Scritto d’esame di Analisi Matematica II
Pisa, 1 Gennaio 2005
1. Consideriamo la funzione
f (x, y) = x2− x2y + y, e gli insiemi
A = {(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0}, B = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0}.
(a) Calcolare massimo e minimo di f (x, y) in A, determinando anche i punti di massimo e minimo.
(b) Calcolare estremo inferiore e superiore di f (x, y) in B, precisando se si tratta, rispettivamente, di massimo e minimo.
2. (a) Calcolare le coordinate del baricentro del quadrilatero del piano cartesiano con vertici in (0, 0), (1, 0), (4, 1), (2, 1).
(b) Calcolare il volume dei solidi ottenuti ruotando il quadrilatero intorno all’asse x e intorno all’asse y.
3. Consideriamo l’equazione differenziale u0+ u
t = e2t.
(a) Trovare la soluzione dell’equazione differenziale che soddisfa la condizione u(1) = 0, determinando anche il suo intervallo massimale di esistenza.
(b) Determinare se esiste una funzione u : R → R, continua e derivabile in ogni punto, che soddisfa l’equazione differenziale data per ogni t 6= 0.
4. Sia S la sfera in R3 con centro nell’origine e raggio 1.
Calcolare
Z
R3\S
1
(x2+ y2+ z2)3 dx dy dz.
Scritto d’esame di Analisi Matematica II
Pisa, 1 Gennaio 2005
1. Consideriamo la funzione
f (x, y) = 2x + 2y − x2y2.
(a) Determinare gli eventuali punti stazionari di f (x, y), precisando se si tratta di punti di massimo/minimo locale/globale.
(b) Determinare estremo inferiore e superiore di f (x, y) nell’insieme A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1}.
2. Sia C il cono di R3 che ha come base il cerchio del piano x, y con centro nell’origine e raggio 1, e come vertice il punto (0, 0, 3).
Calcolare
Z
C
z2dx dy dz.
3. Consideriamo il problema di Cauchy
u00+ αu0+ 4u = 0, u(0) = 1, u0(0) = 0.
(a) Risolvere il problema nel caso particolare α = 0.
(b) Determinare per quali valori del parametro reale α si ha che la soluzione del problema `e limitata per t ≥ 0.
4. Sia D il cerchio nel piano con centro nell’origine e raggio 2.
Studiare la convergenza degli integrali impropri Z
R2
|x|
(x2+ y2)2 dx dy
Z
R2\D
|x|
(x2+ y2)2dx dy, e, nel caso in cui convergano, determinarne il valore.
Scritto d’esame di Analisi Matematica II
Pisa, 19 Gennaio 2005
1. Consideriamo la funzione
f (x, y) = sin x + sin y, ed il quadrato Q = [0, 2π] × [0, 2π].
(a) Determinare i punti stazionari di f (x, y) contenuti in Q, precisando se si tratta di punti di massimo/minimo relativo.
(b) Calcolare massimo e minimo di f (x, y) in Q, determinando anche i punti di massimo e minimo.
(c) La funzione f (x, y), su tutto il piano, alterna zona in cui `e positiva (“monta- gne”) e zone in cui `e negativa (“laghi”). Determinare il volume di uno di questi laghi.
2. Consideriamo il problema di Cauchy
u0 = t3u−3, u(−1) = α.
(a) Risolvere il problema nel caso particolare α = 1/2, precisando se si ha esistenza globale, blow-up o break-down.
(b) Determinare per quali valori del parametro α ∈ R si ha esistenza globale.
3. Consideriamo la sfera S con centro in (2, −3, 1) e raggio 2.
Calcolare
Z
S
(x + y)z dx dy dz.
4. Studiare la convergenza dei seguenti integrali impropri Z +∞
1
dx e2x− 1,
Z +∞
0
dx e2x− 1, e, nel caso in cui convergano, determinarne il valore.
Scritto d’esame di Analisi Matematica II
Pisa, 5 Febbraio 2005
1. Consideriamo la funzione
f (x, y) = xy4− arctan(xy).
(a) Determinare i punti stazionari di f (x, y), precisando se si tratta di punti di massimo/minimo locale/globale.
(b) Determinare estremo inferiore e superiore di f (x, y) al variare di (x, y) in R2. (c) Determinare estremo inferiore e superiore di f (x, y) nell’insieme
Q = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0}.
2. Consideriamo il problema di Cauchy u0+ t
t2+ 1u = t, u(0) = α.
(a) Risolvere il problema nel caso particolare α = 0.
(b) Determinare per quali valori di α la soluzione risulta monotona per t ≥ 0.
3. Sia
R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ 1}.
Calcolare
Z
R
|y − sin x| dx dy.
4. Consideriamo l’insieme
A = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x2+ y2+ z2 ≥ 4}.
Studiare, al variare del parametro reale α, la convergenza dell’integrale improprio
Scritto d’esame di Analisi Matematica II
Pisa, 23 Febbraio 2005
1. Consideriamo la funzione
f (x, y) = λ sin(xy) + x2+ 2y2.
(a) Determinare, in funzione di λ, l’estremo superiore della funzione al variare di (x, y) in R2.
(b) Dimostrare che, per ogni λ ∈ R, la funzione ammette minimo su tutto R2. (c) Determinare per quali valori del parametro λ l’origine `e un punto di minimo
locale per la funzione, e per quali valori `e un punto di minimo globale.
2. Consideriamo il problema di Cauchy
u00− 3u0+ 2u = t2, u(0) = α, u0(0) = 0.
(a) Trovare la soluzione del problema nel caso particolare α = 0.
(b) Determinare per quali valori di α si ha che
t→+∞lim u(t) = −∞.
3. Determinare il volume e le coordinate del baricentro del solido ottenuto dalla rotazione completa della figura
F = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x4} intorno all’asse x.
4. Sia Q = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0}. Studiare la convergenza dell’integrale improprio
Z
Q
xe−x−ydx dy, e, nel caso in cui converga, determinarne il valore.
Scritto d’esame di Analisi Matematica II
Pisa, 16 Giugno 2005
1. Calcolare massimo e minimo della funzione
f (x, y) = |y − sin x|
al variare di (x, y) nel rettangolo [0, π]×[0, 1], determinando anche i punti di massimo e di minimo.
2. (a) Risolvere il problema di Cauchy
u00+ 4u0 + 5u = cos(3t), u(0) = 0, u0(0) = 1.
(b) Dire se esiste, ed in caso affermativo determinare, un’equazione differenziale autonoma (di qualunque ordine) di cui la funzione trovata al punto precedente sia una soluzione.
3. Calcolare
Z
S
(x2+ y2+ z2) dx dy dz,
dove S `e la sfera di R3 che ha centro in (2, −1, 0) e la cui superficie passa per l’origine.
4. Studiare la convergenza dei seguenti integrali impropri Z +∞
1
log(1 + x) x2 dx,
Z +∞
0
log(1 + x) x2 dx, e, nel caso in cui convergano, determinarne il valore.
