8
Applicazione
dei
metodi
di
analisi lineari al complesso strutturale.
8.1 Introduzione.
Il sima è un fenomeno dinamico che imprime alle fondazioni degli spostamenti variabili nel tempo tali da indurre nelle masse della struttura delle forze d’inerzia proporzionali alle stesse e alle corrispondenti accelerazioni.
Le vibrazioni indotte nella struttura nascono dalla sovrapposizione di modi di vibrare sia traslazionali che torsionali, quest’ultimi trascurabili nel caso di edifici regolari in pianta e in altezza.
In questi casi facendo riferimento solo ai modi traslazionali che presentano spostamenti di ciascun piano crescenti linearmente lungo l’altezza in una direzione e spostamenti ed effetti trascurabili nell’altra, è possibile analizzare la struttura attraverso metodi statici ovvero con forze indipendenti dal tempo.
Inoltre gli effetti dell’azione sismica possono essere valutati utilizzando un modello assunto agente in campo elastico lineare o a comportamento non lineare.
I metodi di analisi sopra menzionati vengono impiegati nel caso si voglia effettuare un’analisi globale dell’edificio. C’è da dire che il comportamento globale si innesca quando le pareti sollecitate dal sisma in direzione ortogonale sono in grado di trasmettere l’azione sismica ai solai di piano che a sua volta la trasferiscono alle pareti disposte parallelamente alla direzione del terremoto. Risulta quindi necessario effettuare preventivamente una serie di verifiche locali che nel caso di costruzioni esistenti si basano sull’applicazione dei modelli dell’analisi cinematica.
8.2 Applicazione
dell’analisi
dinamica
modale
all’edificio oggetto di studio.
Solitamente nel caso in cui siano presenti irregolarità in elevazione è opportuno analizzare la struttura attraverso l’analisi modale.
Inoltre se esistono anche irregolarità in pianta è necessario operare facendo uso di un modello spaziale.
L’analisi dinamica modale, riferita allo spettro di risposta di progetto è considerato il metodo normale per il calcolo delle sollecitazioni di progetto. Il termine “modale” indica che il complesso modo di vibrare delle struttura ad n gradi di libertà è scomposto negli n modi di vibrare relativamente semplici che lo compongono.
La particolarità che lo differenzia dall’analisi statica lineare consiste nel tener conto nei parametri di risposta della struttura delle caratteristiche dinamiche attraverso, appunto, i modi propri di vibrare.
Con l’analisi dinamica modale, attraverso l’impiego dello spettro di risposta in accelerazione, si prevede di calcolare le sollecitazioni e gli spostamenti per ciascun modo di vibrare. E’ possibile inoltre, avendo supposto il comportamento della struttura elastico lineare, combinarli fra loro in maniera opportuna.
8.2.1
Metodologia di applicazione.
L’analisi dinamica lineare, attraverso l’utilizzo dello spettro di progetto in accelerazione, consente di calcolare i massimi vettori delle forze statiche equivalenti relative a ciascun modo di vibrare e conseguentemente i valori massimi dei parametri di risposta della struttura.
Nella progettazione però non è possibile prendere in considerazione tutti gli n modi di vibrare tenuto conto che n può assumere un valore elevato e che solo i primi forniscono un contributo sostanziale all’assorbimento dell’azione sismica.
Poiché tutti i modi di vibrare non raggiungono il massimo contemporaneamente e i valori massimi delle risposte modali non sono sommabili
in quanto sfalsate nel tempo, la norma suggerisce di prendere in considerazione un numero di modi tale che la massa partecipante totale, definita come la massa che moltiplicata per l’ordinata spettrale fornisce il valore del taglio alla base dell’i-esimo modo, risulti almeno pari all’85%. Nel caso di modelli tridimensionali questa condizione deve essere verificata per entrambe le direzioni principali.
Nel caso in cui le risposte di ciascun modo possono essere considerate indipendenti le une dalle altre, le norme consentono di calcolare il loro valore massimo globale più probabile attraverso una combinazione SRSS ovvero CQC nel caso in cui i modi di vibrare non possono essere considerati indipendenti.
8.2.2 Risultati dell’analisi.
L’analisi è stata condotta facendo uso del modello tridimensionale a telaio proposto, nel quale sono stati assegnati i valori delle azioni permanenti ed accidentali ed inseriti i valori dello spettro di risposta in accelerazione relativo al sito in esame opportunamente scalato del fattore di struttura q.
Le masse associate ai carichi gravitazionali sono ottenute dalla combinazione:
Gk+ΣjΨ2jQkj
dove, dalla tabella 2.5.I dell’attuale normativa italiana, si ha:
Ψ2j=0,6 coefficiente di combinazione per i carichi di esercizio;
Ψ2j=0 coefficiente di combinazione per la copertura;
Ψ2j=0 coefficiente di combinazione per il vento;
Ψ2j=0 coefficiente di combinazione per la neve a quota inferiore a
1000m s.l.m.
Da quanto esposto si nota che il carico variabile da prendere in considerazione è solo il carico di esercizio dei piani di calpestio, in quanto le altre azioni variabili sono moltiplicate per il coefficiente Ψ2j che nella combinazione sopracitata
assume il valore 0.
L’analisi dei modi propri di vibrare della struttura, ha preso in esame i primi 96 modi nella direzione x e 32 nella direzione y, sufficienti per ottenere una massa cumulativa partecipante almeno pari all’85% nelle due direzioni principali.
A seguito dell’esecuzione dell’analisi modale si è potuto analizzare la risposta della struttura nelle due direzioni ricavando i valori del periodo fondamentale nelle due direzioni e la corrispondente massa partecipante (fig. 1):
Figura 1: Risultati dell'analisi modale eseguita sul modello tridimensionale.
Nel modello della struttura sono state assegnate le combinazioni allo stato limite ultimo dell’azione sismica con le altre azioni distinte nelle due direzioni principali secondo quanto riportato al punto 3.2.4 dell’attuale normativa italiana avendo precedentemente calcolato gli effetti dell’azione sismica attraverso la seguente espressione riportata al punto 7.3.5 del D.M. 14/01/2008:
nel caso di sisma agente nella direzione x o alternativamente ruotando gli indici nel caso di sisma agente in direzione y e calcolate le sollecitazioni per ciascun elemento strutturale da utilizzare nelle verifiche.
8.3 Applicazione dell’analisi statica lineare all’edificio
oggetto di studio.
La filosofia su cui si fondano le normative moderne si basa sulle seguenti considerazioni:
per effetto di un terremoto di media intensità la struttura deve rimanere in campo elastico;
per effetto di un sisma violento, la struttura può danneggiarsi, evitando però il pericolo di crollo. Ciò porta ad affermare che la struttura in questo caso deve necessariamente uscire dal campo elastico ed esibire un buon comportamento elasto-plastico.
L’assumere spettri di progetto desunti dallo spettro elastico e ridotti del fattore di struttura q sta a significare che la struttura deve mostrare elevata capacità di spostamenti in campo plastico, senza giungere al collasso.
In altre parole, se non si esegue un’analisi non lineare, la capacità di dissipazione di energia derivante dal comportamento duttile, può essere tenuta conto attraverso un’analisi lineare adottando lo spettro di progetto ottenuto dallo spettro elastico fornito dalla norma scalato del fattore 1/q .
E’ da tener presente che le strutture in muratura presentano capacità dissipative ridotte messe in conto attraverso fattori di struttura relativamente bassi.
L’analisi statica lineare è applicabile nel caso in cui l’edificio sia regolare in altezza e quando il primo modo di vibrare della struttura, indicato con T1, è
inferiore a 2,5 volte il periodo TC essendo TC uno dei parametri dello spettro di
risposta elastico. Questi presupposti sono necessari al fine di poter affermare che la risposta dell’edificio non è influenzata dai modi elevati di vibrare.
Nel caso in cui la struttura mostri simmetrie in pianta e in elevazione è possibile eseguire l’analisi della stessa attraverso due telai piani nelle due direzioni in quanto i modi di vibrare della struttura sono completamente disaccoppiati: i modi di vibrare in direzione x non sono influenzati dai modi di vibrare in direzione y e viceversa.
Il metodo si basa sulla schematizzazione dell’azione sismica attraverso un sistema di forze statiche orizzontali, distribuite lungo l’altezza ed applicate a ciascun piano dell’edificio, e sul conseguente calcolo delle sollecitazioni da esse prodotte su un sistema elastico lineare.
Esso prevede di prendere in considerazione, in entrambe le direzioni, solo il modo fondamentale rappresentato dal primo modo di vibrare. Una volta calcolati i periodi fondamentali nelle due direzioni, è possibile calcolare il taglio alla base e i loro contributi lungo l’altezza dell’edificio. Con essi è possibile adesso effettuare un’analisi statica.
8.3.1
Metodologia di applicazione.
Facendo riferimento allo spettro di progetto ed assumendo il comportamento della struttura caratterizzato dal solo primo modo di vibrare, si calcola la forza di taglio alla base della struttura funzione dell’ordinata spettrale corrispondente al periodo relativo al modo fondamentale e del peso dell’intera struttura.
Inoltre, in particolari condizioni, è lecito introdurre un coefficiente correttivo λ pari a 0,85 ovvero quando il periodo T1 risulta inferiore a 2,5 volte il periodo TC e
l’edificio ha più di due piani. Questo perché gli edifici disposti su almeno tre livelli e con gradi di libertà traslazionali in ogni direzione orizzontale generalmente mostrano, relativamente al modo fondamentale, una massa modale partecipante inferiore.
Il taglio alla base è distribuito lungo i piani in maniera proporzionale alle forze d’inerzia corrispondenti al primo modo di vibrare.
Questo tipo di analisi trova fondamento nel fatto che in molti edifici la massa partecipante relativa al primo modo di vibrare risulta preponderante arrivando fino a valori dell’80-90% rispetto alla massa totale della struttura e l’ordinata dello spettro di risposta corrispondente a tale periodo assume un valore circa uguale a quello degli altri modi minori.
8.3.2 Risultati dell’analisi.
E’ da premettere che l’analisi statica lineare è applicabile solo nei casi in cui sussistono particolari requisiti; nel nostro caso essa è stata condotta al fine di comparare i risultati ottenuti con quelli derivanti dall’analisi modale, al fine di testare la bontà del modello a telaio tridimensionale proposto.
In particolare, i periodi fondamentali nelle due direzioni principali, riportati a seguire, sono stati assunti dall’interpretazione del risultati ottenuti con l’analisi dinamica modale precedentemente eseguita:
Tabella 1: Valori dei periodi fondamentali relativi alle due direzioni x e y ottenuti con l'analisi modale.
ai quali corrispondono rispettivamente le seguenti ordinate dello spettro elastico in accelerazione e dello spettro di progetto:
Spettro elastico in accelerazione
Sa(T1x) 0,932
Sa(T1y) 0,451
a) b)
Tabella 2:Valori dell'ordinata spettrale relativa ai periodi nelle due direzioni: a) per spettro elastico b) per spettro di progetto.
Periodi fondamentali
T1x (s) 0,277
T1y (s) 0,928
Spettro di progetto in accelerazione
Sa(T1x) 0,621
Dall’esame dei modi di vibrare è emerso che, mentre in direzione x il periodo fondamentale ci fornisce le amplificazioni massime spettrali in quanto compreso nel tratto costante del ramo dello spettro, in direzione y il periodo fondamentale risulta molto elevato (struttura molto deformabile) a spiegazione del fatto che esso è relativo ad un modo di vibrare che in realtà coinvolge le masse non solo nella direzione di azione della forza sismica ma anche nella direzione opposta sollecitando le pareti al di fuori del proprio piano.
Al fine della corretta metodologia di analisi, è stato assunto come modo fondamentale quello in direzione x secondo la quale complessivamente le pareti risultano impegnate prevalentemente nel proprio piano ed assegnando lo stesso valore di amplificazione spettrale anche nell’altra direzione.
Per ciascun piano della struttura è stata calcolata l’azione orizzontale concentrata da applicare al livello del solaio:
Carichi sismici ai piani
Livello Wi (kN) zi (m) W*zi (kN*m) λ λλ λ Fhx (kN) Fix (kN) Fhy (kN) Fiy (kN) P1 3544,15 2,58 9143,91 757,43 365,91 P2 3019,81 6,49 19598,57 1623,44 784,27 P3 2685,02 10,28 27602,00 2286,40 1104,54 P4 340,42 13,99 4762,48 394,50 190,58 Totale 9589,41 61106,96 0,85 5061,77 2445,30
I suddetti carichi sono stati poi applicati ai vari piani e ripartiti tra i vari telai tenendo conto dell’area di competenza di ciascuno di essi:
Piano 1 Piano 2 Piano 3 Piano 4
Direzione x F1x (kN) Fx (kN) F2x (kN) Fx (kN) F3x (kN) Fx (kN) F4x (kN) Fx (kN) Telaio G 77,65 181,29 284,06
Telaio L 141,26 302,77 516,75 197,25 Telaio Q 129,30 277,14 473,00 Telaio D 82,16 176,09 300,54 Telaio R 87,70 187,98 Telaio T 87,70 187,98 Telaio C 36,05 77,27 422,28 Telaio N 115,43 247,42 289,13 197,25 Totale 757,43 1623,44 2286,40 394,50
Piano 1 Piano 2 Piano 3 Piano 4
Direzione y F1y (kN) Fy (kN) F2y (kN) Fy (kN) F3y (kN) Fy (kN) F4y (kN) Fy (kN) Telaio S 59,25 126,99 Telaio E 113,86 244,12 195,87 Telaio P 91,42 195,95 324,93 Telaio M 98,83 211,82 354,22 197,25 Telaio B 62,31 133,55 223,33 197,25 Telaio F 26,56 56,92 590,02 Telaio H 165,99 355,78 Telaio A 139,18 298,31 590,02 Totale 757,43 1623,44 2286,40 394,50
Direzione x Taglio alla base (kN) Telaio G 543,00 Telaio L 1158,03 Telaio Q 879,44 Telaio D 558,79 Telaio R 275,68 Telaio T 275,68 Telaio C 535,60 Telaio N 849,23 Totale 5075,45
Direzione y Taglio alla base (kN) Telaio S 186,24 Telaio E 553,85 Telaio P 612,30 Telaio M 664,87 Telaio B 419,19 Telaio F 673,50 Telaio H 521,77 Telaio A 1027,51 Totale 4659,23
8.4 Confronto tra i due tipi di analisi lineari.
I risultati ottenuti dall’applicazione dell’analisi di tipo lineare ci hanno condotto a confrontare la risposta dell’edificio all’azione sismica di progetto.
Per l’edificio in esame è stato confrontato il valore del taglio complessivo agente alla base sia nel caso di analisi statica lineare che dinamica modale. I suddetti valori sono stati tabellati e riportati a seguire:
Dall’esame dei dati appare evidente che i valori ottenuti attraverso le due diverse analisi risultano molto diversi tra loro: questo è spiegabile nel fatto di avere assunto, per l’analisi statica lineare, il valore del periodo fondamentale corrispondente all’amplificazione massima per ciascuna delle due direzioni.
In realtà la struttura, nella direzione y, mostra un periodo fondamentale più alto, rappresentativo di una struttura più deformabile a cui si associano ordinate spettrali sicuramente più basse.
La diversità dei risultati ottenuti è spiegabile esaminando i modi propri di vibrare dell’edificio.
Il primo modo di vibrare nella direzione y è tale da impegnare alcune pareti
Direzione x Taglio alla base
(kN)
Con analisi statica lineare 5075
S o la io d ef o rm .
Con analisi dinamica modale 1892
Direzione y Taglio alla base
(kN)
Con analisi statica lineare 5054
S o la io d ef o rm .
massa che sono caratterizzati da periodi elevati corrispondenti ad amplificazioni spettrali relativamente basse che si discostano molto dal comportamento globale della struttura.
