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Esercizio 1. Sia X = {g : [−1; 1] → R} (insieme di funzioni) e sia (f

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(1)

Università degli Studi di Trento

CORSO DI ANALISI MATEMATICA II DIPARTIMENTO DI FISICA ANNO ACCADEMICO 2017/2018

ALBERTO MAIONE

Decima lezione - 03/05/2018

1. Esercizi

Esercizio 1. Sia X = {g : [−1; 1] → R} (insieme di funzioni) e sia (f

n

)

n

⊂ X la successione di funzioni definita come:

f : N → X

n 7→ f (n) = f

n

: [−1, 1] → R

x 7→ f (n)(x) = f

n

(x) = x

n

Stabilire per quali x ∈ [−1, 1] (f

n

)

n

converge puntualmente in X a f ∈ X e scrivere l’espressione della funzione limite f .

Soluzione:

Prima di andare a calcolare l’eventuale funzione limite f , osserviamo cosa accade a livello grafico:

qui abbiamo riportato i grafici di f

n

(x) per i valori n = 1, 2, 3, 4, 5.

Osserviamo le seguenti cose:

• al crescere di n ∈ N, la successione numerica (f

n

(x))

n

si schiaccia sull’asse x nell’intervallo (−1, 1);

• agli estremi dell’intervallo di definizione x = ±1 ogni elemento della successione f

n

assume i seguenti valori: f

n

(1) = 1; f

n

(−1) = (−1)

n

=

( −1 se n è dispari

1 se n è pari ∀n ∈ N

Intuiamo quindi che, se esistesse una funzione limite f ∈ X, essa dovrebbe avere la seguente forma:

f :] − 1, 1] → R x 7→ f (x) =

( 0 se x ∈ (−1, 1) 1 se x = 1

Osservazione 1. In x = −1 non abbiamo speranza di avere convergenza puntuale, in quanto la successione

(numerica) (a

n

)

n

= ((−1)

n

)

n

è indeterminata in R.

(2)

2

Per dimostrare l’effettiva convergenza puntuale di (f

n

)

n

a f in ] − 1, 1], e concludere così l’esercizio, facciamo vedere che

n→+∞

lim f

n

(x) = lim

n→+∞

x

n

= 0 ∀ x ∈ (−1, 1) (in x = 1 è banale, essendo (1)

n

= 1 → 1 per n → +∞).

A tal fine, applicando la definizione di limite, fissiamo ε > 0 e x ∈ (−1, 1) (ricordiamo che questo tipo di convergenza è definita puntualmente) e andiamo a valutare la distanza in R (per comodità, ci restringeremo al caso x ∈ [0, 1) risulterà analogo l’altro caso):

d

R

(f

n

(x), f (x)) = |f

n

(x) − f (x)| = |x

n

| = x

n

Osserviamo che tale quantità è minore di ε se e solo se:

x

n

< ε ⇐⇒ n > log

x

ε = log ε log x essendo x < 1 e applicando il cambio di base logaritmico.

Scelto quindi N = N (ε, x) = d log ε

log x e ∈ N, sappiamo con certezza che d

R

(f

n

(x), f (x)) < ε ∀n > N . Abbiamo così verificato quanto richiesto.

Osservazione 2. Nel precedente esercizio è mostrato un classico esempio di successione di funzioni che è continua ∀n ∈ N, nel suo insieme di definizione, la cui funzione limite non è tuttavia continua nel dominio di convergenza. In particolare, ciò rappresenta un tipico controesempio di successione di funzioni che converge puntualmente ma non uniformemente in un certo dominio di definizione.

Esercizio 2. Data la stessa successione dell’esercizio precedente, definita questa volta in X = C

b

(] − 1, 1]) (insieme delle funzioni continue e limitate-bounded definite da ] − 1; 1] a valori in R)da f

n

(x) = x

n

∀x ∈] − 1; 1] ∀n ∈ N, calcolare il più grande sottointervallo I ⊂] − 1, 1] nel quale c’è convergenza uniforme di (f

n

)

n

.

Soluzione:

Ricordiamo che condizione necessaria e sufficiente affinché (f

n

)

n

converga uniformemente a f (x) =

( 0 se x ∈ (−1, 1) 1 se x = 1 è che la corrispondente successione numerica

a : N → R

n 7→ a(n) = a

n

= sup

x∈]−1,1]

|f

n

(x) − f (x)|

converga a 0 ∈ R.

Osserviamo che ∀n ∈ N a

n

= sup

x∈]−1,1]

|f

n

(x) − f (x)| = sup

x∈]−1,1]

( sup

x∈]−1,1[

|f

n

(x) − f (x)| se x ∈] − 1, 1[

|f

n

(1) − f (1)| se x = 1

= sup

x∈]−1,1]

( sup

x∈]−1,1[

|x

n

| se x ∈] − 1, 1[

|1 − 1| se x = 1

= sup

x∈]−1,1[

( 1 se x ∈] − 1, 1[

0 se x = 1 = 1 → 1 6= 0 per n → +∞

Ne consegue che, in tutto l’intervallo ]−1, 1] non c’è speranza di avere convergenza uniforme. Analogamente, non sarà possibile ottenere convergenza uniforme nel sottointervallo ] − 1, 1[⊂] − 1, 1] nel quale valgono le stesse precedenti considerazioni a

n

= 1 → 1 6= 0 per n → +∞.

Supponendo che possa esserci convergenza uniforme in un qualche sottoinsieme proprio I ⊂] − 1, 1[, la forma più grande che I possa avere è del tipo:

I = [−r, r] con r ∈ [0, 1[

Supponendo quindi l’esistenza di r ∈ [0, 1[, abbiamo che a

n

= sup

x∈[−r,r]

|f

n

(x) − f (x)| = sup

x∈[−r,r]

|x

n

| = r

n

Ci chiediamo quindi se

a

n

→ 0 ⇐⇒ r

n

→ 0

(3)

3

A tal fine, applicando la definizione di limite, fissiamo (solamente) ε > 0 e consideriamo:

d

R

(a

n

, 0) = |r

n

− 0| = |r

n

| = r

n

Osserviamo che tale quantità è minore di ε se e solo se:

r

n

< ε ⇐⇒ n > log

r

ε = log ε log r Scelto quindi N = N (ε) = d log ε

log r e ∈ N, sappiamo con certezza che d

R

(a

n

, 0) < ε ∀n > N .

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