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Corso di Laurea in Ingegneria Edile Anno Accademico 2013/2014

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(1)

Corso di Laurea in Ingegneria Edile Anno Accademico 2013/2014

Analisi Matematica

Nome ...

N. Matricola ... Ancona, 14 luglio 2014

1. ` E data la funzione

f (x) =

 (2 x + α) e −αx

2

, x ≤ 0 (α x − 1) e −αx

2

+ β, x > 0

con α, β ∈ R. Determinare α e β in modo che f (x) sia derivabile in tutto il suo dominio e, usando tali valori per α e β, studiare la funzione.

2. Determinare il centroide della regione del piano data da

D = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 2, g 1 (x) ≤ y ≤ g 2 (x)}

dove

g 2 (x) = x 3

3 − x 2 + 4, g 1 (x) = 4 − g 2 (x).

3. Determinare la soluzione del problema di Cauchy y 00 + 4 y = 3 cos x y(0) = 1; y 0 (0) = 1.

4. Determinare gli ordini di infinitesimo, rispetto alle potenze di x, di:

sin 2 x

x , x → 0; e x

4

− 1

x , x → 0; ln(1 + x 3/2 )

√ x , x → 0

5. Determinare il limite della successione

a n = 2 e 2n − e n + 1 e αn − 2 e n − 1 al variare di α in R.

6. Determinare il primo termine non nullo della serie di MacLaurin della funzione f (x) = cos x 2 − 1 + x 4

2 7. Determinare il dominio naturale della funzione

f (x, y) = ln(2x + 3y)

e rappresentarlo graficamente sul piano cartesiano. Scrivere quindi le derivate

parziali prime della funzione e calcolarle nel punto (1, 1).

(2)

Corso di Laurea in Ingegneria Edile Anno Accademico 2013/2014

Analisi Matematica

Nome ...

N. Matricola ... Ancona, 14 luglio 2014

1. ` E data la funzione

f (x) =  (2 α x − 1) e −αx

2

+ β, x ≤ 0 (x + 2 α) e −αx

2

, x > 0

con α, β ∈ R. Determinare α e β in modo che f (x) sia derivabile in tutto il suo dominio e, usando tali valori per α e β, studiare la funzione.

2. Determinare il centroide della regione del piano data da

D = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 2, g 1 (x) ≤ y ≤ g 2 (x)}

dove

g 2 (x) = x 2 − x 3

3 + 1, g 1 (x) = 1 − g 2 (x).

3. Determinare la soluzione del problema di Cauchy y 00 − 9 y = 2 e x

y(0) = 1; y 0 (0) = 1.

4. Determinare gli ordini di infinitesimo, rispetto alle potenze di x, di:

sin 3 x

x 2 , x → 0; e x

3

− 1

x 2 , x → 0; ln(1 + x 2 )

x 3/2 , x → 0 5. Determinare il limite della successione

a n = e αn − e n + 1 2 e 2n − 2 e n − 1 al variare di α in R.

6. Determinare il primo termine non nullo della serie di MacLaurin della funzione f (x) = cos x 3 − 1 + x 6

2 7. Determinare il dominio naturale della funzione

f (x, y) = p

3x + 2y

e rappresentarlo graficamente sul piano cartesiano. Scrivere quindi le derivate

parziali prime della funzione e calcolarle nel punto (1, 1).

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Determinare a in modo che f (x) sia continua in tutto il suo dominio e, usando tale valore per a, studiare la