166 Prove d’Esame di Analisi Matematica – Versione 2007 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria Civile
Scritto d’esame di Analisi Matematica II
Pisa, 14 Gennaio 2006
1. Consideriamo la funzione
f (x, y) = 5 log(1 + xy) − 2(x + y).
(a) Determinare i punti stazionari di f (x, y), precisando se si tratta di punti di massimo/minimo relativo.
(b) Calcolare l’estremo inferiore di f (x, y) in
Q = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0}.
(c) Calcolare l’estremo superiore di f (x, y) in Q (se serve, si pu`o usare il fatto che e8 < 3000).
2. Consideriamo il problema di Cauchy
u0+ tu = tk, u(0) = α.
(a) Risolvere il problema nel caso particolare in cui k = 1 e α = 0.
(b) Sempre nel caso k = 1, determinare per quali valori di α la soluzione risulta strettamente decrescente per t ≥ 0.
(c) Dimostrare che, per ogni intero positivo k e per ogni numero reale α, la soluzione `e globale, cio`e definita per ogni t ∈ R.
(d) Nel caso in cui k = 5 e α = 0, determinare se la soluzione `e monotona per t ≥ 0.
3. Sia T il triangolo con vertici nei punti (1, 0), (2, 1), (4, 0) del piano cartesiano. Sia S il solido ottenuto da una rotazione completa di T intorno all’asse x.
(a) Determinare il volume di S.
(b) Determinare le coordinate del baricentro di S.
4. Sia A = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}.
Studiare, al variare del parametro α > 0, la convergenza dell’integrale improprio Z
A
x2+ y
(x2+ y2)α dx dy, e, nei casi in cui converge, determinarne il valore.
Scritto d’esame Civili 2006 1
Capitolo 2: Scritti d’esame 167 Universit`a di Pisa - Corso di Laurea in Ingegneria Civile
Scritto d’esame di Analisi Matematica II
Pisa, 28 Gennaio 2006
1. Consideriamo la funzione
f (x, y) = x2+ y x2+ y2.
(a) Determinare quanti sono i punti stazionari di f (x, y).
(b) Determinare massimo e minimo di f (x, y) nel triangolo con vertici in (1, 1), (2, 2), (2, 1), precisando quali sono i punti di massimo e di minimo.
(c) Determinare estremo superiore ed inferiore di f (x, y) nell’insieme Q = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0},
precisando se si tratta, rispettivamente, di massimo o minimo.
2. Sia A = [0, 1] × [0, 1]. Calcolare Z
A
(y − 2x) dx dy,
Z
A
|y − 2x| dx dy.
3. Trovare la soluzione generale dell’equazione differenziale u00+ u0 = 1
1 + et + t.
4. Sia C il cilindro infinito di equazione
C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2 ≤ 1}.
Calcolare
Z
C
x2y2
z2+ 1dx dy dz.
Scritto d’esame Civili 2006 2
