Occorrono funzioni pi

(1)

⇓ ⇓

Occorrono funzioni pi

Occorrono funzioni pi ù ù generali: generali:

Le funzioni reali di variabile reale non sono Le funzioni reali di variabile reale non sono

idonee alla descrizione e allo studio di molti idonee alla descrizione e allo studio di molti

fenomeni naturali fenomeni naturali

y y =g( =g( x x ) ) ^{dove :} ^{g A} ^⊆ ^\ ⁿ ^→ ^\ ^m

⇒ ⇒ ci limiteremo in questo corso a ci limiteremo in questo corso a considerare funzioni di due variabili considerare funzioni di due variabili

: 2

dove g A ⊆ \ → \

(2)

Funzione di produzione di

Funzione di produzione di Cobb Cobb - - Douglas Douglas

1

g ( , ) con a 0 e 0 1

a L K

y = K

^α ⁻^α

= L > < < α

Questa legge definisce una

Questa legge definisce una funzione funzione di due variabili

di due variabili che lega il che lega il prodotto prodotto nazionale annuo y

nazionale annuo y di un paese, alla di un paese, alla disponibilit

disponibilit à à di di capitale K capitale K e di e di lavoro L lavoro L

(3)

A si chiama dominio della funzione A si chiama dominio della funzione

Definizione Definizione

Una funzione reale di due variabili funzione reale di due variabili

è una legge che ad ogni punto P(x,y) ad ogni punto P(x,y) dell’insieme A associa uno, ed un

solo, elemento z=f(x,y) di R

: 2

g A ⊆ \ → \

(4)

0

0.5

1

1.5

2

1 1.5

2 2.5

3 0 1 2 3 4

y x

z=f(x,y)

f(2,1)=4 P (2,1)

AA

Immagine di un punto P del dominio A di f

(5)

Come nel caso di funzioni di Come nel caso di funzioni di

una variabile,

una variabile, se non se non è è specificato specificato il dominio A di f

il dominio A di f ma ma è è definita definita

solamente la legge, si intende solamente la legge, si intende

come dominio il

come dominio il DOMINIO

NATURALE di f cio di f cio è è il più grande insieme sul quale la legge

data abbia senso

(6)

{ }

2

2 2 2

2 2

D= (x,y) : Il do

4 0 =

= (

min

x,y

i

) : 4

o di f è

y

x y

x

∈ −

∈ + ≤

− ≥ R

R

2 2

( , ) 4

f x y = − x − y

ESEMPIO

(7)

{ }

2

2 2

2

2 0

log(

Affinchè ( ,

2 ) 0

2 0

2 ) abbia senso

D= (x,y) : 2

1 1 0

y x

y y

y

x

x x

f x

⎧

∈

− >

⎪ ⎨

− ≥

⎪⎩

⎧ − >

⎪ ⎨

⇒

≥

−

⎪ −

−

⎩

≥ R

( , ) log( 2 ) f x y = y − x

ESEMPIO

(8)

Il grafico Il della funzione di due variabili della funzione di due variabili è è l l ’ ’ insieme insieme

:

2

f A ⊆ \ → \

{ }

G= ( , , ) : ( , ) x y z x y ∈ A e z = f x y ( , )

E E ’ ’ quindi una superficie S nello spazio (x,y,z) quindi una superficie S nello spazio (x,y,z) NB: NB: ogni retta perpendicolare al piano x,y ogni retta perpendicolare al piano x,y

incontra la superficie S in un solo punto incontra la superficie S in un solo punto

NB: NB: il grafico della funzione f(x,y)=K il grafico della funzione f(x,y)=K è è un piano un piano parallelo al piano (x,y) avente quota K

parallelo al piano (x,y) avente quota K

(9)

(10)

(11)

Estremo superiore, estremo inferiore, Estremo superiore, estremo inferiore,

se esistono, massimo e minimo di f se esistono, massimo e minimo di f

coincidono con coincidono con

il il sup sup , l , l ’ ’ inf inf il max e il il max e il min min di f(A) di f(A)

Una funzione

si dice limitata superiormente, limitata limitata superiormente, limitata inferiormente, limitata

inferiormente, limitata se il suo insieme immagine f(A) ⊂ ^R è limitato limitato

superiormente, limitato inferiormente superiormente, limitato inferiormente

o limitato o limitato

:

f A ⊆ \ → \

(12)

Osservazione:

Dire che la funzione Dire che la funzione

è è limitata limitata , significa dire , significa dire che che esistono esistono due piani paralleli al piano (x,y),

due piani paralleli al piano (x,y), z=K z=K e z=H,

e z=H, tali che il grafico di f non va tali che il grafico di f non va

“ “ oltre oltre ” ” il piano z=K e non scende al di il piano z=K e non scende al di sotto del piano z=H

sotto del piano z=H

: 2

f A ⊆ \ → \

(13)

(14)

z=1 è il max di f(x ,y) f(x,y) è il limitata i nf e rio r ment e

(15)

Per comprendere

Per comprendere “ “ l l ’ ’ andamento andamento ” ” di una funzione di una funzione

sono molto usate le

sono molto usate le LINEE DI LIVELLO

: 2

f A ⊆ \ → \

Le curve di livello

Le curve di livello si ottengono si ottengono

intersecando la superficie con un intersecando la superficie con un

piano parallelo all

piano parallelo all ’ ’ asse x,y e asse x,y e

proiettando poi ortogonalmente sul proiettando poi ortogonalmente sul

piano x,y le curve che si ottengono

(16)

( , )

f x y = x + y

(17)

x

y

5 10 15 20 25 30 35 40 45

-5 0 5

(18)

( )

2

1 1 2

2 2

1 1 2 2

2

Sian

( ) ( )

o , ,

x y

y x y x y x

y − x = y − x + y x

= −

−

∈

− −

R

y − x coincide coincide con la coincide coincide con la lunghezza lunghezza del vettore

del vettore y y - - x x cio cio è è con la lunghezza del con la lunghezza del vettore di estremi

vettore di estremi x x e e y y quindi con la quindi con la distanza euclidea dei due vettori

distanza euclidea dei due vettori

y

x

y-x

(19)

Definiamo distanza fra due vettori x e y

2 2

1 1 2 2

( , ) ( ) ( )

d x y = y − x = y − x + y − x

2

la NB: Se

anche in questo ca coincide con la distanza euclidea fra i due

s

pu

, ( , ) (

nti e o

) x

x y d x y x y x

y

x

y x y

y

−

∈ R = − = − = −

x y

(20)

Intorno di un punto Intorno di un punto

{ }

0

( , )

0

:

: ( ,

) In

x d x

I x r

x x x r

x r

= ∈ <

∈ < =

−

= R R

R { }

{ }

2

0

: (

( , ) ,

In

) :

x d x x

I x r

x x x r

r

∈ − <

= ∈ < =

= R

R R

x x

⁰⁰

-r x - r x

⁰⁰

x x

⁰⁰

+r +r

x x

⁰⁰

r r

(21)

Con questa definizione di intorno di un punto Con questa definizione di intorno di un punto

in si possono estendere le definizioni di in si possono estendere le definizioni di

punto interno

punto interno , , punto esterno punto esterno , , punto di punto di frontiera

frontiera , , insieme aperto insieme aperto , , insieme insieme chiuso

chiuso gi gi à à viste per insiemi A viste per insiemi A ⊂ ⊂ R R

R

2

P P

22

e e P P

11

punto di punto di frontiera di A

frontiera di A P P

³³

punto punto

interno ad A interno ad A P P

⁴⁴

punto punto

esterno ad A

(22)

Un insieme si dice

Un insieme si dice limitato limitato ^se ^se ∃ ∃ un un intorno dell

intorno dell ’ ’ origine che lo contiene origine che lo contiene

⊂

2

A R

Un insieme

Un insieme CHIUSO CHIUSO e LIMITATO e LIMITATO si dice si dice COMPATTO COMPATTO

A limitato A illimitato

(23)

{

²

}

è un insiem e CHIUSO ma

(

I , )

LLIMI TO :

TA

0 x y ∈ R x ≥

{

² ² ²

}

è un insieme APERTO LIMITATO

e

( , ) x y ∈ R : x + y < 1

[ ]

{

²

}

è un insieme C

( , ) : , 2

HIUSO e LIMIT TO

,

A

2 x y ∈ R y x ∈ −

(24)

LIMITI LIMITI

2

0 0 0

: , ( , ) punto

di accumulazione del dominio D f D ⊂ R → R P = x y

0 0

0

0 0 0

Si dice che è il limite di ( , ) per ( , ) ( , ) e si sc

l

rive o

im ( ) lim ( , )

P P x x

y y

f

l f x y

P

P l

x

f x y l y P x y

→ →

→

= =

{ }

0 0

s e , t.c. ( , si h ,

0 ) (

a

0 P )

f

I P D P

x y l

δ ε

ε

δ ∀

∀ > > ∈ −

−

∃

<

∩

(25)

Esempio Esempio

2 4

4

4 2 4

2 2 4

x

y y

x

y

x x

ε ε

ε

− < + <

− + − < <

− − ⇒

−

< +

+

⇒ +

⇒

1 2

li

Verificare che m(2 ) 4

x y

→→

+ =

(26)

Esempio Esempio

2

2 2 2 2

per 0 ( , 0) 0 per 1

( , 1 ( , )

2 ) 1

m f x

m f

mx m

f x m

x x x

x m x m

= =

+ + ⇒ =

⎧ ⎪

⎨ =

⎪⎩

2 2

0 0

Dimostrare che non esiste l im

x y

xy

x y

→→

+

y=mx y=mx fascio di fascio di rette uscenti rette uscenti dall dall ’ ’ origine origine

Comunque si consideri un intorno dell

Comunque si consideri un intorno dell ’ ’ origine, origine, in esso cadono sia punti in cui f(x,y)=0 sia

in esso cadono sia punti in cui f(x,y)=0 sia punti in cui f(x,y)=1/2

punti in cui f(x,y)=1/2 ⇒ ⇒ IL LIMITE NON IL LIMITE NON ESISTE

ESISTE

(27)

Osservazione Osservazione

Ogni restrizione di f ad un insieme che abbia Ogni restrizione di f ad un insieme che abbia (x (x

⁰⁰

,y ,y

⁰⁰

) come punto di accumulazione, ) come punto di accumulazione, ha lo ha lo

stesso limite stesso limite

0 0

lim ( )

e ,

S x y

f x y l

→ →

=

⇓

(28)

2 2

lim ( , ) ( , ) 2

x y

f x

f y

l x x y y

→∞→∞

= = −

+

(29)

y_→y0

xy

(30)

Funzioni continue Funzioni continue

2

0 0 0

: , ( , )

punto di accumulazione del dominio D f D ⊂ R → R P = x y ∈ D

0 0 0

si dice CONTINUA in ( , ) se

f P = x y

0

lim ( ) (

0

)

P P

f P f P

→

=

(cio (cio è è quando esiste il limite e coincide col quando esiste il limite e coincide col

valore che la funzione assume nel punto)

(31)

2

CONTINUA IN A

: è

se ess a è cont inua

f A

P A

⊆ →

∀ ∈

R R

NB: NB: I principali teoremi sulla continuit I principali teoremi sulla continuit à à visti per f:A

visti per f:A ⊆ ⊆ R R → → R valgono anche per R valgono anche per

:

2

f A ⊆ R → R

Occorrono funzioni pi

⇓ ⇓