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Academic year: 2021

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(1)

Tutorato 2

Sottospazi vettoriali

• Si faccia un esempio di un sottoinsieme di R

3

che non e’ un sottospazio.

• Si faccia un esempio di un sottoinsieme di R

3

che contiene lo zero, ma non e’ un sottospazio.

• Si faccia un esempio di un sottoinsieme di M at

2×2

(R) che e’ chiuso rispetto alla somma, ma non rispetto al prodotto.

• Si faccia un esempio di un sottoinsieme di M at

2×2

(R) che e’ chiuso rispetto al prodotto, ma non rispetto alla somma.

• Si considerino i sottoinsiemi di R

2

dati da V

−1

:=  x

1

x

2



∈ R

2

tali che x

21

+ x

22

= −1



V

0

:=  x

1

x

2



∈ R

2

tali che x

21

+ x

22

= 0



V

1

:=  x

1

x

2



∈ R

2

tali che x

21

+ x

22

= 1



Si stabilisca per ciascuno se e’ oppure no un sottospazio vettoriale di R

2

.

• Si consideri il sottoinsieme di R

2

dato da V :=  x

1

x

2



∈ R

2

tali che x

1

= x

22

 e si stabilisca se e’ sottospazio vettoriale

Sistemi lineari

• Si considerino i segeuenti sistemi e si stabilisca quali sono fra loro equivalenti.

1.

2x

1

+4x

2

+6x

3

= 8

x

1

+5x

3

= 2

x

1

−2x

2

+7x

3

= 0

2.

2x

1

+4x

2

+6x

3

= 8

x

1

+5x

3

= 2

2x

2

−2x

3

= 2

3.

2x

1

+4x

2

+6x

3

+x

4

= 8

x

1

+5x

3

= 2

2x

2

−2x

3

= 2

4.

 

 

2x

1

+4x

2

+6x

3

= 8

x

1

+5x

3

= 2

x

1

−2x

2

+7x

3

= 0 2x

2

−2x

3

= 2

5.

x

1

+2x

2

+3x

3

= 4

x

1

−x

2

+6x

3

= 7

x

1

+5x

3

= 6

(2)

6.

x

1

x

3

= 2

x

1

+2x

2

−3x

3

= 2 2x

1

+2x

2

−2x

3

= 8

7.

x

1

+7x

2

+2x

3

= 0

x

1

−x

3

= 0

7x

2

+x

3

= 0

• Al variare del parametro k ∈ R, studiare la risolubilita’ del sistema e quando possibile trovarne le soluzioni

 

 

x

1

+2x

4

= k

3x

2

+6x

3

+9x

4

= 0 2x

1

+x

2

+4x

3

+4x

4

= k

x

1

+3x

2

+8x

3

+8x

4

= k(k + 1)

• Si consideri la matrice

M :=

1 1 0 2

1 h + 1 0 3

1 h + 1 h(h + 1) 4

1 1 0 3

Sia M la matrice dei coefficienti di un sistema e sia b la colonna dei termini noti.

– Ci sono valori di h per cui il sistema M x = b ammette soluzione per ogni scelta di b – Ci sono scelte di b per cui il sistema M x = b ammette soluzioni per ogni scelta di h?

– Sia b :=

 2 1 1 0

 .

Ci sono valori di h per cui il sistema M x = b ha esattamente una soluzione?

Ci sono valori di h per cui il sistema M x = b ha esattamente due soluzioni?

Ci sono valori di h per cui il sistema M x = b ha ∞

1

soluzioni?

Ci sono valori di h per cui il sistema M x = b ha ∞

2

soluzioni?

• Si consideri il sistema

x

1

+ kx

3

= 0 x

2

+ kx

4

= 0 x

1

+ x

3

= k + 1

– Si stabilisca la risolubilita’ del sistema al variare del parametro k.

– Quando il sistema e’ risolubile, si determini lo spazio delle soluzioni del sistema e si

stabilisca se e’ un sottospazio vettoriale.

Riferimenti

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