentemente che questo doppio bipolo è definito su base tensione [V1, V2] mentre non è definito su base corrente

I1

V1 V2

I2

Z

Determinare le matrici [H] e [G], se esistono, del doppio bipolo in figura.

(24)

Esempio

I1

V1 V2

I2

Z

Determiniamo la matrice ibrida [H]:

 



+

=

+

=

22 2 21 1

2

12 2 11 1

1

V h I

h I

V h I

h V

La base di definizione è

[ I

¹

, V

²

]

Alimentiamo la porta 1 e

cortocircuitiamo la porta 2

I

₁ ^V₁

V

₂

= 0

I2

Z

1 2

1 1

I I

I Z V

−

=

=  Z

I h V

V

= 

=

=0 1

1 11

2

1

1 0 2 21

2

−

=

I

V

h I

(25)

Esempio

I1

V1 V2

I2

Z

Alimentiamo la porta 2 e apriamo la porta 1

0

2

2 1

=

= I

V

V 1

2 0 1 12

1

=

V

I

h V 0

2 0 2 22

1

=

V

I

h I

1

= 0 I

V1

V

₂

I2

Z

[ ] _



 





= −

0 1

1 H Z



(26)

Esempio

I1

V1 V2

I2

Z

La matrice [H] poteva essere determinata anche dalla conoscenza della matrice [Y] utilizzando le seguenti relazioni

[ ] _



 





= −

0 1

1 H Z



11 22

11 12 21

11 12 12

11

1 ; ; ;

y h y

h = y = − = = ∆

da cui, essendo ∆y=0

0 ; 1 1

1 ; 1 1

1 1 ;

22 21

12 11

11

− = − =

=

− =

−

=

= h

Z h Z

y Z h



 

_c.v.d.

(27)

Esempio

I1

V1 V2

I2

Z

Determiniamo la matrice ibrida [G]:

 



+

=

+

=

22 2 21 1

2

12 2 11 1

1

I g V

g V

I g V

g I

La base di definizione è

[ V

¹

, I

²

]

1 2

1

0 V V

I

=

= 0

1 0 1 11

2

=

V

I

g I 1

1 0 2 21

2

=

V

I

g V

V

1

^V

²

2

= 0 I Z

I

1

(28)

Esempio

I1

V1 V2

I2

Z

2 1

2 2

I I

I Z V

−

=

=  1

2 0 1 12

1

−

=

I

V

g I Z

I g V

V

= 

=

2 =0 2 22

1

0

1

=

V Z ^V

²

^I

₂

I

1

[ ] _



 



 −

= Z

G 1 

1

0

(29)

Esempio

I1

V1 V2

I2

Z

[ ] _



 





= −

0 1

1 H Z



La matrice [G] poteva essere determinata note le matrici [Y] e [H] utilizzando le seguenti relazioni

22 22

22 21 21

22 12 12

22 11

; 1

;

; g y

y g y

y

g ∆ y = = − =

=

Z Z

g Z

g Z Z

g Z

g 



 − = = =

−

=

−

− =

=

= 1

; 1 1 1

1 ; 1 1

1 ;

0

₁₂ ₂₁ ₂₂

11

(30)

Esempio

I1

V1 V2

I2

Z

[ ] _



 





= −

0 1

1 H Z



oppure

h g h

= ∆

− ∆

∆ =

−

∆ =

=

²² ₁₂ ¹² ₂₁ ²¹ ₂₂ ¹¹

11

; ; ;

Z Z g

g g

g  

=

− =

−

=

−

=

−

=

= 1 ; 1

1 ; 1 1 1

; 1

0

₁₂ ₂₁ ₂₂

11

= 1

con ∆h

(31)

Esempio

[Y] non esiste

Abbiamo visto precedentemente che questo doppio bipolo è definito su base corrente [I₁, I₂] mentre non è definito su base tensione Determinare le matrici [H] e [G], se esistono, del doppio bipolo in figura.

I1

V1 V2

I2

Z

[ ] _



 



= 

Z Z

Z Z Z



 

(32)

Esempio

Nota [Z], le matrici [H] e [G] possono essere determinate utilizzando le seguenti relazioni

[ ] _



 



= 

Z Z

Z Z Z



 

I1

V1 V2

I2

Z

22 22

22 21 21

22 12 12

22 11

; 1

;

; h z

z h z

z

h ∆ z = = − =

=

h Z h

h

h 

; 1 1

; 1

;

0

₁₂ ₂₁ ₂₂

11

= = = − =

= 1

con ∆z [ ]

 





 





= −

Z H

 1 1

1

0

(33)

Esempio

Nota [Z], le matrici [H] e [G] possono essere determinate utilizzando le seguenti relazioni

[ ] _



 



= 

Z Z

Z Z Z



 

I1

V1 V2

I2

Z

11 22

11 21 21

11 12 12

11

1 ; ; ;

z g z

g z ∆

=

−

=

0 ; 1

; 1 1 ;

22 21

12

11

= g = − g = g =

g Z



= 1

con ∆z [ ]

 





 



 −

=

0 1

1 1

G Z 

(34)

Matrici di Trasmissione

1. Diretta [ ]

 





 





⋅ −

 

 



= 

 





 





⋅ −

 =

 



 





2 2 2

2 1

1

I V D

C

B A

I T V

I V

Se il doppio bipolo è definito dalla conoscenza delle variabili a una sola porta si può caratterizzare con le matrici di trasmissione diretta T e inversa T’

2. Inversa [ ]

 





 





⋅ −

 

 



= 

 





 





⋅ −

 =

 



 





1 1 1

1 2

2

' '

' ' '

I V D

C

B A

I T V

I V

Quando esistono le relative basi di definizione si possono ricavare gli

elementi di una matrice a partire dalla conoscenza di quelli di un’altra

(35)

Esempio

Per determinare le matrici di trasmissione:

Per i due doppi bipoli di figura determinare le matrici di trasmissione.

I1

V1 V2

I2

Z

I1

V1 V2

I2

(a) Z (b)

 



−

=

−

=

2 2

1

2 2 1

I D V

C I

I B V

A V

2 0 1

2 2

=

I I

V C I

V A V

2 0 1 2 0 1

2 2

=

−

=

−

=

V V

I D I

I

B V

(36)

Esempio

Per il doppio bipolo (a) considerando I₂=0

I1

V1 V2

I2

(a) Z

I1

V1 V2

2

= 0 I Z

1 2

2

1

0 V V

I I

=

−

=

0 1

2 0 1

2 2

=

I I

V C I

V

A V

(37)

Esempio

Per il doppio bipolo (a) considerando V₂=0

I1

V1 V2

I2

(a) Z

I1

V1

V

₂

= 0

I

2

Z

1 1

2 1

I Z V

I I

= 

−

=

[ ] _



 



= 

1 0

1 Z T

_a



1

2 0 1 2 0 1

2 2

=

−

=

−

=

V V

I D I

I Z

B V 

(38)

Esempio

Per il doppio bipolo (b) considerando I₂=0

2 1

1 1

V V

Z I V

=

= 

I1

V1 V2

I2

(b) Z

I1

V1 V2

2

= 0 I

Z

Z V

C I

V A V

I I

 1 1

2 0 1

2 2

=

(39)

Esempio

Per il doppio bipolo (b) considerando V₂=0

0

2 1

=

−

= V V

I I

I1

V1 V2

I2

(b) Z

I1

V1

V

₂

= 0

I

2

Z

1 0

2 0 1 2 0 1

2 2

=

−

=

−

=

V V

I D I

I B V

[ ]  





 



= 

1 1

0 1

Z T

_b



(40)

Esempio

La matrice [T_a] poteva essere determinata anche nota la matrice [Y], dalle relazioni:

La matrice [T_b] poteva essere determinata anche nota la matrice [Z], dalle relazioni: