Universit` a degli Studi di Palermo
Facolt` a di Economia
Dip. di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche
Appunti del corso di Matematica Generale
Valore Assoluto
Anno Accademico 2013/2014
V. Lacagnina - S. Piraino
Homines, dum docent, discunt Quando insegnano, gli uomini imparano SENECA
Realizzazione e sviluppo in LATEX di Valerio Lacagnina (25/11/2013)
1. Definizione di valore assoluto
1. Definizione di valore assoluto Sia x un qualsiasi numero reale, definiamo
|x| =
x se x ≥ 0
−x se x < 0
Il numero reale non negativo |x| si denomina valore assoluto di x.
1.1. Propriet`a del valore assoluto. Sono evidenti le seguenti propriet`a:
a: |x| = | − x|
b: x≤ |x|
c: −x ≤ |x|
Sia a un numero reale non negativo, dimostriamo che:
d: |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a Infatti, da |x| ≤ a ⇒
x≤ a per x ≥ 0
−x ≤ a se x <0 ⇒
x≤ a x≥ −a ⇒
⇒ −a ≤ x ≤ a
Siano x e y due numeri reali. Sussistono le seguenti propriet`a e: |x + y| ≤ |x| + |y|
Applicando la propriet`a (b) x≤ |x|
y ≤ |y|
addizionando membro a membro si ottiene
x+ y ≤ |x| + |y| (1)
Applicando la propriet`a (c)
−x ≤ |x|
−y ≤ |y|
addizionando
−(x + y) ≤ |x| + |y|
da cui moltiplicando primo e secondo membro per −1, si ot- tiene
(x + y) ≥ −(|x| + |y|) (2)
Essendo la (1) e la (2) entrambe vere, da esse segue
−(|x| + |y|) ≤ (x + y) ≤ |x| + |y|
Richiamando la propriet`a (d), segue l’asserto |x+y| ≤ |x|+|y|.
c.v.d.
V. Lacagnina - S. Piraino 3
1. Definizione di valore assoluto
f: |x − y| ≥ ||x| − |y||
Da |x| = |(x − y) + y| per la propriet`a (e) si ottiene
|x| = |(x − y) + y| ≤ |x − y| + |y|
da cui
|x| − |y| ≤ |x − y| (3)
Da
|y| = |(y − x) + x| ≤ |y − x| + |x| = |x − y| + |x|
si deduce
−|x − y| ≤ |x| − |y| (4)
Dalle disequazioni (2) e (3) si deduce
−|x − y| ≤ |x| − |y| ≤ |x − y|
Utilizzando la propriet`a (d)
||x| − |y|| ≤ |x − y|
o equivalentemente
|x − y| ≥ ||x| − |y||
c.v.d.
g: |x · y| = |x| · |y|
Quindi le propriet`a viste possono essere riassunte in a: |x| = | − x|
b: x≤ |x|
c: −x ≤ |x|
d: |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a e: |x + y| ≤ |x| + |y|
f: |x − y| ≥ ||x| − |y||
g: |x · y| = |x| · |y|
4 V. Lacagnina - S. Piraino
Indice
1. Definizione di valore assoluto 3
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