Estimation et Test 2004/2005
ESERCIZI – TD3
Esercizio 1
Un istituto demoscopico vuole stimare quante persone hanno intenzione di cambiare l'automobile nei prossimi 12 mesi. A tal fine, interpella un campione di 300 persone. Dire quale variabile aleatoria modella bene la situazione, indicarne il parametro e scrivere uno stimatore non distorto del parametro di interesse.
Esercizio 2
Un istituto di ricerche demoscopiche ha condotto un'indagine per stimare quale percentuale p di italiani e’ favorevole all'abolizione del servizio militare di leva. Su un campione di numerosita’ 400, i favorevoli risultano essere 287.
1. Scrivere un intervallo di confidenza per la percentuale di favorevoli p al livello del 95% e la sua realizzazione.
2. Scrivere un intervallo di confidenza per la percentuale di favorevoli p al livello del 99% e la sua realizzazione.
Esercizio 3
Un ricercatore vuole stimare qual e’ la percentuale di persone che prendono l'influenza: sulla base di un campione di numerosita’ 500, riscontra che 67 hanno preso l'influenza.
1. Scrivere un intervallo di confidenza per la percentuale di ammalati al livello del 90% e la sua realizzazione.
2. Scrivere un intervallo di confidenza per la percentuale di ammalati al livello del 95% e la sua realizzazione.
Esercizio 4
Una azienda pubblicitaria vuole sapere se un nuovo spot e’ risultato gradito al pubblico. In un campione di 60 individui, 46 persone si sono dichiarate favorevolmente colpite dalla nuova pubblicita’.
Scrivere un intervallo di confidenza al livello dell'80% per la percentuale di gradimento
Esercizio 5
Un sondaggio effettuato su 150 persone americane rivela che 65 di queste sono favorevoli all'abolizione della pena di morte.
1. Indicare il tipo di variabile casuale che meglio modella l'opinione di un individuo;
2. scrivere un intervallo di confidenza al livello del 99% per la proporzione p di favorevoli;
3. scrivere la sua realizzazione.
Esercizio 6
Un produttore di lamine di oro vuole stimare la varianza dello spessore delle lamine per giudicare se sono sufficientemente regolari. Esamina 10 lamine e trova una media campionaria dello spessore pari a 1 millimetro e una varianza campionaria pari a 0.01. Si suppone che lo spessore delle lamine abbia distribuzione normale N(,2).
1. Scrivere l'opportuno stimatore della varianza;
2. scrivere un intervallo di confidenza per la varianza al livello del 99% e calcolarne la realizzazione;
3. scrivere un intervallo di confidenza per la varianza al livello del 95% e calcolarne la realizzazione.
Esercizio 7
Il tempo di attesa ad uno sportello di banca puo’ essere considerato una variabile casuale di media e varianza σ2 sconosciute. Da un campionamento effettuato in 35 banche diverse si sono ottenuti i valori campionari della media uguale a 12.4 minuti e s = 2.3 minuti.
1. Definire un intervallo di confidenza al livello del 90% per la media e calcolarne la realizzazione;
2. definire un intervallo di confidenza al livello del 90% per la varianza σ2 e calcolarne la realizzazione.
Esercizio 8
Lo spessore delle tavole di legno prodotte in uno stabilimento e’
modellabile con una variabile casuale normale N(,2) con parametri non noti.
Da un campione di n=25 pezzi si ottiene una deviazione standard campionaria s=5.3.
a) Scrivere l'espressione dello stimatore non distorto S2 del parametro s2; b) scrivere la distribuzione di (n 1)2S2
;
c) scrivere un intervallo di confidenza al livello del 95% per σ2 e la sua realizzazione.
Esercizio 9
Un biologo e’ interessato a stimare la temperatura media a cui muore un virus. Osserva 20 virus e nota che la temperatura di morte ha una media campionaria x di 78.5 gradi e una deviazione standard di 4.2 gradi. Si suppone che la temperatura di morte dei virus abbia distribuzione normale N(,2).
1. Scrivere un intervallo di confidenza unilaterale destro per la media al livello del 95% e calcolarne la realizzazione;
2. Scrivere un intervallo di confidenza unilaterale destro per la media al livello del 99% e calcolarne la realizzazione.
Esercizio 10
Una fabbrica produce pneumatici la cui durata in kilometri puo’ essere modellata con una variabile casuale normale e varianza σ2 entrambe non note.
Per stimare i parametri, la fabbrica effettua prove su strada con 100 pneumatici, ottenendo i valori campionari x =34365 e s=349.
1. Scrivere un intervallo di confidenza unilaterale destro per la media al livello del 95% e calcolarne la realizzazione;
2. scrivere un intervallo di confidenza unilaterale sinistro per la varianza al livello del 95% e calcolarne la realizzazione;
3. scrivere un intervallo di confidenza bilaterale per la varianza al livello del 90% e calcolarne la realizzazione.
Esercizio 11
La temperatura di un locale e’ modellabile con una variabile casuale X con distribuzione normale di media e varianza sconosciute. In un campione di numerosita’ 11 si ottiene x = 19.6 come stima della media e si ottiene s = 1.1 come stima della deviazione standard .
1. Definire un intervallo di confidenza al livello del 90% per la media e calcolarne la realizzazione.
2. Definire un intervallo di confidenza unilaterale sinistro al livello del 95%
per la varianza e calcolarne la realizzazione.
Esercizio 12
Un medico vuole stimare la diminuzione di temperatura corporea a seguito della somministrazione di un nuovo antipiretico. La diminuzione di temperatura puo’ essere considerata come una variabile casuale normale con parametri non noti. Su un campione di 10 pazienti si osserva una media campionaria x =2.3 gradi e una varianza campionaria pari a 0.4.
1. Scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 95% e calcolarne la realizzazione;
2. calcolare la larghezza dell'intervallo di confidenza in funzione della numerosita’ campionaria n;
3. sulla base dei risultati ottenuti, determinare la numerosita’ campionaria necessaria per avere un intervallo di confidenza piu’ stretto di 0.2 gradi (si utilizzi l'approssimazione normale).
Esercizio 13
Un istituto di ricerca ha effettuato un primo sondaggio per stimare quanti francesi cambieranno l'automobile nei prossimi 12 mesi. Da questo sondaggio, effettuato su 150 persone, e’ risultato che 22 intendono acquistare un'automobile nuova nei prossimi 12 mesi. ‘
1. Scrivere un intervallo di confidenza al livello del 95% per la proporzione di coloro che intendono acquistare un'auto nuova e calcolarne la realizzazione;
2. sulla base dei risultati del primo sondaggio, qual e’ il numero m di persone che bisognera’ intervistare affinche’ l'intervallo di confidenza risulti piu’
stretto di 0.01?
