-Li L~li~

(1)

Analisi Matematica 1, Scritto l-B. Durata della prova: 2 ore 24.2.10

Domanda 1

[3+2 punti]

(i) Dare lo,definizione di punto di accuruulaziouo per un insieme De descrivere ipunti di accumulazione dell'insieme [2,7).

(ii) Dare lo,definizione di limf(x) =2.

x--+7

Risposta

(i)

~,.pl.-lo ~

^O--~('. ^~

Crd

v

~-A-

(ii)

L Cc

^{'l-) ~}

^{L ~} ^li ^~ ^"> ^O 3-_~-"'----'-'">..>LQ --,f~,

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)(~+-

______ -!.--!

Ut-ì -Li

^C

L ~ K6--)(~ (Ck,fo,A t

c-,

^O

< I x-: ~ c ..ç.

Domanda 2

[2+3 punti]

(i) Dare la definizione di derivata

l'

^{(x) per} una funzione

f :

JR;---+ R

(ii) Se

f :

D ç JR;---+ JR; èderivabile ef'(x) ⁼O per ogni x E D, allora f è costante in D?

Risposta

(i), _

(ii) _

(2)

Esercizio 1

[3 punti]

Sia i E Cl (a,b) tale che i é strettamente monotona e siano m := inf i, 111:=sup f. Allora

(a.,b) (a,b)

~ i:

^(a,^b) ^---1 ^(m, 111) é invertibile

@] se esiste cE(a, b) con j'(c) =O, allora i(a) =i(b)

~ f'(x) > Oper ogni x E (a, b)

[ill i: (

a,b) ---1 [m,JVlj é bicttiva Risoluzione

C ^~\-t.-4-- ^~ ^~<Lo ^a...-A)

fTV\

6) 'f'rr-.'JJ. ~ y:.,\ "'-

k-

t ^{-e ~} ~k. Drr L~ ~. ~ L

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f(

xr:

---~<~~~tt l~pC

Esercizio 2

[3 punti]

Sia an =(-l?· (1f-^{n -} 1).Allora

~ L

+00^aⁿ ^converge n=l

lliJ

^VE> ^O^:Jno ^E ^N ^tale ^che

la

ⁿ

+

11 <Eper ogni

n

> no

~ VE> O3no EN tale che

la

no

+

11 <E

Risoluzione

y,.IL,....- "" f ~ ~

^{(J\ ~:::.}

1\ -"'- 1- -O - cL f0-.-=

^vt,-~

-t

^If()

~J,.:. L

^(>0 ^~ ^V\

$.<--fh'c;.e.-k~ ~~ e.. f>~'

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^g.

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t.--....,..

---

«-=J)

^O ⁽ ",::f)---t ~

ì

Esercizio 3 . 5 ~ ~~~ x=

^-1)

e~~ ~\..~

^{[3 punti]}

1 (1+ 0') ~'~ '-- X,= O.

La funzione i(x)

=

ⁿ ^{x x} ^. é integrabile in senso improprio su (0,1)

~ per Cl' > 1

li

^per ^(~> ^O ^@] ^Cl' ^> ²

^[ill

^{per nessun} ^Cl'

--1J

&Cl?'.-;

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o

(3)

Esercizio 4

Calcolare

Risoluzione

Esercizio 5

Trovare sup einf di f(x)

=

^lIl2~x)_x in (O,+00).

Risoluzione

I ^R.~~); ^1.

[4punti]

o

(4)

Esercizio 6

[5punti]

Disegnare la regioneD del primo quadrante delimitata dalla retta 2x

+

^2y

=

5edall'iperbole xy

=

1 ecalcolare

Jf~

xy dx dy.