2 Analisi idrologica

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2 Analisi

idrologica

2.1 Introduzione

La conoscenza del regime di un corso d’acqua costituisce il fondamento indispensabile sia per la difesa del territorio potenzialmente minacciato dalle piene, sia per l’utilizzazione delle risorse che esso offre come le portate, i dislivelli idrici e il materiale d’alveo. Le grandezze da considerare sono principalmente le portate e conseguentemente le altezze idrometriche, perché dalla loro conoscenza (valori, distribuzioni, frequenze ecc) si traggono le informazioni per una corretta valutazione della pericolosità del corso d’acqua e i criteri per il dimensionamento dei manufatti necessari alla regolazione ed al controllo dei deflussi.

Nel nostro paese la principale fonte di informazione di dati idrologici era costituita fino al 2003 dal Servizio Idrografico e Mareografico (S.I.M.) che faceva parte dei Servizi Tecnici Nazionali dipendenti dalla Presidenza del Consiglio dei Ministri. Tale servizio era articolato in 16 sezioni (Milano, Torino, Genova, Pisa, Parma, Bologna, Roma, Napoli, Catanzaro, Bari,Pescara, Chieti, Venezia, Bolzano, Cagliari e Palermo); ciascuna sezione provvedeva alla gestione delle reti per la raccolta di dati idrologici, alla conservazione dei dati raccolti, alla elaborazione degli stessi secondo modalità standardizzate per la successiva pubblicazione sugli Annali Idrologici.

In Toscana inoltre era presente anche l’A.R.S.I.A. ( Agenzia Regionale per lo Sviluppo e l’Innovazione nel Settore Agricolo –forestale) alla quale era affidato, a partire dal 1989, il Servizio Agrometereologico Regionale e che disponeva all’anno 2003 di 120 stazioni agrometereologiche di tipo elettronico automatico.

A partire dal 1998 è iniziato il trasferimento alle regioni delle competenze del Servizio Idrografico, quindi dall’integrazione tra la sezione di Pisa del S.I.M. e l’A.R.S.I.A è stato costituito il Centro funzionale di Monitoraggio Idrometereologico della Regione Toscana, da cui è possibile ottenere i dati disponibili per le stazioni di interesse.

La stima delle portate al colmo per i diversi tempi di ritorno avviene attraverso il processo di trasformazione afflussi meteorici in deflussi nella rete idrografica utilizzando vari modelli matematici e numerici a partire dallo studio del regime delle piogge (intensità, durata e loro distribuzione nel territorio). La metodologia più idonea è quella di analizzare le serie storiche di precipitazioni disponibili (valori massimi annuali) al fine di caratterizzarle statisticamente e esplicitarle attraverso la curva di possibilità pluviometrica o climatica.

Il presente capitolo, finalizzato appunto alla determinazione della curva di possibilità pluviometrica per i corsi d’acqua del bacino analizzato, si articola nelle seguenti parti:

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• reperimento e analisi dei dati pluviometrici;

• scelta della stazione pluviometrica più significativa per il bacino oggetto di studio; • determinazione della curva di possibilità pluviometrica.

2.2 I dati pluviometrici

Per il calcolo della portata di massima piena è necessario conoscere l’altezza di pioggia massima in funzione della durata della pioggia stessa e del tempo di ritorno, perciò è necessario uno studio idrologico delle altezze di pioggia relative alle stazioni pluviometriche più rappresentative del bacino in esame.

L’altezza di pioggia viene in genere misurata in mm attraverso degli appositi strumenti detti pluviometri, che sono di due tipi: pluviometri semplici e registratori. I primi consentono di misurare l’altezza di pioggia caduta in prefissati intervalli di tempo, mentre i secondi consentono di seguire con continuità la legge di variazione nel tempo dell’altezza di precipitazione. I pluviometri sono installati in apposite stazioni pluviometriche di misura, sono costituiti da un recipiente cilindrico a sezione circolare di diametro pari a 0,357 m, posizionati ad una certa altezza dal suolo. Un rubinetto posto sul fondo permette di misurare il volume di pioggia caduto in un certo intervallo di tempo, dal quale, nota l’area, si risale all’altezza di pioggia h di precipitazione. Per i pluviometri semplici le misure vengono effettuate una volta al giorno alle ore 9 del mattino.

Prima di procedere all’analisi statistica per ricavare la curva di possibilità climatica occorre definire l’unità di tempo della durata delle precipitazioni.

A tal fine si sono considerati:

• i valori registrati dei massimi annuali con durate comprese tra 10 minuti e un’ ora per la determinazione della curva di possibilità pluviometrica per durate inferiori o uguali ad un’ora;

• i valori registrati dei massimi annuali con durate comprese fra 1 e 24 ore per la

determinazione della curva di possibilità pluviometrica relativa a durate superiori all’ora. Affinché l’elaborazione dei dati sia attendibile è necessario che il periodo di misurazione sia sufficientemente esteso nel tempo: si ammette sufficiente un periodo non inferiore ai 30-35 anni. Poiché molte volte si è costretti a utilizzare serie più limitate si possono scegliere anche stazioni di misura che hanno dati per un periodo non inferiore ai 10 anni.

Per quanto riguarda il bacino del Torrente Carrione, in esso e nelle sue immediate vicinanze sono in funzione diverse stazioni pluviometriche ma purtroppo la maggior parte di esse sono di recente attivazione e per esse non sono disponibili serie di dati di numerosità tale da consentire adeguate

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elaborazioni statistiche ed , inoltre , le stazioni pluviometriche di più antica attivazione presentano un funzionamento molto irregolare.

L’ unica stazione, all’interno del bacino suddetto, che ha funzionato con una certa regolarità e’ quella di Rifugio Belvedere gestita da Servizio Idrografico, per tale stazione sono disponibili i dati relativi a diciassette anni di osservazioni nel periodo 1967-1989 , anno in cui ha cessato il servizio . La stazione pluviometrica di Carrara (ARSIA),che risulta forse quella più significativa per il bacino, ha iniziato a funzionare in maniera regolare a partire dal 1992 ; per tale stazione sono quindi disponibili i dati relativi al periodi 1992-1996 e i dati relativi all’ anno 1968 , per un totale di 6 anni. Sono inoltre disponibili i dati relativi all’ evento alluvionale del settembre 2003 che per le durate di interesse, possono essere assunti come valori massimi annuali.

Di recente attivazione sono poi le stazioni di Vara (TOS01000025) e Canevara (TOS02004011). La stazione pluviometrica di Massa e quella di Marinella sono, invece, le uniche in prossimità del bacino in esame, dotate di pluviometro registratore da un numero di anni tale da consentire una adeguata elaborazione statistica.

Di seguito si riportano le caratteristiche di tali stazioni:

Tabella 2.1- Caratteristiche delle stazioni pluviometriche in esame

Stazione _UTME _UTMN _{(m s.l.m.)}Quota Periodo _osservazioneAnni di

Massa 590536 4876936 65 1928-98 70 Vara 590384 4881823 440 2004-2012 9 Canevara 593571 4879012 105 2001-2012 12 Carrara 5863034 879841 55 1968 1992-1996 6 Rifugio Belvedere 589988 4885888 1350 1967-1989 17 Marinella 588728 4881599 10 1938-1991 47

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2.3 Influenza delle stazioni di misura sul bacino idrografico

Lo studio di carattere idrologico prevede l’analisi dei dati di pioggia di tutte le stazioni pluviometriche all’interno del bacino o nelle sue immediate vicinanze.

Il problema è stabilire quali siano le aree di pertinenza, all’interno del bacino idrografico oggetto di studio, di ogni stazione.

Si è fatto ricorso al metodo più semplice e di più diffusa utilizzazione che è quello dei topoieti o poligoni di Thiessen, attraverso il quale viene definita l’area di competenza di ciascuna stazione pluviometrica, per andare poi a vedere in quale topoieto ricade il sottobacino d’interesse. Il metodo consiste nell’unire con segmenti tutte le stazioni tra loro contigue situate all’interno del bacino o nelle sue immediate vicinanze e nel tracciare quindi le perpendicolari ai segmenti nel loro punto medio. Le perpendicolari individuano dei poligoni irregolari e le stazioni stanno all’incirca al centro di essi; a questo punto si assegna ad ogni stazione l’area della parte di poligono contenuta nel bacino e il loro peso (dato dal rapporto fra tale area e l’area totale del bacino).

Nel caso in esame sono state scartate quelle stazioni di misura che hanno pochi anni di osservazione in quanto poco attendibili e ne sono state scelte tre: Massa, Marinella e Rifugio Belvedere.

Dall’esame dei topoieti si osserva che il bacino del Canale Monte Olivero si trova quasi interamente all’interno del topoieto della stazione di Massa. I dati pluviometrici relativi a quest’ultima stazione saranno quindi quelli da prendere in considerazione ed elaborare per il calcolo delle portate.

Marinella

M

as

_sa

Ri

fu

gi

o

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de

re

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Tuttavia, poiché il sottobacino del canale Monte Olivero appartiene al bacino del torrente Carrione, di seguito si riporta anche lo studio redatto, in seguito all’ evento alluvionale del settembre 2003, per la definizione del programma di interventi per l’equilibrio idrogeologico del bacino del Carrione stesso. Nelle tabelle 2.2 e 2.3 si riportano i dati pluviometrici relativi alla stazione di Massa:

Tabella 2.2- Dati pluviometrici della stazione di Massa (t≤ 1h)

Anno 10 min 15 min 20 min 30 min 1 ora

1928 30,8 1929 23,9 1930 40,2 1931 30 42,8 1932 32 37 1933 22 23 1934 33 38,2 1935 60 77,3 1936 28 52 1937 28,8 36,2 1940 17,6 27,2 1941 16 24 1942 26 33 1946 33,4 38,6 1947 19,4 21,2 1948 21 35 1949 43 84,4 1950 20 28 1951 17 27 30 1952 14 21 40 65,4 1953 24 28 1954 35 1955 35 42 1956 30 40 1957 24 30 1958 12 16 1959 20 42 1960 26 30,2 1961 25 29,2 1962 13,4 16,4 1963 24 34 1964 24 40 1965 30 80 1966 10 25 38 1968 22,2 40 1969 16 44 1970 50 1971 13,6 24 18,2

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1972 12 31,4 1973 16 25 1974 13,2 19,8 1975 27,6 36 1976 10,4 39,8 1977 40,6 1978 14,6 24,8 24,8 1979 14,4 26,8 1980 13,6 30,2 1981 22,2 1982 16,2 13,2 30,6 1983 13,2 32,8 1984 14 28,2 1985 23 26,6 1986 10,6 14,2 20,6 1987 12,8 14,4 11,8 19,2 37,2 1988 12,8 16,8 16 27,3 43 1989 14,6 17,2 20,2 30,5 35,8 1990 9,6 19,9 24,4 41,2 1991 22 16,8 47,8 71,2 1992 14,6 37 30 44,6 1993 10,8 22,2 17,2 24,2 1994 11,4 14 16,8 33,2 1995 13,8 14 23,6 40,6 1996 44,8 58,4 1997 31,8 45 1998 20,4 26,2

Tabella 2.3- Dati pluviometrici della stazione di Massa (t≥ 1h)

Anno 1 ora 3 ore 6 ore 12 ore 24 ore

1928 30,8 38,4 58 72,2 126,6 1929 23,9 29,7 36,4 43,5 60 1930 40,2 66 76,2 80,8 114,9 1931 42,8 57,2 73 87 94,4 1932 37 49 51,2 54,8 55 1933 23 31,4 47,4 51 51,8 1934 38,2 56,2 63,6 84,8 107,6 1935 77,3 93,2 98,1 107,4 120,3 1936 52 59,2 90 121 164 1937 36,2 37,6 38,6 48 59,8 1940 27,2 41 79 90,3 104,8 1941 24 40,6 46 66 70,8 1942 33 39,8 40,6 52,6 56,4 1946 38,6 39,6 50,6 59,8 70,8 1947 21,2 44,8 50,2 57,6 64

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1949 84,4 91,4 92,6 99,8 111,6 1950 28 42,4 46,6 61,2 64 1951 30 43 62 79 119,8 1952 65,4 102,4 105 126,2 128,2 1953 28 40,6 53,8 67 80,4 1954 35 58 69 72,8 77,2 1955 42 69,4 76,8 92,2 137 1956 40 53 79,6 87,2 90,8 1957 30 50,4 69 82,6 97,2 1958 16 23 32 37 60,6 1959 42 76 86,2 88 98,8 1960 30,2 72 82,8 84,6 97,6 1961 29,2 40 60,8 64 80,8 1962 16,4 36 48,2 72,2 79,4 1963 34 57,6 89,6 100,4 101,4 1964 40 70,2 70,2 70,2 73,8 1965 80 114,2 115,6 122,8 122,8 1966 38 59 66,8 75 78 1968 40 64 71,2 100 126,2 1969 44 53 64,6 69,6 74,4 1970 50 65,4 65,4 65,4 90,8 1971 18,2 38 43,2 48,4 60,6 1972 31,4 51 57,6 58,6 60 1973 25 34 47 55,4 68,6 1974 19,8 24 27 42,8 45,2 1975 36 65,2 81,2 85,6 127,2 1976 39,8 41 53,4 75,2 99,6 1977 40,6 58 70 80,8 80,8 1978 24,8 68,8 93,6 135,2 166,8 1979 26,8 30 41,8 62,6 97 1980 30,2 48,2 82,2 116,4 121,4 1981 22,2 26,2 37 53,4 68,6 1982 30,6 34,2 49,6 75 96,2 1983 32,8 58,2 59 62,6 63 1984 28,2 38 42,6 61,2 61,2 1985 26,6 32,6 45,2 49 67 1986 20,6 33,2 34,8 44,6 47 1987 37,2 51,4 71,8 73,2 90 1988 43 78 94,8 112 112,8 1989 35,8 42,5 48,6 81,4 92,2 1990 41,2 58 64,6 64,6 64,6 1991 71,2 113,4 114,8 130,4 164,4 1992 44,6 79,4 89 94,2 94,4 1993 24,2 30,4 48,8 50,6 50,6 1994 33,2 66 91,8 132,4 182,2 1995 40,6 71,6 81 88,2 90,6 1996 58,4 114,2 116,8 118,2 118,4 1997 45 56,4 68,8 81,4 93 1998 26,2 40,8 53,8 64,6 78,2

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2.4 Curva di possibilità pluviometrica relativa alla stazione di Massa

La curva di possibilità climatica esprime il legame tra l’altezza di pioggia e la sua durata t per un assegnato tempo di ritorno (Tr) e viene costruita a partire dall’elaborazione statistica delle serie

storiche dei valori massimi annuali delle precipitazioni di assegnata durata.

Tale relazione permette appunto di determinare le altezze di pioggia relative ad un dato tempo di ritorno ma di durata qualsiasi.

Infatti se esaminiamo l’andamento delle altezze di pioggia al variare della durata e rappresentiamo tale andamento in un grafico con gli assi in scala logaritmica notiamo che l’andamento suddetto può essere rappresentato con una retta, che ha la seguente espressione:

t a a

h log

log = ₀ + ₁⋅

dove a0 rappresenta l’intercetta e a1 rappresenta la pendenza della retta.

Nel piano originario (h,t) tale andamento è quindi rappresentabile da una espressione del tipo:

n at h= avendo posto: 0 10a a= e n=a₁

che sono i parametri della curva.

In realtà si verifica molto frequentemente che, anche utilizzando una rappresentazione in scala logaritmica, se il campo di variazione delle durate considerate è molto esteso (da alcuni minuti a diverse ore) i dati non sono perfettamente interpolabili da una retta.

Pertanto, non volendo rinunciare all’utilizzo di una espressione monomia per la curva segnalatrice, bisogna considerare nel piano logaritmico, non un’unica retta ma una spezzata a due lati. In questo modo per rappresentare l’andamento dell’altezza di pioggia in funzione della durata si utilizzano due espressioni monomie, una fino ad una certa durata ed un’altra, sempre monomia ma con differenti valori dei parametri, per le durate superiori.

Nella pratica si ammette che la durata in corrispondenza della quale è posto il vertice della spezzata sia pari ad 1 ora; per questo motivo si procede alla determinazione di due rette interpolanti distinte per i dati minori e per quelli maggiori di un’ora, ottenendo così due distinte curve di possibilità pluviometrica: 1 1 n t a

h= per durate < 1 ora 2

2

n

t a

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In assenza di ulteriori vincoli otterremmo che il vertice della spezzata si avrà per una durata generica , corrispondente al punto di intersezione delle due rette suddette, che in genere non corrisponde alla durata di 1 ora.

Nel punto di intersezione si deve infatti verificare che le due espressioni forniscono lo stesso valore dell’altezza di pioggia ovvero :

2 1 2 1 n n _a _t t a ⋅ = ⋅ , da cui segue (1 2) 1 1 2 n n a a t _⎟⎟ − ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

Volendo imporre che il punto di intersezione coincida con la durata di un’ora si procede nella seguente maniera:

• Si determina la retta dei minimi quadrati relativa alle durate maggiori o uguali ad 1 ora utilizzando il metodo dei minimi quadrati normalmente ( in questa maniera si ammette che i valori delle piogge orarie siano più attendibili di quelli di piogge di durata inferiore all’ora e ciò in quanto, in genere i campioni dei dati relativi a tali piogge hanno

dimensioni maggiori).

• Si determina il secondo lato della spezzata sempre applicando il metodo dei minimi quadrati, imponendo però che la nuova retta intersechi la retta precedente nel punto corrispondente alla durata di un’ora, ovvero si applica il metodo dei minimi quadrati condizionato.

La condizione precedente (considerando il piano (logt, logh) = (x,y)) permette di calcolare il coefficiente a1 (pendenza) con la seguente espressione:

∑

+ −

∑

− − + = x x nx x x y y x xy y nx n 0 2 0 2 0 0 0 0 1 2

Mentre l’intercetta , essendo la retta vincolata a passare dal punto di coordinate (x0,y0)

corrispondenti alla pioggia di un’ora, è data da:

0 1 0

0 y a x

a = −

L’equazione della pendenza diviene particolarmente semplice se l’ascissa del punto di vincolo risulta nulla (x0=log1=0):

∑

− = ₂0 1 x x y xy n

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2.4.1

Applicazione del metodo di Gumbel ai dati della stazione pluviometrica di Massa

Per il calcolo della curva di possibilità pluviometrica relativa alla stazione di Massa, procediamo elaborando statisticamente le serie storiche dei valori massimi annuali delle precipitazioni di durata 1, 3, 6, 12 e 24 ore.

Si sono presi in considerazione i dati di pioggia relativi a settanta anni di osservazione della stazione di Massa e precisamente dal 1928 al 1998; mancano le misure relative agli anni 1941, 1942, 1944, 1945, 1967 (rif. par.2.2).

Come già detto la curva di possibilità climatica, che esprime il legame tra l’altezza di pioggia e la sua durata t per un assegnato tempo di ritorno (Tr), è generalmente espressa nella forma:

n

at

h= [2.1]

dove a,n sono costanti per un fissato valore di Tr.

Il tempo di ritorno rappresenta il numero di anni nel quale, in media, l’evento viene uguagliato o superato. Esso si esprime nella seguente forma:

p T_r − = 1 1 [2.2] dove p rappresenta la probabilità di non superamento dell’evento in un anno.

La serie delle osservazioni dei massimi annuali delle altezze di pioggia, relative ad una certa durata t, hi (i=1….N) può essere considerata un campione di dimensione N di una variabile casuale

con N pari al numero di anni di osservazione. Fra le distribuzioni di probabilità dei valori estremi più usate, figura la distribuzione di Gumbel.

Essa risulta alquanto semplice e interpreta sufficientemente bene le osservazioni campionarie. L’analisi statistica effettuata si basa sull’ipotesi che le precipitazioni estreme di uguale durata si dispongano secondo una particolare legge detta distribuzione di Gumbel. Secondo la distribuzione di Gumbel la probabilità di non superamento del generico valore h della grandezza idrologica è legata alla variabile ridotta y della distribuzione secondo la seguente espressione:

y e e h P( )= − − [2.3] da cui si ricava :

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( )

[

]

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = − − = r t h P y ln ln ln ln 1 1 [2.4] Secondo Gumbel l’altezza di pioggia, avente un determinato tempo di ritorno, è legato alla variabile y secondo la seguente espressione:

y N t h _r α 1 ) ( = + [2.5]

N e 1/α rappresentano i parametri della distribuzione. La grandezza N è detta valore dominante o norma della distribuzione. La stima di questi parametri può essere effettuata con il metodo di massima verosimiglianza o con il metodo dei momenti. La scelta è ricaduta sul metodo dei momenti in quanto risulta più semplice e rapido rispetto all’altro. Questo metodo si basa sul concetto che è possibile esprimere gli n parametri di una distribuzione in funzione dei suoi momenti di ordine n. Nel caso di Gumbel (n=2) basta conoscere il momento di primo ordine, detto anche media M e quello del secondo ordine chiamato comunemente deviazione standard σ.

La stima di N e di 1/α si articola nei seguenti passaggi:

• si calcolano la media M dei valori massimi annuali si calcola lo scarto εi del generico valore

hi da tale media (εi= hi-M) e si determina lo scarto quadratico medio σ:

1 2 − =

∑

n ε σ

essendo n il numero delle osservazioni. • si applicano le seguenti relazioni:

σ α σ 7797 , 0 1 45 . 0 = − = M N [2.6]

Per ogni intervallo di tempo considerato è stata calcolata la media, la deviazione standard e i parametri N e 1/α (tabella 2.7).

Tabella 2.4 - Parametri della distribuzione di Gumbel (stazione di Massa)

1h 3h 6h 12h 24h

Media 36,6 54,5 65,9 77,9 91,6

Dev.stan. 13,9 20,8 20,7 23,5 29,8

N 30,3 45,1 56,5 67,3 78,2

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Calcolati questi parametri è possibile scrivere le espressioni [2.5] delle altezze di pioggia delle diverse durate in funzione del tempo di ritorno (tabella 2.8).

Tabella 2.5 – Espressioni delle altezze di precipitazione in funzione del tempo di ritorno

t Massa 1 h h

( )

t_r =30,33+10,81y 3 h h

( )

t_r =45,14+16,21y 6 h h

( )

t_r =56,52+16,17y 12 h h

( )

t_r =67,30+18,31y 24 h h

( )

t_r =78,23+23,20y

Per verificare la bontà della distribuzione di Gumbel, se si ordinano in modo crescente, per ciascuna durata di pioggia, le n osservazioni disponibili, la durata probabile dell’osservazione di ordine m è data dalla: 1 ) ( + = Φ n m m

e quindi il tempo di ritorno sempre dell’osservazione di ordine m è:

) ( 1 1 m Tr Φ − =

Dunque si riportano sulla carta di Gumbel le coordinate delle osservazioni e se ne verifica l’adattamento alla retta di equazione : x Tr =N + ⋅y

α 1 )

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2.4.1.1 Carta di Gumbel per piogge di durata 1ora

Nella seguente tabella si riportano, in ordine crescente, i valori delle altezze di pioggia di durata 1 ora, e i valori di Φ(m), Tr e della variabile ridotta y:

N°ordine Anno evento Altezza pioggia(mm) F(m)=m/n+1 tr=1/1-F(m) y

1 1958 16 0,0152 1,0154 -1,4326 2 1962 16,4 0,0303 1,0313 -1,2518 3 1971 18,2 0,0455 1,0476 -1,1285 4 1974 19,8 0,0606 1,0645 -1,0308 5 1986 20,6 0,0758 1,0820 -0,9479 6 1938 21 0,0909 1,1000 -0,8746 7 1947 21,2 0,1061 1,1186 -0,8081 8 1981 22,2 0,1212 1,1379 -0,7468 9 1950 23 0,1364 1,1579 -0,6894 10 1933 23 0,1515 1,1786 -0,6350 11 1928 23,9 0,1667 1,2000 -0,5832 12 1993 24,2 0,1818 1,2222 -0,5334 13 1978 24,8 0,1970 1,2453 -0,4853 14 1973 25 0,2121 1,2692 -0,4386 15 1998 26,2 0,2273 1,2941 -0,3931 16 1985 26,6 0,2424 1,3200 -0,3486 17 1979 26,8 0,2576 1,3469 -0,3049 18 1943 27,6 0,2727 1,3750 -0,2618 19 1953 28 0,2879 1,4043 -0,2193 20 1984 28,2 0,3030 1,4348 -0,1772 21 1939 29 0,3182 1,4667 -0,1355 22 1961 29,2 0,3333 1,5000 -0,0940 23 1957 30 0,3485 1,5349 -0,0527 24 1951 30 0,3636 1,5714 -0,0115 25 1980 30,2 0,3788 1,6098 0,0297 26 1960 30,2 0,3939 1,6500 0,0709 27 1982 30,6 0,4091 1,6923 0,1123 28 1929 30,8 0,4242 1,7368 0,1538 29 1972 31,4 0,4394 1,7838 0,1956 30 1983 32,8 0,4545 1,8333 0,2377 31 1994 33,2 0,4697 1,8857 0,2802 32 1963 34 0,4848 1,9412 0,3231 33 1954 35 0,5000 2,0000 0,3665 34 1948 35 0,5152 2,0625 0,4105 35 1989 35,8 0,5303 2,1290 0,4552 36 1975 36 0,5455 2,2000 0,5007 37 1937 36,2 0,5606 2,2759 0,5469 38 1932 37 0,5758 2,3571 0,5941 39 1987 37,2 0,5909 2,4444 0,6423 40 1966 38 0,6061 2,5385 0,6916 41 1934 38,2 0,6212 2,6400 0,7422 42 1946 38,6 0,6364 2,7500 0,7941 43 1976 39,8 0,6515 2,8696 0,8476 44 1968 40 0,6667 3,0000 0,9027 45 1964 40 0,6818 3,1429 0,9597

(14)

46 1956 40 0,6970 3,3000 1,0188 47 1930 40,2 0,7121 3,4737 1,0803 48 1995 40,6 0,7273 3,6667 1,1443 49 1977 40,6 0,7424 3,8824 1,2112 50 1990 41,2 0,7576 4,1250 1,2815 51 1959 42 0,7727 4,4000 1,3555 52 1955 42 0,7879 4,7143 1,4338 53 1931 42,8 0,8030 5,0769 1,5170 54 1988 43 0,8182 5,5000 1,6061 55 1969 44 0,8333 6,0000 1,7020 56 1992 44,6 0,8485 6,6000 1,8060 57 1997 45 0,8636 7,3333 1,9200 58 1970 50 0,8788 8,2500 2,0463 59 1936 52 0,8939 9,4286 2,1882 60 1996 58,4 0,9091 11,0000 2,3506 61 1952 65,4 0,9242 13,2000 2,5411 62 1991 74,2 0,9394 16,5000 2,7723 63 1935 77,3 0,9545 22,0000 3,0679 64 1965 80 0,9697 33,0000 3,4812 65 1949 84,4 0,9848 66,0000 4,1820 Totale 2368,6

In funzione dei vari tempi di ritorno Tr si calcola la probabilità di non superamento Φ(x), la variabile ridotta y e le altezze di pioggia , sempre riferite alla durata di un’ora h(Tr):

Tr Probabilità di non superamento _(Φ(x)) Y h(Tr)

1,02 0,019607843 -1,3691 15,53556 5 0,8 1,49994 46,54668 10 0,9 2,250367 54,65794 30 0,966666667 3,384294 66,91441 50 0,98 3,901939 72,50956 200 0,995 5,295812 87,57575 500 0,998 6,213607 97,49608 1000 0,999 6,907255 104,9936

Per valutare se l’adattamento dei dati delle altezze di pioggia misurati sia soddisfacente si utilizza il seguente grafico

(15)

Retta di Gumbel(piogge di 1h) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 -2 0 2 4 6 8 y h (mm) h(tr)calcolata h(tr)misurata

Figura 2.2 – Adattamento dalla distribuzione di Gumbel ai dati osservati per piogge di 1 ora

L’adattamento della retta di Gumbel alle altezze di pioggia misurate in questo caso è soddisfacente.

2.4.1.2 Carta di Gumbel per piogge di durata 3 ore

Per le altezze di pioggia di durata 3 ore si riportano nella seguente tabella, in funzione dei vari tempi di ritorno Tr, la probabilità di non superamento Φ(x), la variabile ridotta y e le altezze di pioggia , h(Tr):

Tr Probabilità di non superamento _(Φ(x)) Y h(Tr)

1,02 0,019607843 1,3691039 22,946979 5 0,8 1,49994 69,458289 10 0,9 2,2503673 81,623791 30 0,966666667 3,3842945 100,00637 50 0,98 3,9019387 108,39813 200 0,995 5,2958121 130,99481 500 0,998 6,2136073 145,87359 1000 0,999 6,9072551 157,11861

Per valutare se l’adattamento dei dati delle altezze di pioggia misurati sia soddisfacente si utilizza il seguente grafico:

(16)

Retta di Gumbel(piogge di 3h) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 -2 0 2 4 6 8 y h (mm) h(tr)calcolata h(tr)misurata

Figura 2.3 – Adattamento dalla distribuzione di Gumbel ai dati osservati per piogge di 3 ore

Per le altezze di pioggia di durata 6 ore si riportano nella seguente tabella, in funzione dei vari tempi di ritorno Tr, la probabilità di non superamento Φ(x), la variabile ridotta y e le altezze di pioggia, h(Tr):

Tr Probabilità di non superamento (Φ(x)) Y h(Tr)

1,02 0,019607843 -1,37 34,38 5 0,8 1,50 80,77 10 0,9 2,25 92,90 30 0,966666667 3,38 111,24 50 0,98 3,90 119,61 200 0,995 5,30 142,15 500 0,998 6,21 156,99 1000 0,999 6,91 168,20

(17)

Retta di Gumbel(piogge di 6h) 0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00 140,00 160,00 180,00 -2,00 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 y h (mm) h(tr)calcolata h(tr)misurata

1,02 0,019607843 -1,37 42,23 5 0,8 1,50 94,76 10 0,9 2,25 108,49 30 0,966666667 3,38 129,25 50 0,98 3,90 138,73 200 0,995 5,30 164,25 500 0,998 6,21 181,05 1000 0,999 6,91 193,75

(18)

1,02 0,019607843 -1,37 46,47 5 0,8 1,50 113,03 10 0,9 2,25 130,44 30 0,966666667 3,38 156,75 50 0,98 3,90 168,76 200 0,995 5,30 201,10 500 0,998 6,21 222,39 1000 0,999 6,91 238,49

(19)

(20)

2.4.2

Curva di possibilità pluviometrica per piogge di durata superiori o uguali ad un’ora

Nel paragrafo 2.4.1 sono state calcolate le espressioni delle altezze di pioggia delle diverse durate in funzione del tempo di ritorno (tabella 2.5).

Procediamo calcolando per ciascuna durata i valori dell’altezza di pioggia relativi ai vari tempi di ritorno (tabella 2.6):

Tabella 2.6– Altezze di precipitazione per assegnato tempo di ritorno in mm(Stazione di Massa)

Tr 1h 3h 6h 12h 24h 2 34,30 51,08 62,45 74,01 86,73 5 46,55 69,46 80,77 94,76 113,03 10 54,66 81,62 92,90 108,49 130,44 20 62,44 93,29 104,54 121,67 147,14 25 64,91 96,99 108,24 125,85 152,44 50 72,51 108,40 119,61 138,73 168,76 70 76,18 113,90 125,10 144,94 176,63 100 80,06 119,72 130,90 151,51 184,96 150 84,46 126,32 137,48 158,97 194,41 200 87,58 130,99 142,15 164,25 201,10 500 97,50 145,87 156,99 181,05 222,39

Adesso è possibile costruire la curva di possibilità climatica espressa dalla [2.1] avente un certo tempo di ritorno.

La stima delle costanti a ed n può essere effettuata applicando il metodo di regolarizzazione per interpolazione ai cinque punti (t , ) relativi ad un certo tempo di ritorno e si articola nei seguenti _i h_i passaggi:

• si linearizza l’equazione [2.1] passando alla rappresentazione logaritmica: logh=loga+nlogt [2.7]

che nel piano logaritmico (log h, log t) costituisce l’equazione di una retta. • si assumono quindi le seguenti relazioni:

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

∑

− − = ∑ ∑ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 2 2 log log 2 log 1 log log log 1 log log 10 i i i i t m n m h t t h t m h t n a i i [2.8]

(21)

che derivano dall’applicazione del metodo dei minimi quadrati, metodo che rende minima la somma dei quadrati degli scarti tra i valori dei dati osservati e quelli corrispondenti che si ricavano dalla [2.7]. Nelle [2.8] h rappresenta l’altezza di pioggia corrispondente alla generica durata _i t ed m il _i numero dei dati.

Nel nostro caso è m=5.

• Considerando un tempo di ritorno di 200 anni si ricava che i cinque punti, corrispondenti alle varie durate di pioggia, vengono interpolati da una curva che ha come costanti:

25 , 0 71 , 91 2 2 = = n a

perciò la curva di possibilità climatica per la stazione di Massa, per piogge di durata uguale o superiore ad un’ora, con tempo di ritorno di 200 anni diventa:

25 , 0 71 , 91 t h= t ≥ 1 ora [2.9]

In figura 2.1 riportiamo l’andamento della curva di possibilità climatica per vedere anche come si adatta ai dati stessi.

Curva di possibilità climatica

y = 91.711x0.2474 80 100 120 140 160 180 200 220 0 5 10 15 20 25 30 t (ore) h ( mm)

(22)

• È stato inoltre calcolato il coefficiente di determinazione _{r , che ci dà informazioni sulla}2

bontà della regressione. Infatti quanto più _{r si avvicina a 1 tanto migliore è la bontà della}2

regressione.

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ =

∑

2 2 2 2 2 2 log 1 log log 1 log log log 1 log log i i i i i i i i h m h t m t h t m h t r [2.10]

Nel nostro caso dalla [2.10] otteniamo _{r =0,97, valore sufficientemente elevato.}2

Di seguito si riportano le curve di possibilità climatica, per la stazione di Massa, per piogge di durata uguale o superiore ad un’ora, riferite a tempi di ritorno rispettivamente di 5, 10, 25, 50, 100,150, 500 anni: • Tr=5 anni 27 , 0 62 , 48 t h= t ≥ 1 ora

y = 48.621x0.2726 40 50 60 70 80 90 100 110 120 0 5 10 15 20 25 t (ore) h ( mm)

(23)

• Tr=10 anni 26 , 0 14 , 57 t h= t ≥ 1 ora

y = 57.139x0.2648 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 0 5 10 15 20 25 t (ore) h ( mm)

Figura 2.9 – Curva di possibilità climatica per un tempo di ritorno di 10 anni

• Tr=25 anni 257 , 0 9 , 67 t h= t ≥ 1 ora

y = 67.903x0.2576 50 70 90 110 130 150 0 5 10 15 20 25 t (ore) h ( mm)

(24)

• Tr=50 anni 253 , 0 88 , 75 t h= t ≥ 1 ora

y = 75.888x0.2535 60 80 100 120 140 160 180 0 5 10 15 20 25 t (ore) h ( mm)

• Tr=100 anni 25 , 0 81 , 83 t h= t ≥ 1 ora

y = 83.814x0.2502 70 90 110 130 150 170 190 0 5 10 15 20 25 t (ore) h ( mm)

(25)

• Tr=150 anni 248 , 0 44 , 88 t h= t ≥ 1 ora

y = 88.436x0.2485 80 100 120 140 160 180 200 0 5 10 15 20 25 t (ore) h ( mm)

• Tr=500 anni 244 , 0 13 , 102 t h= t ≥ 1 ora

y = 102.13x0.2444 90 110 130 150 170 190 210 230 0 5 10 15 20 25 t (ore) h ( mm)

(26)

2.4.3

Curva di possibilità pluviometrica per piogge di durata inferiore o uguale ad un’ora

Adesso ripetendo il procedimento per le piogge di durata inferiore o uguale all’ora troviamo:

Tabella 2.7 - Parametri della distribuzione di Gumbel (stazione di Massa)

10 min 20 min 30 min 1 h

Media 14,28 20,88 27,53 36,57

Dev.stan. 3,92 6,65 9,89 14,39

N 12,52 17,88 23,08 30,09

1/α 3,05 5,19 7,71 11,22

Calcolati questi parametri è possibile scrivere le espressioni [2.5] delle altezze di pioggia delle diverse durate in funzione del tempo di ritorno (tabella 2.8).

Tabella 2.8 – Espressioni delle altezze di precipitazione in funzione del tempo di ritorno

t Massa

10 min h

( )

t_r =12,52+3,05y

20 min h

( )

t_r =17,88+5,19y

30 min h

( )

t_r =23,08+7,71y

1 h h

( )

t_r =30,09+11,22y

Per ciascuna durata sono stati ricavati i valori dell’altezza di pioggia per vari tempi di ritorno, riportati nella tabella 2.12, espressi in mm:

(27)

Tabella 2.9 – Altezze di precipitazione per assegnato tempo di ritorno (Stazione di Massa)

Tr 10 min 20 min 30 min 1 h

2 13,64 19,78 25,90 34,21 5 17,10 25,66 34,64 46,93 10 19,39 29,56 40,42 55,35 20 21,59 33,29 45,97 63,43 25 22,28 34,48 47,73 65,99 50 24,43 38,13 53,15 73,89 70 25,47 39,89 55,77 77,70 100 26,56 41,75 58,53 81,72 150 27,81 43,86 61,67 86,29 200 28,69 45,36 63,90 89,53 500 31,49 50,12 70,97 99,83

• Applicando quindi il metodo dei minimi quadrati condizionati, precedentemente descritto, si ricava che i quattro punti corrispondenti ad un tempo di ritorno di 200 anni, vengono interpolati da una curva che ha come costanti:

57 , 0 71 , 91 1 1 = = n a

perciò la curva di possibilità climatica per la stazione di Massa, per piogge di durata minore od uguale ad un’ora, con tempo di ritorno di 200 anni diventa:

57 , 0 71 , 91 t h= t ≤ 1 ora

Si nota che l’esponente corrispondente alle durate inferiori ad 1 ora risulta sempre maggiore di quello corrispondente alle durate superiori, ciò comporta che l’uso di una delle due espressioni trovate al di fuori del proprio campo di validità comporta una sovrastima notevole delle altezze di pioggia.

In figura 2.13 riportiamo l’andamento della curva di possibilità climatica per vedere anche come si adatta ai dati stessi.

(28)

Curva di possibilità climatica (t<1h) y = 91,71x0,57 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 t (ore) h ( mm)

Di seguito si riportano le curve di possibilità climatica, per la stazione di Massa, per piogge di durata minore od uguale ad un’ora, riferite a tempi di ritorno rispettivamente di 5, 10, 25, 50, 100,150, 500 anni: • Tr=5 anni 508 , 0 62 , 48 t h= t<= 1 ora

Curva di possibilità climatica (t<1h)

y = 48,62x0,508 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 t (ore) h ( mm)

(29)

• Tr=10 anni 528 , 0 14 , 57 t h= t<= 1 ora

y = 57,139x0,528 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 t (ore) h ( mm)

• Tr=25 anni 546 , 0 90 , 67 t h= t<= 1 ora

y = 67,90x0,546 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 t (ore) h ( mm)

(30)

• Tr=50 anni 557 , 0 88 , 75 t h= t<= 1 ora

y = 75,88x0,557 20 30 40 50 60 70 80 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 t (ore) h ( mm)

• Tr=100 anni 566 , 0 81 , 83 t h= t<= 1 ora

y = 83,81x0,566 20 30 40 50 60 70 80 90 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 t (ore) h ( mm)

(31)

• Tr=150 anni 57 , 0 44 , 88 t h= t<= 1 ora

y = 88,436x0,57 25 35 45 55 65 75 85 95 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 t (ore) h ( mm)

• Tr=500 anni 58 , 0 13 , 102 t h= t<= 1 ora

y = 102,13x0,58 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 0.10 0.30 0.50 0.70 0.90 1.10 t (ore) h ( mm)

(32)

2.5 Curva di possibilità pluviometrica relativa al bacino del torrente

Carrione (Carrara)

In seguito all’ evento alluvionale del settembre 2003 è stato redatto uno studio per la definizione del programma di interventi per l’equilibrio idrogeologico del bacino del torrente Carrione (Prof. Ing. Carlo Viti) in cui si è proceduto ad una elaborazione statistica dei dati di pioggia del Rifugio Belvedere, i cui dati sono stati però integrati integrati , con i valori della stazione pluviometrica di Carrara quando questi ultimi erano maggiori o i primi non erano disponibili.

Tali dati , raccolti nella seguente tabella 2.10, sono stati sottoposti a regolarizzazione statistica impiegando la distribuzione di Gumbel ottenendo cosi’ i valori delle piogge probabili relativi alle varie durate ed ai vari tempi di ritorno come riportato in tab.2.11 :

Anno t=10’ t=20’ t=1 ora t=3 ore t=6 ore t=12 ore t=24 ore

1967 40 64 80,4 98,6 110 135,2 1968 32 92 208 285,8 303,2 309,6 1969 30,4 46,8 50 74,2 119,2 1970 20 40 77,6 79,2 89,2 130 1971 26 51 81 81,8 81,8 93,6 1972 30 41 45,4 55 80,6 110,2 1973 25 42,2 96 100,2 130,8 136 1974 15,2 20,4 37,2 53,2 73 76,6 1975 16,2 22 37,8 64 92 125 1976 34,2 40 59,8 99 100,4 1977 28,6 40,8 59,8 85 110,4 182,8 1978 14,2 21,4 58,4 98,2 176,2 214,8 1979 17,6 19,8 28 44,2 84,6 140,8 1980 1981 1982 14 16 35,8 53,8 76,6 113,8 1983 15 20,6 27,6 36 58 90 1984 1985 13,3 1986

(33)

1987 1988 21 50,2 59 62,2 65,4 1989 10,7 16 25,7 40,2 66,1 102,3 1990 1991 102,9 7,7 12,1 30,2 36,4 51,1 71,1 102,9 10,6 12,6 24,2 41,6 51,8 62,4 80,4 1994 10,6 11,8 20 41 65,6 108,6 157,2 1995 13,2 18,4 51,8 80 89,2 96,4 97,8 1996 12,8 17,8 36 64,6 75,6 98 109,8 1997 13 23 32,2 50,6 62,4 1998 31,4 40,6 54,2 70,4 70,6 2003 29,73 52,73 107,2 166,8 194,8 229 264,8

Tabella 2.10– Stazioni pluviometriche di Rifugio Belvedere e Carrara, Piogge massime da 10’ a 24 ore- Periodo 1967-2003 (i dati evidenziati si riferiscono alla stazione di Carrara)

Tr 10’ 20’ 1 ora 3 ore 6 ore 12 ore 24 ore

5 21,33 30,38 52,85 92,31 117,28 143,15 170,81 10 25,88 37,06 66,34 117,61 148,95 176,48 205,9 30 32,76 47,14 86,72 155,85 196,8 226,83 258,92 50 35,9 51,75 96,03 173,31 218,65 249,81 283,13 100 40,13 57,96 108,58 196,85 248,11 280,82 315,78 200 44,35 64,15 121,08 220,31 277,47 311,71 348,31 Tabella 2.11 – Piogge probabili

Utilizzando questi ultimi dati, attraverso l’impiego del metodo dei minimi quadrati, è stata determinata la relazione tra altezze di pioggia, tempo di ritorno e durata secondo l’espressione monomia: n m r t Tr a T t h₍ _,₎ = ₀⋅ ⋅ dove: h = altezza di pioggia in mm; Tr = tempo di ritorno in anni; t = durata della pioggia in ore.

(34)

La suddetta relazione è stata ricavata separatamente per le piogge di durata da 10’ ad 1 ora e per quelle di durata da 1 a 24 ore; i parametri a, m ed n ottenuti sono riportati nella seguente Tabella:

Stazione a0 m n (t<1 ora) n (t>1 ora)

Belvedere-Carrara 42,70 0,21 0,63 0,34