Analisi Stocastica – Foglio di esercizi n. 6

Analisi Stocastica – Foglio di esercizi n. 6

Esercizio 1 (Integrale di Wiener). Sia B = {B_t}_t≥0 un moto browniano reale.

Vogliamo costruire l’integrale J (f ) := R∞

0 f (t) dB_t per integrandi f deterministici (cio`e che non dipendano da ω) nello spazio L²(R⁺).

Cominciamo a considerare il sottospazio S ⊆ L²(R⁺) delle funzioni semplici, cio`e della forma f (s) = Pk−1

i=0 c_i1_[ti,ti+1)(s) con c_i ∈ R, su cui poniamo J (f ) :=

Z ∞ 0

f (s) dB_s :=

k−1

X

i=0

c_i(B_ti+1 − B_ti) .

In questo modo J (f ) `e una variabile aleatoria reale definita sullo stesso spazio (Ω, F , P) su cui `e definito il moto browniano. Ricordiamo che S `e denso in L²(R⁺).

(a) Si mostri che per ogni f ∈ S si ha J (f ) ∼ N (0, σ²), con σ² =R∞

0 f (s)²ds.

(b) Si mostri che l’operatore J : S → L²(Ω) `e lineare e isometrico.

[Le norme sugli spazi sono le solite: kf k²_L2(R⁺):=R∞

0 f (s)²ds e kXk²_L2(Ω):= E(X²).]

(c) Si deduca che esiste un’estensione J : L²(R⁺) → L²(Ω) lineare e isometrica, tale che E(J (f )) = 0 per ogni f ∈ L²(R⁺).

(d) (*) Si mostri che, per ogni f ∈ L²(R⁺), la variabile aleatoria J (f ) `e normale.

[Sugg. Si prenda una successione {f_n}_n∈N di funzioni in S tale che f_n→ f in L²(R⁺) . . . ]

(e) Si concluda che per ogni f ∈ L²(R⁺) si ha J (f ) ∼ N (0, σ²), con σ² =R∞

0 f (s)²ds.

(f) Si mostri che Cov(J (f ), J (g)) =R∞

0 f (s) g(s) ds, per ogni f, g ∈ L²(R⁺).

[Sugg. Polarizzazione.]

Esercizio 2. Sia B = {B_t}_t≥0 un moto browniano reale e si definisca W_t :=

Z t 0

g(u) dB_u = Z ∞

0

g(u) 1_[0,t)(u) dB_u.

dove g ∈ L²(R⁺) `e una funzione fissata. Pu`o essere utile usare i risultati dell’esercizio precedente, in particolare i punti (d)-(e)-(f).

(a) Si mostri che {W_t}_t≥0 `e un processo gaussiano.

[Sugg. Si mostri che α₁W_t1 + . . . + α_nW_tn `e una variabile normale, usando la linearit`a dell’integrale di Wiener.]

(b) Si calcolino le funzioni media e covarianza del processo gaussiano W .

(c) (*) Si dimostri che il processo W ha incrementi indipendenti, cio`e la variabile W<sub>t</sub>− W<sub>s</sub> `e indipendente da W_s− W_r, per ogni 0 ≤ r < s < t.

Esercizio 3. Sia B = {B_t}_t≥0un moto browniano reale. Se g ∈ L²(R⁺), si calcolino E Rt

0 B_sdB_s
2

, E Rt

0 B_sdB_s
Rt

0 g(s) dB_s

, E B₁ Rt

0 B_s²dB_s

.

[Sugg. Si usi l’isometria dell’integrale stocastico.]

Ultima modifica: 9 gennaio 2010.