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DICACIM programme A.Y. 2019–20 Numerical Methods for Partial Differential
Equations
Lesson 2.
Elliptic problems: strong and weak forms Elements of functional analysis
Paola Gervasio
DICATAM, Universit`a degli Studi di Brescia (Italy)
uniBS, April, 2020
Lo spazio L
2(Ω)
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Sia Ω ⊂ Rd aperto e limitato.
Definizione.
L2(Ω) = {v : Ω → R : Z
Ω
v2d Ω < +∞}.
Gli elementi di L2(Ω) sono classi di funzioni. Si identificano in una sola funzione tutte quelle funzioni che differiscono su un insieme di misura nulla.
y v(x)
x Ω
x Ω
w(x) y
v e w differiscono solo in due punti, quindi rappresentano lo stesso elemento in L2(Ω).
Prodotto scalare in L
2(Ω)
Prodotto scalare: (u, v )L2(Ω) = Z
Ω
uv d Ω
Definizione. (·, ·) `e un prodotto scalare su uno spazio vettoriale V se
1. (u, v ) = (v , u) ∀u, v ∈ V (simmetria)
2. (u, u) ≥ 0 ∀u ∈ V e (u, u) = 0 sse u = 0 (positivit`a) 3. (αu + βv , w ) = α(u, w ) + β(v , w ) ∀α, β ∈ R e
∀u, v , w ∈ V (bilinearit`a)
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Norma in L
2(Ω)
Norma: kukL2(Ω)= Z
Ω
u2 d Ω
Definizione. Sia V uno spazio vettoriale, k · k `e una norma su V se
1. kv k ≥ 0 ∀v ∈ V e kv k = 0 sse v = 0 (positivit`a) 2. kαv k = |α| kv k ∀v ∈ V , ∀α ∈ R (omogeneit`a)
3. ku + v k ≤ kuk + kv k ∀u, v ∈ V (disuguaglianza triangolare)
Definizione. Un spazio vettoriale normato `e uno spazio vettoriale su cui `e definita una norma.
L
2(Ω) ` e uno spazio di Hilbert
La norma kukL2(Ω)`e indotta dal prodotto scalare (u, v )L2(Ω), ovvero
kukL2(Ω)= q
(u, u)L2(Ω)
Definizione. Uno spazio V vettoriale `e di Hilbert se `e dotato di un prodotto scalare (·, ·) ed `e completo1 rispetto alla norma
kuk =p(u, u) indotta dal prodotto scalare.
Propriet`a. L2(Ω) `e uno spazio di Hilbert.
In L2(Ω) vale la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:
Z
Ω
uv d Ω
≤ kukL2(Ω)kv kL2(Ω) ∀u, v ∈ L2(Ω)
1Uno spazio normato `e completo se ogni successione di Cauchy `e anche convergente
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Lo spazio C0(Ω) (delle funzioni continue su Ω), munito della norma kv k∞= max
x ∈Ω
|v (x)| `e uno spazio normato completo, ma non `e uno spazio di Hilbert.
Infatti la norma kuk∞ non `e indotta da alcun prodotto scalare.
Obiettivo: vogliamo derivare le funzioni di L2(Ω) anche se non sono derivabili in senso classico → introduciamo funzionali e le distribuzioni.
Lo spazio C0(Ω) (delle funzioni continue su Ω), munito della norma kv k∞= max
x ∈Ω
|v (x)| `e uno spazio normato completo, ma non `e uno spazio di Hilbert.
Infatti la norma kuk∞ non `e indotta da alcun prodotto scalare.
Obiettivo: vogliamo derivare le funzioni di L2(Ω) anche se non sono derivabili in senso classico → introduciamo funzionali e le distribuzioni.
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Funzionali
Sia V uno spazio vettoriale normato.
Un funzionale F definito su V `e un operatore a valori reali, cio`e:
F : V → R (associa ad una funzione di V un unico valore in R).
Esempio 1. V = C0([0, 1]), ∀v ∈ V e per un certo x0∈ [0, 1], definiamo il funzionale, detto delta di Dirac,
δx0(v ) = hδx0, v i = v (x0).
Esempio 2. V = C0([0, 1]), definiamo il funzionale
Propriet` a dei funzionali
Sia V uno sp. vettoriale normato.
Definizione. Un funzionale F definito su V `e lineare se
F (αu + βv ) = αF (u) + βF (v ), ∀α, β ∈ R, ∀u, v ∈ V
Definizione. Un funzionale F definito su V `e limitato se
∃c > 0 : |F (v )| ≤ ckv k, ∀v ∈ V
Definizione. Un funzionale F definito su V `e continuo se per ogni v ∈ V e per ogni successione vn in V con lim
n→+∞vn= v si ha
n→+∞lim F (vn) = F (v ).
Propriet`a. Un funzionale lineare `e continuo se e solo se `e limitato.
Definizione. L’insieme dei funzionali lineari e continui su V `e uno spazio vettoriale denotato con V0 e chiamato duale di V .
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Lo spazio D(Ω) = C
0∞(Ω)
Siano:
1. C∞(Ω) lo spazio delle funzioni derivabili infinite volte su Ω, 2. K ⊂ Ω un compatto (cio`e un insieme chiuso e limitato in Ω), 3. data v : Ω → R, il supporto di v `e
supp(v ) = {x ∈ Ω : v (x) 6= 0}
Definiamo
D(Ω) = {v ∈ C∞(Ω) : ∃K ⊂ Ω compatto : supp(v ) ⊂ K } (lo spazio delle funzioni C∞ a supporto compatto). Si usa anche la notazione C0∞(Ω) al posto di D(Ω)
Distribuzioni
Definizione. Una distribuzione in Ω `e un funzionale lineare e continuo definito su D(Ω), cio`e un elemento dello spazio duale D(Ω)0.
Quindi D(Ω)0 `e lo spazio delle distribuzioni in Ω.
La delta di Dirac
Sia x0 ∈ Ω, la delta di Dirac,
δx0(v ) = hδx0, v i = v (x0)
`e un funzionale lineare e continuo su D(Ω), cio`e `e una distribuzione.
N.B.La delta di Dirac non soddisfa la definizione di funzione (in senso classico).
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Derivata nel senso delle distribuzioni
Sia Ω ⊂ Rd, T ∈ D0(Ω) una distribuzione in Ω e ϕ ∈ D(Ω).
La derivata direzionale ∂T
∂xi (per i = 1, . . . , d ) di una distribuzione
`e definita da:
h∂T
∂xi, ϕi = −hT ,∂ϕ
∂xii Quindi
h∂2T
∂xi2, ϕi = hT ,∂2ϕ
∂xi2i
Remark 1. La derivata di una distribuzione `e ancora una distribuzione.
Remark 2. Una distribuzione pu`o essere derivata infinite volte.
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Spazio di Sobolev H
1(Ω)
Sia Ω ⊆ Rd.
H1(Ω) = {v ∈ L2(Ω) : ∇u ∈ [L2(Ω)]d} (le derivate sono da intendersi nel senso delle distribuzioni) Prodotto scalare: (u, v )H1(Ω)=
Z
Ω
uv d Ω + Z
Ω
∇u · ∇v d Ω Norma:
kukH1(Ω) =
kuk2L2(Ω)+ k∇uk2L2(Ω)
1/2
=
Z
Ω
u2 d Ω + Z
Ω
|∇u|2 d Ω
1/2
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