Francesca Mazzia Dipartimento Interuniversitario di Matematica Universit`a di Bari

Francesca Mazzia

Dipartimento Interuniversitario di Matematica Universit`a di Bari

3. Elementi di Algebra Lineare.

Sistemi lineari Sia A ∈ IR

, x ∈ IR

di n

Ax = b ` e un vettore di m componenti.

a

x

+ a

x

+ . . . + a

x

= b

a

x

+ a

x

+ . . . + a

x

= b

. . .

. . .

a

x

+ a

x

+ . . . + a

x

= b

Numero di operazioni per calcolare b:

mn moltiplicazioni m(n − 1) addizioni.

Le matrici trasformano un vettore x di di-

mensione n in un vettore di dimensione m,

cio` e rappresentano delle trasformazioni tra

due spazi.

Posso rappresentare una matrice utilizzando le sue colonne:

A = (a

, a

, . . . , a

)

Il prodotto Ax = b pu` o anche scriversi:

x

a

+ x

a

+ . . . + x

a

= b

cio` e il vettore b si ottiene come combinazione lineare dei vettori colonna della matrice A.

Non ` e sempre vero che fissato un vettore b di dimensione m, si possa sempre trovare un vettore x per cui Ax = b sia soddisfatta.

E questo il problema della soluzione di sistemi `

lineari.

Partizionamento

Il partizionamento ` e una decomposizione del- la matrice in sottomatrici.

Esempio

















a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

















Possiamo scrivere

A = A

A

A

A

A

A

!

con

A

= a

a

a

a

!

A

= a

a

a

a

a

a

!

Se le partizioni sono compatibili possiamo trattare le sottomatrici come scalari nell’e- seguire le operazioni tra matrici.

Per esempio:

A

A

A

A

!

+ B

B

B

B

!

= A

+ B

A

+ B

A

+ B

A

+ B

!

A

A

A

A

!

B

B

B

B

!

=

A

B

+ A

B

A

B

+ A

B

A

B

+ A

B

A

B

+ A

B

!

Siano x e y ∈ IR

se x

y = 0 i due vettori si dicono ortogonali.

x

x =

x

, quindi x

x > 0.

Se x

x = 1, il vettore x si dice unitario.

Se a ∈ IR

e b ∈ IR

, si ha:

W = ab

=











a

b

a

b

. . . a

b

a

b

a

b

. . . a

b

... ... . . . ...

a

b

a

b

. . . a

b











.

La matrice W ` e una matrice di rango 1, cio` e

le sue colonne generano uno spazio di di-

mensione 1. Ogni matrice di rango uno pu` o

essere espressa nella forma ab

. Le matrici

di rango uno non vengono mai memorizzate

esplicitamente, ma si utilizza sempre la loro

rappresentazione con i vettori a e b.

Come eseguiamo il prodotto W x ? c = W x = (ab

)x = a(b

x) = (b

x)a b

x ` e uno scalare quindi

calcoliamo prima

µ = b

x e poi

c = µa Numero di operazioni:

2n moltiplicazioni

n − 1 addizioni.

Inversa di un matrice Sia A ∈ IR

.

Se esiste una matrice A

∈ IR

tale che

A

A = AA

= I

allora A

viene chiamata inversa della matrice A.

Se l’inversa esiste, essa ` e unica.

Infatti sia B tale che BA = AB = I, allora:

B = BI = BAA

= IA

= A

.

Vale la seguente propriet` a

(AB)

= B

A

infatti:

(AB)B

A

= A

B

BA = I.

Una matrice che non ammette l’inversa ` e detta singolare.

Se A ` e non singolare, lo ` e anche A

.

Infatti (A

)

= A.

• (A

)

= (A

)

.

• L’inversa di diag(d

, d

, . . ., d

) ` e:

diag(d

, d

, . . ., d

)

• L’inversa di una matrice triangolare supe- riore (inferiore) ` e una matrice dello stesso tipo.

• Il prodotto di matrici triangolari superiori

(inferiori) ` e una matrice dello stesso tipo.

Dipendenza lineare di vettori

Dati r vettori x

, x

, . . . , x

, diversi dal vettore nullo,

se

α

x

+ α

x

+ . . . + α

x

= 0

con gli α

6= 0, i vettori si dicono linearmente dipendenti.

Se

α

x

+ α

x

+ . . . + α

x

= 0

solo se α

= 0 per i = 1, 2, . . . , r allora i

vettori x

, i = 1, 2, . . . , r sono linearmente

indipendenti.

Se vi ` e un α

6= 0, ve ne deve essere alme- no un altro, e alcuni dei vettori x

possono esprimersi come combinazione lineare degli altri.

Infatti se x

, x

, . . . , x

sono l.d. con α

6= 0 si ha:

x

= − α

α

x

− α

α

x

− . . . − α

α

x

.

Se i vettori x

sono l.i., un qualunque sot- toinsieme di essi ` e ancora l.i..

Un insieme di vettori tra loro ortogonali sono l.i..

Una base ` e l’insieme minimo di vettori l.i..

che generano un insieme dato.

La base canonica di IR

` e costituita dai vet- tori

e

, e

, · · · , e

con elementi (e

)

= 0 per i 6= j e (e

)

= 1.

Dato un insieme di vettori

{x

, x

, . . . , x

}, x

∈ IR

si dice rango dell’insieme il numero massi- mo di vettori linearmente indipendenti che ` e possibile estrarre dall’insieme.

Poich` e il massimo numero di vettori l.i. in tutto IR

` e m, il rango di un insieme di vettori di IR

non pu` o superare m.

Data una matrice A, si dice rango della ma-

trice, e si indica con rank(A), il rango dell’in-

sieme dei suoi vettori colonna.

Consideriamo quindi le due matrici A ed

A = ˆ











a

a

. . . a

b

a

a

. . . a

b

... ... . . . ... ...

a

a

. . . a

b











= (A, b)

detta matrice ampliata, avente in comune con A le prime n colonne, mentre l’ultima colonna ` e il vettore b.

Si ha il seguente Teorema, noto come teore- ma di Rouch´ e-Capelli:

Condizione necessaria e sufficiente affinch` e il

sistema Ax = b ammetta soluzioni ` e che il

rango di A e quello di ˆ A coincidano.

Se A ` e una matrice quadrata di ordine n allora le seguenti proposizioni sono equivalenti:

1. Per ogni vettore b ∈ IR

, il sistema Ax = b ammette soluzione

2. Se una soluzione del sistema esiste essa

` e unica

3. Per ogni x ∈ IR

, Ax = 0 implica x = 0

4. Le colonne (righe) di A sono linearmente indipendenti

5. La matrice A ` e invertibile

6. det(A) 6= 0

n

L’ultima relazione pu` o essere fuorviante, per- ch` e il determinante cambia scalando la ma- trice. Infatti

det(σA) = σ

det(A) Se n = 30 e det(A) = 1 allora

det(0.1A) = 10

Non ` e facile verificare al calcolatore quando questa quantit` a ` e veramente 0.

Il calcolo del determinante con la regola di Laplace richiede pi` u di n! moltiplicazioni,

n = 16

il nostro computer esegue una moltiplicazio- ne ogni 10

secondi

tempo di calcolo : 16!*1e-10/60 ≈ 35 minuti

Propriet` a del determinante

1) Se A ` e una matrice triangolare (superiore od inferiore), allora det(A) ` e uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale.

2) Se A e B sono due matrici dell’insieme, allora:

det(AB) = det(A)det(B).

3) det(P

) = −1.

Autovalori ed autovettori

Data una matrice quadrata A ∈ IR

, un numero complesso λ si dice autovalore di A se esiste un vettore u 6= 0 a componenti reali o complessi tale che:

Au = λu, o

(A − λI)u = 0,

u si dice autovettore di A ed ` e soluzione non nulla di un sistema lineare omogeneo.

Tale soluzione esiste se det(A − λI) = 0. Si dimostra che det(A − λI) = p(λ) ` e un polino- mio di grado n in λ che ha n radici nel campo complesso (polinomio caratteristico).

Si dice raggio spettrale della matrice A, e lo

si indica con ρ(A), il massimo modulo degli

autovalori di A.

Se u ` e un autovettore di A, anche αu, con α 6= 0 ` e autovettore di A.

Gli autovettori unitari o normalizzati sono tali che u

u = 1.

A = 1 2 2 1

!

autovalori di A: λ

= 3 e λ

= −1, autovet- tori:

u

= 1 1

!

e u

= −1

1

!

autovettori normalizzati di A:

u

= 1

√ 2

1 1

!

e u

= 1

√ 2

−1 1

!

.

Matrici simmetriche.

1) Gli autovalori sono reali u: vettore con elementi i complessi coniugati deglie ele- menti di u

Au = λu.

u

A = λu

u

Au − u

Au = λu

u − λu

u = (λ − λ)u

u (¯ u

(Au))

= (Au)

u = u ¯

A

u = u ¯

A¯ u quindi (λ − λ) = 0

2) Gli autovettori corrispondenti ad autova- lori distinti sono ortogonali

siano λ e µ due autovalori distinti e u e v i corrispondenti autovettori, si ha:

Au = λu, Av = µv da cui:

0 = v

Au − u

Av = (λ − µ)u

v.

3) Esistono n autovettori unitari ortogonali tra loro.

Siano u

, u

, . . . , u

autovettori unitari e sia U = (u

, u

, · · · u

)

U

U =













u

u

u

u

. . . u

u

u

u

u

u

. . . u

u

... ... . . . ...

u

u

u

u

. . . u

u













= I = U U

,

infatti:

u

u

=

(

0 per i 6= j 1 per i = j . La matrice U si dice ortogonale.

Se λ

, λ

, . . . , λ

gli autovalori si A associati a u

, u

, . . . , u

e Λ = diag(λ

, λ

, . . . , λ

), si ha:

AU = U Λ

Si dice forma quadratica di una matrice sim- metrica l’espressione x

Ax con x ∈ IR

.

Una matrice simmetrica A si dice:

definita positiva se x

Ax > 0 per x 6= 0, semidefinita positiva x

Ax ≥ 0 per x 6= 0

Una matrice simmetrica A ` e definita positiva se e solo se gli autovalori sono tutti positivi.

x

Ax = x

U U

AU U

x = y

Λy =

n X i=1

λ

y

, con y = U

x

Se A ` e una matrice ad elementi complessi, A

` e la matrice con elementi i complessi coniu- gati degli elementi di A. La matrice A si dice hermitiana se A

= A.

Trasposta coniugata : A

= A

Le matrici U per cui U

U = U U

= I si dicono matrici unitarie.

Se λ ` e un autovalore di A, λ

` e un autovalore

di A

ed in genere λ

` e un autovalore di A

per r > 0.

Norme vettoriali

Sia x ∈ IR

, si chiama norma di x, e si in- dica con kxk, un numero non negativo che soddisfa le seguenti condizioni:

N1) se x ` e il vettore nullo, kxk = 0 e vice- versa;

N2) se λ ` e uno scalare, kλxk = |λ|kxk;

N3) se x ed y sono due vettori, kx + yk ≤ kxk + kyk (disuguaglianza triangolare)

Dalla N3) segue che:

kx − yk ≥ | kxk − kyk |

Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz:

Sia x = (x

, x

, . . . , x

)

Norma ∞

kxk

= max

1≤i≤n

|x

|.

Norma 1.

kxk

=

n X i=1

|x

|

Norma 2.

kxk

= (x

x)

.

Norme matriciali

Sia A ∈ IR

, si chiama norma di A, e si indica con kAk, un numero non negativo che soddisfa le seguenti condizioni:

M1) kAk = 0 se e solo se A ` e la matrice nulla;

M2) Se λ ` e uno scalare allora kλAk = |λ|kAk;

M3) Se B ` e una matrice avente le stesse dimensioni di A allora:

kA + Bk ≤ kAk + kBk;

M4) Se B ` e una matrice il cui numero di

righe ` e uguale al numero di colonne di A,

Norma matriciale indotta da una norma vet- toriale

kAk = max

kxk=1

kAxk

Una norma matriciale ` e compatibile con una norma su vettori se dato y ∈ IR

,

kAyk ≤ kAkkyk.

Le norme matriciali indotte sono compatibili

con le norme vettoriali.

Norma ∞

kAk

= max

n X j=1

|a

|.

Norma 1

kAk

= max

m X i=1

|a

|.

Norma 2

kAk

=

q

ρ(A

A)