Data diamo una Data diamo una

(1)

FUNZIONI CONTINUE FUNZIONI CONTINUE (1)(1)

(2)(2)

Fra i due grafici

Fra i due grafici (1)(1) e e (2),(2), quale, quale,

secondo il vostro secondo il vostro

intuito, può essere intuito, può essere

quello di una quello di una

funzione continua funzione continua??

IL SECONDO IL SECONDO

(Alcuni dicono che una funzione è continua (Alcuni dicono che una funzione è continua

quando la si può rappresentare senza quando la si può rappresentare senza

staccare la penna dal foglio) staccare la penna dal foglio)

Corso di Matematica Generale - Facoltà di Economia - Università degli Studi di Macerata (Mammana Michetti)

(2)

R A

f : →

Data diamo una Data diamo una

DEFINIZIONE

DEFINIZIONE rigorosa di rigorosa di

continuità della funzione in un continuità della funzione in un

punto x*

punto x* ∈ ∈ A A

*) (

) (

lim

*

f x f x

x

=

→

Se Se

x* x* ∈ ∈ A A

eded è un è un

punto di punto di accumulazione per A

accumulazione per A

, si dirà che , si dirà che

f è continua in x*

sese

(3)

Se Se

x* x* ∈ ∈ A A

è un è un

punto punto isolato

isolato

, si dirà che, si dirà che

f è continua in x*

Si dirà che Si dirà che

f è continua in A f è continua in A

se essa è

continua continua ∀ ∀ x* x* ∈ ∈ A A

(4)

La La definizione di continuitàdefinizione di continuità in un in un punto

punto x*x*∈∈AA sta a significare che:sta a significare che:

**f(x*)** L

b

L x

f

a

x x

=

∃

→

)

) (

lim

)

*

(5)

Se Se

almeno una delle due almeno una delle due condizioni

condizioni

(a) o (b) (a) o (b)

viene a viene a mancare

mancare

, il punto x* sarà un, il punto x* sarà un

PUNTO DI PUNTO DI

DISCONTINUITA’

per la funzione data per la funzione data

(6)

I caso I caso

⇓

≠

=

∃

→

f x L L **f(x*)**

x

( ) ma

lim

*

x* è un punto di discontinuità x* è un punto di discontinuità

eliminabile eliminabile

La funzione può essere

La funzione può essere prolungata per prolungata per continuità

continuità, , ridefinendolaridefinendola nel punto di nel punto di

discontinuità con valore uguale a quello del discontinuità con valore uguale a quello del

limite limite

(7)

ESEMPIO ESEMPIO

 



=

≠ +

+

= −

→ x x

x f(x) x

R R

f 3 2

2 1

; 4 :

2

) 2 ( 3

5 )

1 4

lim( ²

2

f

x x

x

=

≠

= +

+

−

→

continua è

2

5 2 )

~ (

 



=

= ≠

x x x

(x) f f

(8)

II caso II caso

 lim



( ) ma

*

f x

x x

 

 

 





_ _



' ' )

( lim

e ' )

( lim

*

L x

f L

x f

x x

   



 



' L' L'

e finiti

' L' e

L' con

*

* x x

x x



 L L

e finiti

L e

L con

x* è un punto di discontinuità x* è un punto di discontinuità x è un punto di discontinuità x è un punto di discontinuità

di prima specie

di prima specie p p p p

(9)







=

≠

= +

→

x

x x

x f(x)

R R

f

0 0

0 ; 1

:

2 )

( lim

0 )

( lim

0 0

=

+

−

→

x f

x x

x*

f(x) f

f(x)

in sinistra

a continua

è

che dice

si )

0 ( 0

lim Poichè

_-

0

x

= =

→

(10)

III caso III caso

 ^*  ^*

lim ( ) ' e lim ( ) ''

x x x x

f x L f x L

 

 

   

   

con alm eno uno dei due infinito

x x x x



x* è un punto di discontinuità x* è un punto di discontinuità x è un punto di discontinuità x è un punto di discontinuità

di seconda specie

di seconda specie p p

(11)







≥

<

= −

→

x

x x f(x)

R R

f

0 2

1 0 ;

:

2 )

( lim

e )

(

lim

0₋

= +∞

0₊

=

→

f x f x

x x

(12)

IV caso IV caso

( ) ( )

⇓

∃

+

− →

→

lim ( ) o lim ( )

limiti due

dei uno

almeno

*

f x f x

x x

x* è un punto di discontinuità x* è un punto di discontinuità

di terza specie di terza specie

(13)







=

= ≠

→

x

x x f(x)

R R

f

0

1

1 0 ; sen

:

esiste non

) (

lim

0

f x

x→

(14)

NB: NB: dalle proprietà relative alle dalle proprietà relative alle operazioni con i limiti

operazioni con i limiti, si deduce , si deduce facilmente che:

facilmente che:

nla la sommasomma di funzioni continue in x* di funzioni continue in x*

è una

è una funzione continuafunzione continua in x*in x*

oil il prodottoprodotto di funzioni continue in x* di funzioni continue in x*

è una

è una funzione continuafunzione continua in x*in x*

pil il rapportorapporto di funzioni continue in x* di funzioni continue in x*

è una

è una funzione continuafunzione continua in x* se la in x* se la funzione al denominatore è

funzione al denominatore è ≠≠0 in x*0 in x*

(15)

Altri due teoremi sulle funzioni continue Altri due teoremi sulle funzioni continue

TEOREMA

TEOREMA (della funzione composta)(della funzione composta)

TEOREMA

TEOREMA (della funzione inversa)(della funzione inversa)

Sia Sia g continua in x*g continua in x*, , f continua in y*=g(x*)f continua in y*=g(x*)

⇓⇓

ff^o^ogg èè continua in x*continua in x*

Sia Sia f:(a,b)f:(a,b)→→R continua e invertibile R continua e invertibile ⇒⇒

è continua sul suo dominio è continua sul suo dominio

R b

a f

f ⁻¹ : ( , ) →

(16)

2 2

sen cos 0

log( ) 0

x x k x x

f(x) x x

 + + ≥

= 

 <

Stabilire se

Stabilire se ∃∃ kk∈∈R tale che la funzioneR tale che la funzione

sia continua

sia continua ∀∀ xx∈∈R.R.

• per x>0per x>0 la la funzione è continuafunzione è continua ∀∀kk∈∈RR in quanto in quanto

sensenxx e sono funzioni continue, e sono funzioni continue, èè composta mediante funzioni continue quindi composta mediante funzioni continue quindi èè

continua;

continua; la somma di funzioni continue la somma di funzioni continue èè continua

continua

x 2 cos x

• per x<0per x<0 la la funzione è continuafunzione è continua ∀∀kk∈∈RR in quanto in quanto composta mediante funzioni continue

composta mediante funzioni continue e e independente

independente da kda k

(17)

……continuacontinua

−∞

=

₋

+ →

→

( ) k lim ( )

lim

0

f x

0

f x

x x

E per x=0?

∀∀kk∈∈R R x*=0 x*=0 èè un punto di un punto di discontinuitdiscontinuitàà di di seconda specie

seconda specie

⇓⇓

∃ ∃ k k ∈ ∈ R : f(x) sia continua R : f(x) sia continua ∀ ∀ x x ∈ ∈ R R

(18)

Principali teoremi sulle funzioni continue Principali teoremi sulle funzioni continue

TEOREMA

TEOREMA (di (di WeierstrassWeierstrass)) Una funzione

Una funzione continuacontinua in un intervallo in un intervallo

[a,b] chiuso e limitato [a,b] chiuso e limitato

è dotata

è dotata didi

massimo massimo

^{e di}^{e di}

minimo minimo

nell’intervallo nell’intervallo

Osservazione:

Osservazione: se l’intervallo [a,b] se l’intervallo [a,b] non non fosse chiuso

fosse chiuso, la , la tesitesi del Teorema del Teorema non non sarebbe necessariamente vera

sarebbe necessariamente vera..

(19)

2 2 ) 1

(

con

) 8 , 2

( → R f x = x +

f

Non è dotata

Non è dotata né di minimo né di né di minimo né di massimo

massimo ma solo di ma solo di inf=3inf=3 e di e di sup=6sup=6

(20)

TEOREMA

TEOREMA (di esistenza degli zeri)(di esistenza degli zeri) D Sia Sia f:[a,b]f:[a,b]→→RR unauna funzionefunzione

continua

continua in [a,b]in [a,b]

D Sia Sia f(a)f(a)⋅⋅f(b)<0f(b)<0

0 ) =

∈

∃

⇓

(a,b):f( ξ ξ

(21)

Osservazione:

se la funzione se la funzione

non fosse non fosse

continua

continua in in [a,b], pur [a,b], pur

assumendo assumendo

valori di segno valori di segno

opposto agli opposto agli

estremi estremi

dell’intervallo dell’intervallo potrebbe non potrebbe non annullarsi per annullarsi per alcun punto di alcun punto di

(a,b) (a,b)

(22)

TEOREMA

TEOREMA (dei valori intermedi)(dei valori intermedi) SiaSia f:(a,b)f:(a,b)→→RR unauna funzionefunzione continuacontinua

Se Se allora

allora

f assume tutti i valori f assume tutti i valori compresi fra

compresi fra

per x compreso tra per x compreso tra

2 2

1

) e ( )

( x y f x y

f = =

)

e (

e

₂ ₂ ₁

1

y y y

y

)

e (

e

₂ ₂ ₁

1 x x x

x

(23)

Osservazione:

Osservazione: se la funzione se la funzione non fosse non fosse continua

continua in (a,b), in (a,b), la tesi potrebbe non la tesi potrebbe non essere vera

essere vera

Data diamo una Data diamo una

IL SECONDO IL SECONDO

R A

f : →