Algebra (Informatica) — 6 luglio 2004
Con 18 o pi`u punti si pu`o fare l’orale o accettare il voto dello scritto (30 e lode per chi risolve tutti gli esercizi); con meno di 18 punti si deve rifare lo scritto.
1. Risolvere, in Z11, le seguenti equazioni:
a) 2x − 3 = 0 (3 punti) b) (x + 1)2 = 1 (3 punti)
Soluzione:
a) x = 32mod 11 = 7 b) basta svolgere il quadrato e si ottiene x2+2x = 0, da cui x = 0 e x = −2 mod 11 = 92. Trovare le condizioni da porre sull’intero a perch`e le seguenti equazioni abbiano soluzioni:
a) 7x = 6a mod 14 (4 punti) b) 3ax = 9 mod 15 (4 punti)
Soluzione:
a) l’equazione ha soluzione se e solo se 6a `e divisibile per 7, cio`e se e solo se a `e multiplo di 7. b) l’equazione ha soluzione se e solo se a non `e multiplo di 5.3. Trovare la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso:
z = (1 − i)13 (5 punti)
Soluzione:
(1 − i) = √2©
cosπ4 − i sinπ4ª
per cui basta applicare la for- mula di DeMoivre: (1 − i)13=¡√
2¢13©
cos13π4 − i sin 13π4 ª
= −64 + 64i 4. Considerata la seguente relazione di ricorrenza:
un+1− 2un = 0
come deve essere preso u0 perch`e risulti u10 = 1024 ? (5 punti)
Soluzione:
x − 2 = 0, da cui x = 2un= u02n quindi u0 = 1.
5. Sia n un intero positivo, trovare il resto euclideo della divisione 111117827 : 16 (6 punti).
Soluzione
: ϕ(16) = 8, quindi basta calcolare 17827 mod 8 = 3. A questo punto abbiamo 111117827 = 11118k11113 e quindi, per il teorema di Eulero,111117827mod 16 = 11113mod 16 = 73mod 16 = 7
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