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TRENTO, A.A. 2020/21 CORSO DI TEORIA DEI GRUPPI FOGLIO DI ESERCIZI # 12

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TRENTO, A.A. 2020/21

CORSO DI TEORIA DEI GRUPPI FOGLIO DI ESERCIZI # 12

Esercizio 12.1. Sia G un gruppo di ordine 30.

(1) Si mostri che G è prodotto semidiretto di un gruppo ciclico di ordine 15 per un gruppo di ordine 2.

(2) (Facoltativo) Si mostri che per G ci sono a meno di isomorfismi 4 possibi- lità.

(Suggerimento: Se il gruppo di ordine 2 è ⟨ a ⟩, e il gruppo di ordine 15 è Q = T C quello di ordine 15, ove | C | = 5 e | T | = 3, si tratta di trovare un morfismo φ : ⟨ a ⟩ → Aut(Q). Ora sotto φ l’elemento a deve andare in un elemento α di ordine che divide 2. Se α = 1, otteniamo il prodotto diretto.

Altrimenti α può essere l’inversione su tutto Q, oppure l’inversione su T e l’identità su C, o viceversa.)

Esercizio 12.2. Si mostri che un gruppo semplice di ordine 60 è isomorfo ad A

5

.

(Suggerimento: A lezione abbiamo visto tutto tranne l’ultimo argomento, che

facciamo nella lezione successiva.)

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