Registro delle Lezioni di Analisi Matematica 1 - Ing. Civile e Ambientale - a.a. 2019/2020
SETTIMANA 1:
Numeri Reali: assiomi algebrici e d’ordine, assioma di completezza. Definizione di radice quadrata di 2. Numeri naturali, interi e razionali. L’insieme dei numeri razionali non verifica l’assioma di completezza. Retta reale, funzione ascissa e valore assoluto. Maggiorante e minorante, insieme superiormente e inferiormente limitato, massimo e minimo. Estremo superiore e inferiore. Teorema di esistenza dell’estremo superiore (dim). Caratterizzazione di estremo superiore e inferiore. Estremo inferiore e superiore infiniti. Proprietà Archimedea (dim). Definizione di parte intera (dim).
Teorema di densità dei numeri razionali (dim). Principio di induzione (dim), disuguaglianza di Bernoulli (dim), somma delle prime n-potenze (dim) e disuguaglianza di Bernoulli (dim).
SETTIMANA 2:
Numeri Complessi: forma algebrica e forma polare. Somma e prodotto. Formula di De Moivre e radici n-esime di un numero complesso. Soluzioni di un’equazione algebrica di secondo grado complessa. Esponenziale complesso e forma esponenziale di un numero complesso, formule di Eulero.
Successioni numeriche: limite di successione. Successioni convergenti. Teorema di unicità del limite (dim).
Successioni limitate e limitatezza delle successioni convergenti (dim). Prodotto di una successione limitata per una infinitesima (dim). Successioni divergenti e regolari. Limiti di successioni potenza ed esponenziale. Algebra dei limiti.
SETTIMANA 3:
Forme indeterminate. Teorema della permanenza del segno (dim) e conseguenze.
Teorema del confronto tra limiti finiti (dim). Limiti notevoli di seno e coseno (dim).
Successioni monotone. Teorema di regolarità delle successioni monotone (dim). Il numero di Nepero e disuguaglianza di Nepero. Limiti notevoli di esponenziale, logaritmo e potenze a esponente reale (dim). Relazione di asintotico e proprietà.
Esempi.
SETTIMANA 4:
Teorema del confronto tra limiti infiniti. Criterio del rapporto (dim) e gerarchia degli infiniti (dim). Ordine di infinito. Limite di funzioni reali. Teorema di caratterizzazione sequenziale del limite di funzioni (dim). Limiti notevoli. Funzioni limitate. Prodotto di una funzione limitata per una infinitesima. Algebra dei limiti e forme indeterminate.
Teorema sul limite delle funzioni composte.
