Operazioni elementari sulle righe di una matrice

(1)

♦ ♦ Polinomi a coefficienti reali e complessi

♦ ♦ Matrici e loro operazioni

♦ ♦ Operazioni elementari sulle righe di una matrice

♦ ♦ Matrice inversa con la tecnica della riduzione di Gauss

simbolo indicante argomento trattato e discusso in classe ma non riportato in queste slides

Rosalba Barattero

ESERCITAZIONE N.10

10 dicembre 2009

ESERCIZIO 1.

Risoluzione di equazioni in C Sia data l’equazione Z³ –(2-2i ³)=0.

a) determinare le tre radici in C e rappresentarle nel piano di Gauss

b) provare che il prodotto delle tre radici vale 2-2i ³ a) Questa equazione è del tipo Zⁿ=α, con α∈C e quindi le sue 3 radici costituiscono i vertici di un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di centro l’origine e raggio ⁿ|α|.Si trovano così:

• si porta α in forma trigonometrica α=ρ(cosϑ+isenϑ) • le n soluzioni distinte (dette radici n-esime di α ) sono

zk = ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + +

n isen 2k n

cos 2k

n ρ ϑ π ϑ π

ottenute attribuendo a k i valori 0,1,2,…,n-1.

Z³ =2-2i 3 : portiamo 2-2i 3 in forma trigonometrica ρ = 2²+(−2 3)² = 16 =4

2 1 4

cosϑ= 2 = _,

2 3 4

3

2 = −

= − ϑ

sen _=>

3 ϑ =−π

α=2-2i 3₌ρ(cosϑ+isenϑ)= ))

( 3 3)

(cos(

4 ₋π ₊isen ₋π

Le 3 (=n) radici distinte sono:

zk = ⁿ ^ρ^⎜_⎝^⎛^cos^ϑ⁺_n^2k^π ⁺^isen^ϑ⁺_n^2k^π^⎟_⎠^⎞ , k=0,1,2

⇒ zk =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ − +

+ +

−

3 3 2k 3 isen

3 2k cos 4

3 π π π π

(2)

= ³ ⁴^(cos(-π₉ ²k₃π⁾ ^isen(-π₉ ²k₃π⁾⁾ + +

+ _k=0,1,2

( questa è la stessa scrittura precedente ma evidenzia più chia- ramente la relazione tra gli argomenti di z0, z1, z2)

Le radici di Zⁿ=α hanno tutte lo stesso modulo (=ⁿ ρ ₌³ ₄ _{) e}

quindi nel piano di Gauss sono disposte sulla circonferenza di centro l'origine e raggio ³ 4.

Inoltre due radici 'consecutive' sono 'distanziate' in senso angolare di un angolo pari a ²₃^π , quindi per determinare graficamente tutte le radici è sufficiente trovarne una così si disegna il poligono rego- lare di 3 lati ( triangolo),inscritto nella circonferenza di raggio

3 4 , che ha come vertici le radici.

b) In C vale questa decomposizione in fattori lineari : Z³ –(2-2i 3) =(Z-z₀)(Z-z₁)(Z-z₂)

=Z³+Z²(∗)+Z(∗)+(-z₀)(-z₁)(-z₂) ( con ∗si indicano il coefficiente di Z e Z²)

Dal confronto dei termini noti segue: z z z = (2-2i ³)

z₀ = )

-9 9 isen - (cos 4

3 π ₊ π

z1 = )

9 isen5 9

(cos5 4

3 π ₊ π

z2 = )

9 isen11 9

(cos11 4

3 π ₊ π

ESERCIZIO 2.

Polinomi a) Scrivere p(X) a coefficienti complessi, di grado minimo che si annulla in i, 1-i e tale che p(1)= 2.

b) Scrivere p(X) a coefficienti reali, di grado minimo che si annulla in i, 1-i e tale che p(1)= 2

a) Per il teorema di Ruffini :

p(X) si annulla in i ( p(i)=0) p(X) è divisibile per (X-i) p(X) si annulla in 1-i ( p(1-i))=0 p(X) è divisibile per [X-(1-i)]

Quindi p(X) = (X-i)(X-1+i)q(X), con q(X)∈C[X] (anello dei polinomi a coefficienti in C).

Ora deve essere p(1)=2 e p(X) di grado minimo: proviamo con q(X)=costante=a+ib (a,b reali) : p(X)=(X-i)(X-1+i)(a+ib) p(1)=2 => 2= (1-i)(1-1+i)(a+ib)

=> i(1-i) (a+ib)=2 => (1+i)(a+ib)=2 => (a-b)+i(a+b)=2 =>

⎩⎨

⎧

= +

=

− 0 2 b a

b

a

=> a=1,b=-1

=> p(X)=(X-i)(X-1+i)(1-i)

b) Applichiamo il teorema : p(X) a coefficienti reali => se z non nullo è radice di p(X) allora anche ^z ( coniugato di z) è radice di p(X).

Quindi p(i)=0 => p(-i)=0 p(1-i)=0 => p(1+i)=0

(abbiamo uguagliato parte reale e parte immaginaria)

(3)

p(i)=0 p(X) è divisibile per X-i ( teor. di Ruffini) p(-i) =0 p(X) è divisibile per X+i

p(1-i)=0 p(X) è divisibile per X-(1-i) p(1+i)=0 p(X) è divisibile per X-(1+i)

Quindi p(X)= (X-i)( X+i)[ X-(1-i)][ X-(1+i)] q(X) con q(X) ∈R[X] (anello dei polinomi a coefficienti in C).

p(X)= (X²+1) [ (X-1)+i)][ (X-1)-i)] q(X) p(X)= (X²+1) [ (X-1)²+1] q(X)

Ora se q(X)∈R[X]anche p(X)∈R[X] !

Imponiamo: p(1)=2 e p(X) di grado minimo Proviamo con q(X)= costante=a (a∈R) p(X)= a (X²+1) (X²-2X+2)

2= a(2)(1) => a=1

p(X)= (X²+1) (X²-2X+2)

Come si è visto il campo dei coefficienti ( R o C) per il pro- blema della divisibilità gioca un ruolo fondamentale ! Nel caso a) si trova un polinomio di C[X] di II grado, mentre nel caso b) si trova un polinomio di R[X] di IV grado, che risponde agli stessi requisiti !

Esercizio x casa ( quesito elementare)

Verificare che 1 è radice di 2X³-7X²+2X+3 e determinare le altre radici.

ESERCIZIO3.

Matrici e loro operazioni

Verificare se in M2 ( R) la matrice identità I2 é combinazione lineare delle matrici A, A², A³ con A= ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−1 1 0

1 .

Dire che un elemento é combinazione lineare di altri elementi vuol dire che si può scrivere nel seguente modo:

I2 é C. L. di A, A², A³ ⇔ ∃ x, y, z ∈ R tali che I2 = xA + y A²+ z A³ .

Calcoliamo prima A²e A³ :

1. prodotto righe per colonne di matrici A²= A A = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−1 1 0

1 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−1 1 0

1 = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−2 1 0

1 ;

A³= A² A = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−2 1 0

1 ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−1 1 0

1 = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−3 1 0

1 .

Allora la nostra relazione è x ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−1 1 0

1 +y ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−2 1 0

1 +z ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−3 1 0

1 = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 1 0

0

1

sviluppiamo effettuando le operazioni tra matrici :

(4)

2. PRODOTTO DI UN NUMERO PER UNA MATRICE

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−x x 0

x + ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−2y y 0

y + ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−3z z 0

z = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 1 0

0 1

3. SOMMA DI MATRICI

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

−

+ +

z y x 3z - 2y - x

0 z

y

x = ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 1 0

0 1

M2 (R) è l’anello delle matrici 2x2 a coefficienti in R con le operazioni 3. e 1.

M2 (R) è spazio vettoriale su R con le operazioni 3. e 2.

UGUAGLIANZA DI MATRICI

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= + +

=

−

=

= + +

1 z y x

0 3z 2y x

0 0

1 z y x

EQUIVALENTE AL SISTEMA

⎩⎨

⎧

= + +

=

−

1 z y x

0 3z 2y x

Dobbiamo ora stabilire se questo sistema ha o non ha soluzioni. In questo caso è facile vedere che ponendo ad esempio z=0, e poi sommando membro a membro si trova y=-1 e quindi x= 2. Dunque una soluzione c’è ed è

(2,-1,0).

In realtà la scelta z=0 è arbitraria e si può vedere ad. es.

sommando m. a m. (2 volte) che tutte le soluzioni sono ( 2+z,-1-2z,z) al variare di z in R, dunque infinite:infiniti modi di scrivere I2 come C. L. di A, A², A³.

ESERCIZIO4.

Matrice inversa

Sia A = _⎟^⎟^⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ −

1 2 4

1 0 2

1 1 2

∈ M3(R) . Verificare che A è invertibile e determinare la matrice inversa A^-1 .

Richiamiamo le 3 operazioni elementari sulle righe di una matrice

Sappiamo dalla teoria che affiancando ad A la matrice i- dentica I e considerando la matrice A/I , se per effetto di operazioni elementari otteniamo la matrice I/B possiamo dedurre che B=A^-1(in tal caso A è invertibile), se invece le operazioni elementari non consentono di arrivare alla forma I/B concludiamo che A non ammette inversa.

Affianchiamo a destra di A la matrice identica:

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛ −

1 0 0

0 1 0

0 0 1 1 2 4

1 0 2

1 1 2

1. Ri ↔Rj Scambio di righe

2. Ri → λ Ri (λ ≠0) Moltiplicazione di una riga per uno scalare reale non nullo 3. Ri →Ri+λRj (λ ≠0,i≠j) Somma di una riga con un’altra riga moltiplicata per uno scalare

Eseguiamo su A le operazioni elementari necessarie a ridurre totalmente A ad I e contemporaneamente eseguiamo su I ogni operazione fatta su A.

(5)

Ci sono diverse operazioni elementari possibili che portano alla riduzione, ma volendo seguire un algoritmo, usiamo quello della riduzione di Gauss.

Primo passo: mettere una colonna di zeri sotto l’elemento non nullo a11 =2 ( pivot (*)della prima riga R1)

_⎟^⎟^⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 0 2

0 1 1

0 0 1 1 4 0

0 1 0

1 1 2

Secondo passo: mettere una colonna di zeri sotto

l’elemento non nullo a22 =1 ( pivot della seconda riga R2)

_⎟^⎟^⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 4 2

0 1 1

0 0 1 1 0 0

0 1 0

1 1 2

Ora la matrice A si presenta di forma triangolare superiore:

sono nulli tutti gli elementi sotto la diagonale principale.

Inoltre nessun elemento sulla diagonale principale è nullo, ciò garantisce la possibilità di proseguire, mettendo gli zeri anche sopra la diagonale principale.

Quindi proseguiamo con l’algoritmo ′retrogrado′ che met- terà tutti zeri sopra i pivot a22 , a33 .

R2→ R2- R1

R3→ R3- 2R1

R3→ R3-4R2

(*) pivot è il primo elemento non nullo di ogni riga.

Primo passo: mettere una colonna di zeri sopra il pivot a33=1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 4 2

0 1 1

1 4 3

1 0 0

0 1 0

0 1 2

Secondo passo: mettere una colonna di zeri sopra il pivot a22=1

_⎟^⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 4 2

0 1 1

1 3 2

1 0 0

0 1 0

0 0 2

Ultimo passo: normalizzare gli elementi sulla diagonale principale di A, ossia renderli tutti uguali ad 1 tramite l’operazione elementare di tipo 2.

_⎟^⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 4

2

0 1

1

2 / 1 2 / 3 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Siamo arrivati alla forma I/B. Concludiamo che A è invertibile e

B= A^-1= _⎟^⎟^⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

1 4

2

0 1 1

2 / 1 2 / 3 1

.

Vedremo la prossima volta l’algoritmo di Gauss su una matrice non neces- sariamente quadrata.

R1→ R1 +R3

R1→ R1+R2

R1→ 1/2 R1