Capitolo 4 Concetti e metodologie per l’ottimizzazione dei VCO LC integrati

Capitolo 4

Concetti e metodologie per l’ottimizzazione dei

VCO LC integrati

I VCO LC integrati sono i dispositivi più comunemente usati nei moderni sistemi di comunicazione a radio frequenza e sono utilizzati come oscillatori locali nei transceiver dei sistemi di serializzazione e deserializzazione dati.

Questi oscillatori sono preferibili agli oscillatori ad anello e a rilassamento per la loro migliore risposta ai requisiti di alta frequenza e di specifiche di rumore.

A causa della continua richiesta di incremento della larghezza di banda , la purezza spettrale del VCO è sottoposta a sempre più stringenti requisiti [15-19].

Gli sforzi e le ricerche per migliorare ed ottimizzare tali dispositivi hanno prodotto un gran numero di realizzazioni ma ancora si pone l’attenzione sulle molteplici richieste per le metodologie di progetto che richiedono l’ottimizzazione simultanea di vari parametri e variabili. I VCO LC monolitici , infatti , richiedono l’integrazione di elementi passivi ad alto Q come l’induttore e il varactor in quanto all’aumentare del Q del risonatore passivo LC diminuisce la potenza dissipata poichè si può ottenere la stessa potenza del segnale con minore escursione (swing) della corrente che scorre nell’induttanza (che ha una resistenza equivalente parallela proporzionale a Q).

Di seguito vengono riportati alcuni fra i metodi più interessanti per l’ottimizzazione dei VCO , spiegando prima le caratteristiche fisiche fondamentali degli oscillatori LC , con la conclusione che la scelta dell’ induttanza gioca un ruolo fondamentale per qualsiasi tipologia di metodo utilizzata.

4.1 Caratteristiche fisiche degli oscillatori LC

Questo lavoro si propone adesso di presentare un’analisi semplificata del rumore di un oscillatore per ottenere una essenziale comprensione del rapporto noise-to-carrier (NCR) come parametro di bontà della performance dell’oscillatore.

Si farà riferimento ad un modello di risonatore LC parallelo , ma l’analisi per quello serie è duale.

La fig. 4.1.1 mostra un modello per un oscillatore LC parallelo:

Fig. 4.1.1 : Modello di oscillatore LC parallelo

Dove la conduttanza gtank rappresenta le perdite del gruppo LC e –gactive è l’effettiva

conduttanza negativa dei dispositivi attivi che compensano le perdite dell’ LC tank . Ci sono due modi di operazione, chiamati current-limited e voltage-limited , identificati considerando la corrente di polarizzazione Ibias come variabile indipendente

[17].

Nel regime current-limited , l’ampiezza Vtank cresce linearmente con la Ibias in accordo

con la relazione Vtank=Ibias/gtank , finchè l’oscillatore non entra nel regime

voltage-limited .

In quest’ultimo regime , l’ampiezza è limitata a Vlimit , determinata dalla tensione di

alimentazione e dai cambi di modi di operazione degli elementi attivi ( per esempio, un MOS che passa dalla zona di saturazione alla zona triodo ).

(1)

Questi due modus operandi possono essere visti da una differente prospettiva se si considera come yariabile indipendente l’induttanza Ltank al posto della Ibias . Notando

che l’Energia è definita come

2

2 tan

tank k

CV

E ≡ , la Vtank può essere espressa come

(2)

dove

LC

1

0 =

ω è la frequenza di oscillazione . L’ampiezza Vtank cresce con L , data

l’energia e la frequenza di oscillazione e il suo andamento è raffigurato in figura 4.1.2 :

Fig. 4.1.2: Vtank versus L per 2 valori diversi

di energia, con Etank2>Etank1

Quando L è la variabile indipendente , il modo di operazione a cui ci riferiremo sarà il regime inductance-limited : tutte le relazioni valide nel regime current-limited saranno ugualmente valide in questo tipo di regime e vice versa.

Una volta che Vtank raggiunge il valore limite Vlimit , l’oscillatore entra in regime

voltage-limited.

Esistono molti induttori con la medesima induttanza L : sono progettati ciascuno in maniera diversa , cambiando per esempio i parametri geometrici come il diametro , il numero di avvolgimenti ecc. Nonostante questo , solo uno di questi induttori offre perdite minime o la più piccola conduttanza parallela equivalente gL [20].

Ci sono vari metodi per l’ottimizzazione degli induttori , ma la loro trattazione esula dal lavoro di questa tesi [20] .

L’equivalenza dei regimi a corrente e induttanza limitata può essere usata per combinare la (1) e la (2) per ottenere la relazione fra Etank e Ibias nel regime a induttanza limitata .

Assumendo che le perdite dovute alle spire dell’induttore integrato siano dominanti nell’oscillatore LC (g_tank ≈g_L ) si può scrivere :

(3)

Dal momento che la (2) è valida per entrambi i regimi (induttanza e corrente limitata) , allora la si può riscrivere come

(4)

Per quanto riguarda il rumore possiamo ipotizzare , nonostante il rumore di tensione vn

nel condensatore e la corrente di rumore nell’induttore siano correlati , di applicare il teorema di equipartizione di energia all’oscillatore come approssimazione del primo ordine per ottenere [21]

dalla quale si può vedere che , per una data frequenza di oscillazione , la media del quadrato della tensione di rumore è proporzionale all’induttanza ed è valido per tutti i tipi di regime .

Usando la (4) e la (5) si può esprimere il rapporto segnale-rumore NCR per l’oscillatore LC ad una frequenza data come

(6)

Da questa equazione si nota che l’NCR non dipende dal valore dell’induttanza nel regime L-limited ma dal momento che l’oscillatore entra nel regime V-limited , aumenta con L .

Un’ importante osservazione scaturisce da quest’analisi : l’NCR può essere migliorato incrementando Etank , ma questo porterebbe inevitabilmente ad una maggiore

dissipazione di potenza.

Una più utile relazione può essere ottenuta convertendo la (6) utilizzando la (3), dato che la Ibias , rispetto a Etank , è un parametro più pratico:

(7) L’ NCR ottimo , per una data corrente di polarizzazione , si ottiene nel regime inductance-limited quando LgL2assume il suo minimo valore.

Spieghiamo ora come può essere ottenuta un’induttanza ottimo per rendere ottimo l’NCR , (data una certa Ibias).

CASO 1)

Consideriamo il caso in cui LgL2 cresce con L .

Dalla (7) si potrebbe dedurre che un’induttanza più piccola comporterebbe un miglior NCR . Purtroppo la L non può essere ridotta indefinitamente in quanto la Vtank ,

Conseguentemente è necessario un compromesso fra i due requisiti , l’NCR ottimo e la Vtank-min .

In fig. 4 .1.3 (a) sono riportate le curve per LgL2 , Vtank , e NCR versus L.

CASO 2)

Consideriamo il caso in cui LgL2 decresce con L .

La (7) mostra che un più largo valore dell’induttanza nel regime inductance-limited comporta un miglior NCR ( per una data Ibias ) . Dunque l’induttanza ottima è quella che

pone l’oscillatore al limite del regime L-limited , come mostrato in fig. 4.1.3 (b).

Fig. 4.1.3 : LgL2 , Vtank , e NCR versus L , (a) LgL2 cresce con L

Fino ad ora abbiamo studiato l’NCR per investigare le sulle proprietà del rumore di un oscillatore . Il rumore di fase , diversamente dall’NCR , fornisce informazioni sul comportamento spettrale del rumore e per questo assume una diversa formulazione matematica ( come visto nei capitoli precedenti ) . Entrambi i parametri , però , sono accomunati da simili concetti fondamentali come la perdita di potenza , le perdite nell’induttore e il tradeoff fra la potenza di segnale e il rumore.

L’espressione della densità spettrale di potenza SSB del rumore di fase è data ( in accordo con il capitolo 2 ) da :

(8)

Prendiamo in considerazione lo schema semplificato di un oscillatore LC con esplicitate le componenti delle sorgenti di rumore , come mostrato in figura 4.1.4 :

Fig. 4.1.4 : Oscillatore LC con le sorgenti di rumore

Generalmente , queste sorgenti di rumore sono ciclostazionarie , ma si può semplificare l’analisi calcolando le relative densità spettrali nell’istante più significativo ( per

esempio l’attraversamento dello zero della Vtank differenziale ) per la stima degli effetti

del rumore di fase [8] .

La potenza di rumore totale dei quattro transistor è data da:

(9)

Le densità di rumore sono calcolate così :

(10)

valida sia per i transistor a canale lungo e corto ( γ=2/3 , γ ≈2.5 rispettivamente ). Oltre a queste sorgenti si devono considerare i contributi delle resistenze serie effettive

rsdell’ induttore , causate dalle perdite ohmiche nella metal e nel substrato

(11)

dove R_P Q r_s (L )2/r_s 0

2 _{= ω}

≈ è la resistenza equivalente parallela alla frequenza di oscillazione.

Fino ad ora abbiamo assunto che la somma delle correnti pilotate dai transistor fosse uguale alla Itail ( fig. 4.1.4 ) . Questo non è più vero se in parallelo alla Itail è presente una

capacità che fornisce un percorso alternativo alla corrente.

Se la capacità è abbastanza grande , i transistor trasportano poca corrente per una frazione di ciclo: questo si traduce in una riduzione del duty cycle della corrente di drain, diminuendo anche l’effetto indesiderato della corrente di rumore.

Questa considerazione è particolarmente importante : il rumore di fase potrebbe essere migliorato aggiungendo una Ctail . Uno degli svantaggi di questa aggiunta sta nella

riduzione dell’impedenza d’uscita della Itail alle alte frequenze, incrementando così la

Per comprendere meglio il compromesso fra la Itail e la tensione di alimentazione

necessario per l’ottimizzazione del rumore di fase , facciamo riferimento alla misura del rumore di fase ad una frequenza di offset di 600 kHz per diversi valori della Vsupply e

della Itail [17] (fig.4.1.5)

Fig. 4.1.5 : Phase Noise versus VDD and Itail

Come si può vedere , aumentando la Itail migliora il rumore di fase a causa dell’aumento

dell’ampiezza di oscillazione . Tale miglioramento , però , peggiora quando l’ampiezza della tensione si avvicina al valore della VDD .

Se non avessimo la specifica sulla dissipazione di potenza , l’ottimizzazione dell’oscillatore in termini di rumore di fase potrebbe essere ottenuto lavorando ad alte correnti e tensioni di alimentazione ( come nel punto A ).

Il metodo più pratico per soddisfare i diversi requisiti di progetto è quello di cercare di ottimizzare il rumore di fase per un dato valore della potenza dissipata. Perciò è auspicabile lavorare al limite della regione V-limited : Il punto B è proprio il confine di

questa zona di operazione : il rumore di fase assume il valore di -121db/Hz ad una frequenza di offset di 600 kHz dalla fondamentale, con una dissipazione di potenza di 6 mW .

Un’ultima confronto chiama in causa i due tipi di transistori: PMOS e NMOS.

Un oscillatore progettato con solo NMOS presenta una migliore performance in termini di rumore di fase : una tale struttura offre una più alta transconduttanza per una data corrente e questo si traduce in un più veloce switching della coppia differenziale.

Presenta inoltre una migliore simmetria in termini di tempo di salita e tempo di discesa , che migliore l’angolo di rumore 1/f3 .

4.2 Topologia, specifiche e strategie di progetto dei VCO LC

time) contribuisce ad eliminare il rumore di eccesso 1/f traslato in alto [8] .

L’ampiezza di oscillazione di questa struttura è fattore più largo rispetto a quella che si avrebbe con la presenza solo degli nMOS [16 , 17].

Tutte queste proprietà migliorano il rumore di fase .

Fig. 4.2.1 : Schema semplificato di un VCO LC

ƒ Le dimensioni dei dispositivi MOS : Wn , Wp , Ln , Lp .

ƒ I parametri geometrici delle spire dell’induttore integrato : la larghezza b della metal , lo spazio s tra le spire , il numero n di avvolgimenti , il diametro d (fig. 4.2.2). Il modello rappresentato in figura , [23] , ha un identico carico RC su entrambi i terminali.

Fig. 4.2.2 : Modello di un induttore a spire simmetrico

ƒ Il massimo e il minimo valore del varactor : CV, max , CV , min

ƒ La capacità di carico Cload

ƒ La corrente Ibias

Il modello del circuito equivalente è mostrato in fig. 4.2.4 [22].

Il varactor è modellato come in fig. 4.2.3 , tramite un serie di Rv e Cv .

Fig. 4.2.4 : modello del circuito equivalente

In fig. 4.2.4 , CNMOS e CPMOS sono le capacità parassite totali dovute ai dispositivi nMOS

e pMOS rispettivamente , gm è la transconduttanza di piccolo segnale e go quella

d’uscita dei transistor. Sebbene il loro valore vari secondo la zona di operazione dei dispositivi, per semplificare l’analisi assumeremo il valore che raggiungono quando la tensione sul gruppo LC è zero.

In questo processo di ottimizzazione compariranno spesso i parametri di perdita del gruppo risonatore, illustrati in fig.1 e definiti da :

2gtank = gon + gop + gv + gL (8)

2gactive=gmn + gmp (9)

Ltank= 2L (10)

2Ctank= CPMOS + CNMOS + CL + Cv + Cload (11)

dove gL e gv sono le effettive conduttanze parallele dell’induttore e del varactor

Le specifiche di progetto sono imposte dalla dissipazione di potenza , dall’ampiezza Vtank , dal tuning range della frequenza , dalla condizioni di innesco dell’oscillazione e

dal diametro delle spire dell’induttore.

ƒ La dissipazione di potenza è imposta dalla massima Ibias dovuta ad una data tensione

di alimentazione Vsupply

(12)

ƒ L’ampiezza deve essere più larga di un certo valore Vtank,min per fornire un

sufficiente voltage swing allo stadio successivo

(13)

ƒ Il tuning range dell’oscillazione deve avere un certo margine rispetto alla frequenza centrale

(14)

(15)

ƒ Le condizioni di innesco con il guadagno d’anello di piccolo segnale sono espresse da

ƒ In ultimo definiamo il massimo diametro per le spire come

(17)

Il rumore di fase nell’oscillatore considerato si può esprimere secondo le relazioni analizzate nel capitolo 2 . Nella regione 1/f2 il rumore di fase è dato da [8]

(18)

dove la foff è la frequenza di offset e la qmax è la carica totale che interessa il gruppo LC.

La ISF , Γ , rappresenta la sensitività a tempo variante della fase dell’oscillatore alle perturbazioni , in accordo con [8] : Γrms è il suo valore efficace.

Il termine i2n /∆f rappresenta la densità spettrale di potenza di rumore differenziale

dovuta alla corrente di drain , all’induttore e al varactor, espresse da [17 , 24 , 25]

(19) dove γ~2/3 per i transistori a canale lungo e circa 2.5 per quelli a canale corto , gd0 è la

conduttanza di canale per VDS = 0 ed è uguale a gm per i MOS a canale lungo , mentre

per i MOS a canale corto è data da 2IDRAIN / (Lchannel Esat) [25] .

Il rumore dovuto alla corrente di drain è dominante rispetto agli altri contributi [26] per cui è possibile semplificare la (18) in

(20)

che , espressa per entrambi i regimi ( L-limited e V-limited ) diventa

(21)

Questa equazione verrà utilizzata per definire le strategie di progetto riportate di seguito.

La (21) mostra che , fissata la corrente Ibias , il rumore di fase cresce con l’aumento di L.

Questo porta ad un fenomeno conosciuto come waste of inductance ( perdita di induttanza ) . D’altra parte se fissiamo la L , il rumore di fase peggiora con l’aumento della Ibias , dando origine al waste of power (perdita di potenza).

Per un induttore integrato la conduttanza gL parallela minima effettiva , fissata

l’induttanza , decresce con l’aumento di questa ,quando il diametro dell’induttore soddisfa la (17) . Un esempio di tale dipendenza è mostrato in figura 4.2.5 , in cui l’ottimizzazione della gL è stata ottenuta utilizzando il programma geometrico descritto

in [20] .

Dai dati ricavati dalla figura 4.2.5 si può vedere come L2gL2 aumenti al crescere di L (

fig.4.2.6).

Da queste considerazioni si potrebbe dedurre che per migliorare le prestazioni del rumore di fase dovremmo ridurre il valore dell’induttanza. Tale riduzione , però , non può essere realizzata in modo indefinito perché si potrebbero violare le specifiche (13) e (16) : il valore ottimo dell’induttanza deve dunque soddisfare tali requisiti.

Si può calcolare il valore ottimo di L (fissata la Ibias) calcolando il massimo valore

permesso della conduttanza gL usando

Il valore ottimo di L2gL2 / Ibias dato dalla (21) è graficato in funzione di diversi valori di

Ibias come mostra la figura 4.2.7, dove si constata che per una migliore prestazione del

rumore di fase è preferibile una Ibias più grande.

Fig. 4.2.5 : Simulazione del massimo fattore QL del minimo valore

di gL versus L [26]

Fig. 4.2.6 : L2_g

Fig.4.2.7 : L2gL2/ Ibias versus Ibias

Le strategie di progetto per l’oscillatore di fig.4.2.1 possono essere così riassunte:

- Trovare il minimo valore dell’induttanza che soddisfi entrambe le

specifiche (13) e (16) per il massimo valore della corrente I

permessa dalle specifiche stesse.

4.3 Metodo grafico di ottimizzazione del rumore di fase

Nel paragrafo precedente sono state presentate le 12 variabili associate all’oscillatore. Per ridurre il numero di queste variabile assumiamo alcune ipotesi di semplificazione:

o La specifica sulla dissipazione di potenza (13) è fissata e tramite questa si sceglie il valore massimo permesso per la Ibias .

o Nei transistori MOS accoppiati le lunghezze di canale Ln e Lp sono settate al

minimo valore permesso dal processo tecnologico volto a ridurre le capacità parassite e a realizzare valori più alti di transconduttanze . Inoltre la simmetria del circuito con gmn=gmp migliora l’angolo 1/f 3 del rumore di fase , stabilendo

così una relazione fra Wn e Wp . Per i Mos , dunque , l’unica cariabile

indipendente da prendere in considerazione è la Wn (indicata da ora in poi con

w)

o Il MOSCAP varactor introduce solo la variabile CV,max (c) dal momento che il

rapporto CV,max / CV,min è determinato dalle caratteristiche fisiche del dispositivo

e rimane costante .

o Il carico viene di solito fissato dal teorema di massimo trasferimento di potenza in uscita a 50 Ω.

Le specifiche di progetto a si fa riferimento sono le seguenti:

Le specifiche di progetto (13)-(16) si possono ricavare per via grafica nel piano c-w , come mostrato in figura 4.3.1.

Fig. 4.3.1 : Specifiche di progetto per Ibias= 4 mA

La regione delimitata dalla linea caratterizzata da una riga e tre punti divide le regioni caratterizzate dai due diversi regimi L-limited e V-limited .

L’effetto della condizione di innesco sulla misura della regione di progetto realizzabile è descritta in fig. 4.3.2 : un maggior guadagno d’anello (αmin) riduce la regione di

realizzabilità , ma per ottenere guadagni più alti si devono utilizzare transistor di maggiori dimensioni, con il conseguente aumento delle capacità parassite ed un peggioramento del tuning range.

La dominanza della corrente di drain riduce la dipendenza del rumore di fase dalla larghezza w del transistor e dalla capacità c del varactor . Per questo la variazione del rumore di fase all’interno all’interno della regione di realizzabilità nel piano c-w sarà piccola : questo fatto suggerisce la forte dipendenza del rumore di fase sulla scelta dell’induttore rispetto a c e w.

CONCLUSIONI

Il processo di ottimizzazione può essere riassunto come segue :

¾ Scelta di una corrente Ibias

¾ Scelta di un valore iniziale dell’induttanza L

¾ Ricerca di un induttare con tale valore di induttanza e ottimizzazione della conduttanza gL ( utilizzando il programma geometrico descritto in [20] )

¾ Creazione del piano c-w in cui sono graficati i vincoli di progetto

¾ Diminuzione di L per ottenere sul piano un solo punto di realizzabilità di progetto

¾ Tale punto del piano corrisponde ai valori ottimi di c, w ed L.

¾ Se il punto di realizzabilità si trova nella regione a V-limited , la Ibias deve essere

diminuita rispetto al suo valore massimo finchè la linea che divide le due zone di regime non passi per il punto considerato , evitando così la dissipazione di potenza.

Utilizzando le metodologie di progetto fino ad ora esposte , si riescono ad ottenere prestazioni soddisfacenti in termini di tuning range , dissipazione di potenza , e rumore di fase .

Per frequenze d’oscillazione che variano da 1.90 GHz a 2.63 GHz si ottengono variazioni in termini di rumore di fase (FOM, figura di merito) che vanno dai -121 dBc/Hz ai -115 dBc/Hz a frequenza di offset di 600 kHz , una tensione di alimentazione di 2.5 V e una corrente di 4mA .