1 - 2 4 1 3 0

(1)

Parentesi matema+ca: ve/ori

A 

Un’introduzione elementare del formalismo dei ve3ori ad uso dei ﬁsici

[per una tra)azione più rigorosa si veda il corso di Geometria]

Re/a orientata

0 1 2 3 4

1 -

distanza unitaria dall’origine origine

(arbitraria)

verso posi:vo convenzionale

(2)

Versore

0 1 2 3 4

1 -

versore: segmento orientato di lunghezza unitaria, nella stessa direzione della re)a e con verso concorde.

uˆ

Ve/ore

0 1 2 3 4

1 -

A  uˆ

ˆ A A u  =

A

= lunghezza con segno

A ≡  A

= modulo (lunghezza, presa posi:va)

(3)

Ve/ore

0 1 2 3 4

1 -

A  uˆ ˆ A

A u  =

A > 0

Ve/ore

0 1 2 3 4

1

-

A  uˆ

ˆ A A u  =

A < 0

(4)

Prodo/o di un numero (scalare) per un ve/ore

0 1 2 3 4

1 -

A  uˆ

Se k è un numero e è un ve)ore, il loro prodo)o è deﬁnito come

A

A) ˆ ( A

B  = k ≡  u k B 

nota: ve)ori concordi se k > 0, discordi se k < 0

Opposto di un ve/ore

0 1 2 3 4

1

-

uˆ A 

A) ˆ (

A ) 1 ( A

B  = −  ≡ −  = u −

A B  

= -

(5)

Ve/ore nullo

0 1 2 3 4

1

-

uˆ A 

A B  

= k

è un ve3ore nullo se k=0

Somma di ve/ori

B A C   

+

=

B 

con la regola del parallelogrammo

C 

(6)

Somma di ve/ori

A  B

A C   

+

=

B 

con la regola del parallelogrammo

C 

oppure

il ve)ore somma è lo stesso nei due casi

Somma di ve/ori

A  ...

D C B A

S  =  +  +  +  +

B  S 

In generale

C  D 

equivalente ad applicare la regola del parallelogrammo in successione

(7)

Somma di ve/ori

A  B

A C   

+

=

B 

a)enzione a non confondere la somma dei ve)ori con la somma dei moduli (lunghezze dei ve)ori) !!

vale l’eguaglianza solo se i due addendi sono ve)ori con uguale direzione e verso.

C  B

A B A

C      +

≠ +

=

Diﬀerenza di ve/ori

A  )

B ( A B A

C     

− +

≡

−

=

B 

C  B 

-

(8)

Diﬀerenza di ve/ori

A  )

B ( A B A

C     

− +

≡

−

=

B 

oppure

C 

il ve)ore diﬀerenza è lo stesso nei due casi (stesso modulo, direzione, verso)

Nota: s:amo assumendo che ve)ori che diﬀeriscono per una semplice traslazione, sono lo stesso ve(ore !!

Componen+ di un ve/ore in direzioni assegnate

i versori stabiliscono le direzioni in cui si vuole scomporre il ve)ore

A  ˆu

1

ˆu

2

per un ve)ore in un piano

(9)

Si costruisce il parallelogrammo a par:re dalle direzioni assegnate

A  ˆu

1

ˆu

2

Si scrive il ve)ore iniziale

A  ˆu

1

ˆu

2

A 

1

A 

2

ˆ A ˆ A

A A

A  =  +  = u + u

(10)

3 versori stabiliscono le direzioni in cui si vuole scomporre il ve)ore

A  ˆu

1

ˆu

2

per un ve)ore in uno spazio 3-‐dimensionale

ˆu

3

A  ˆu

1

ˆu

2

si disegnano le parallele alle direzioni assegnate e si tracciano le

ˆu

3

A 

1

A 

2

A 

3

3 3 2 2 1 1 3 2

1

A A ˆ A ˆ A ˆ A

A

A  =  +  +  = u + u + u

(11)

A  ˆu

1

ˆu

2

bastano 3 numeri per determinare univocamente il ve)ore

ˆu

3

A 

1

A 

2

A 

3

3 3 2 2 1 1 3 2

1

A A ˆ A ˆ A ˆ A

A

A  =  +  +  = u + u + u

) A , A , A

(

₁ ₂ ₃

A  ˆu

1

ˆu

2

Morale: date n direzioni, il ve)ore è univocamente determinato da n numeri

ˆu

3

(12)

Componen+ cartesiane ortogonali

A 

uˆ

x ^y

uˆ

Tre assi perpendicolari tra loro

Tre coordinate cartesiane !!

uˆ

z

A 

uˆ

x

Tre assi perpendicolari tra loro

Tre coordinate cartesiane !!

uˆ

z

A 

y

A 

x

A 

z

u u

u ,

, A A ) ˆ A ˆ A ˆ A (A

A 

uˆ

y

(13)

A 

uˆ

x

Si può calcolare facilmente il modulo del ve)ore con il teorema di Pitagora

z

uˆ

2 / 1 2 2

2

A A )

(A

A  =

_x

+

_y

+

_z

uˆ

y

A 

_y

A 

x

A 

z

Somme e prodo@ per componen+ cartesiane

A 

Usando le coordinate dei ve)ori, la somma di ve)ori deﬁnita con la regola del

parallelogrammo diventa una semplice somma delle rispeNve coordinate

B 

) B B (B B

) A A (A A

z y x

, ,

=

 =



^Se

uˆ

z

(14)

Usando le coordinate dei ve)ori, la somma di ve)ori deﬁnita con la regola del

parallelogrammo diventa una semplice somma delle rispeNve coordinate

) ...

C B A , ...

C B A ...

C B (A ...

C B

A + ++ = x+ x+ x+ , y+ y+ y+ z+ z+ z+ Vale per un numero qualsiasi di addendi:

Analogamente per il prodo(o di un ve)ore per uno scalare, basta mol:plicare ogni coordinata per lo stesso numero

) A A (A

A  =

_x

,

_y

,

_z

) A , A A (

A k

_x

, k

_y

k

_z

k = 

Se k è uno scalare e allora

A 

uˆ

x ^y

uˆ

z

(15)

Non abbiamo ancora deﬁnito il prodo(o tra ve(ori !

Nel corso ci serviranno due :pi di prodoN:

prodo(o scalare

è un numero (scalare)

prodo(o ve(oriale

è un ve)ore

B A  

⋅ A  B 

×

Non abbiamo ancora deﬁnito il prodo(o tra ve(ori !

Nel corso ci serviranno due :pi di prodoN:

prodo(o scalare

è un numero (scalare)

prodo(o ve(oriale

è un ve)ore

B A  

⋅ A  B 

×

(16)

Prodo/o scalare di due ve/ori

cos α

B A B

A    

≡

⋅

angolo compreso tra i due ve)ori

moduli dei ve)ori

A  B 

α

cos α

B A B

A    

≡

⋅

Lunghezza della proiezione di B

nella direzione di A

A 

B 

α

(17)

cos α

B A B

A    

≡

⋅

Casi par:colari:

ve(ori paralleli

ve(ori ortogonali

A  B 

=0 α

A  B 

α B

A B

A    

≡

⋅

0 B A  ⋅  =

2 π /

α =

cos α

B A B

A    

≡

⋅

Inoltre:

modulo quadro di un ve(ore

modulo

A  A

2

A A A

A     

=

≡

⋅

A 



(18)

cos α

B A B

A    

≡

⋅

è commuta:vo:

A B B

A    

⋅

=

⋅

è distribu:vo:

B C A C ) B A (

C       

⋅ +

⋅

= +

⋅

inoltre:

) B ( A B ) A ( ) B A

(       k k

k ⋅ = ⋅ = ⋅

in coordinate cartesiane ortogonali

z z y y x x

z z z z y z y z x z x z

z y z y y y y y x y x y

z x z x y x y x x x x x

z z y y x x z z y y x x

u u u

u u

u

u u u

u u

u

u u u

u u

u

u u

B A B A B A

B ˆ )A ( ˆ

) ˆ B ˆ B

ˆ B ( ) ˆ A ˆ A

ˆ A ( B A

+ +

=

⋅ +

⋅

=

+ +

⋅ +

+

=

⋅ 



1

dato che i versori hanno modulo 1 e sono ortogonali tra loro.

Dunque:

z z y y x

x

B A B A B

A B

A  ⋅  = + +

(19)

Parentesi matema+ca: ve/ori

A 

Questo ci basta per il momento e chiudiamo la parentesi.