TD-Estimation et Test 2004/2005
Stimatori e Intervalli di Confidenza
Esercizio 1
Riportiamo qui sotto venti campioni di taglia 5 estratti da una distribuzione normale standard N(0,1).
-1,23 0,60 0,03 1,45 0,89 -1,59 -0,62 0,50 2,69 -0,27 0,14 0,63 -0,04 -0,32 -0,19 0,61 0,55 -1,41 -0,71 1,14 -1,19 -0,52 0,55 1,49 -0,08 -0,67 1,55 0,85 0,03 -0,50 -1,30 0,78 -0,81 -0,03 1,65 0,31 -0,43 0,09 0,89 -1,47 1,42 0,66 -1,00 2,96 2,39 -0,58 0,45 1,12 -1,04 -0,25 -0,81 1,60 0,06 0,20 1,80 0,53 -0,04 -0,51 0,59 -0,83 1,39 -0,30 1,23 -0,54 1,64 -0,60 -0,25 1,48 0,04 1,12 0,86 -1,31 0,20 -0,97 -0,23 -0,83
-0,28 0,74 0,92 0,19 -0,57 -0,62 0,04 0,73 -0,81 0,84 1,84 -0,25 0,54 -0,27 0,29 -0,91 -1,35 -0,34 -0,54 -1,41 -0,53 1,02 -0,62 -2,66
1. Per ciascuno di essi calcolare la media empirica.
2. Fornire, sulla base dei risultati precedenti, una rappresentazione grafica approssimata (istogrammi) della distribuzione di X
3. Per quanti campioni la stima x di m é compresa fra -0.2 e 0.2?
Esercizio 2
I seguenti campioni (di numerositá crescente) sono stati estratti da una popolazione con distribuzione normale N(0,1).
camp1 camp2 camp3 camp4 camp5 camp6 camp7 camp8 camp9 -1.54 -0.68 0.93 0.76 0.89 0.84 -1.00 -2.04 0.53 0.36 -0.29 1.45 -0.40 -0.86 0.41 0.41 0.90 1.52 -0.54 2.28 -0.23 -0.21 0.39 0.95 0.88 -0.50 0.84 -0.12 -0.24 1.41 -0.01 0.78 -0.65 0.87 -1.09 -1.66 0.32 0.36 -0.61 1.75 0.48 1.12 -0.63 -0.20 0.53 0.08 -1.09 -1.24 -1.13 -0.13 0.62 0.26 0.52 -1.29 -0.49 0.74 1.48 0.84 -2.42 1.46 0.13 -1.09 -0.43 2.16 0.41 0.81 0.53 2.40 -0.82 -0.63 0.23 0.46 0.04 1.80 0.70 -1.51 0.56 -0.98 1.25 -0.66 0.38 0.00 -0.68 -1.12 -1.28 0.19 0.39 0.70 -1.16 0.25
1. Per ogni campione, indicare lo stimatore della media, la sua distribuzione, la sua media, la sua varianza e calcolare la corrispondente stima della media;
2. Disegnare un grafico che visualizzi le stime al variare della numerositá del campione.
Esercizio 3
Una fabbrica produce viti di diametro dichiarato 10 millimetri. Il diametro delle viti é modellabile con una variabile casuale normale di media nota 10 millimetri e di varianza non nota .Un campione di 16 viti viene estratto dalla produzione e si ottengono le seguenti misurazioni del diametro:
10.005 10.008 9.999 10.001 9.994 10.006 10.001 9.993 9.993 9.998 10.005 9.997 10.004 9.997 9.990 10.002
Scrivere uno stimatore non distorto del parametro di interesse e calcolarne la stima.
Esercizio 4
Sia dato un campione X1,X2,X3 di numerositá 3 estratto da una distribuzione Normale con media e varianza entrambe incognite.
I risultati campionari sono
34.5 23.4 41.8
1. Scrivere l'espressione dello stimatore media campionaria X 2. scrivere la distribuzione della media campionaria X
3. scrivere la stima della media;
Esercizio 5
Il direttore di una fabbrica di carta vuole stimare lo spessore medio dei fogli prodotti. Da un campione di 250 fogli scelti a caso tra la produzione, si ottiene un valore della media campionaria pari a 0.136 millimetri. La deviazione standard é nota e pari a 0.010 millimetri.
1. Calcolare la deviazione standard dello stimatore media campionaria .
2. scrivere qual é la distribuzione (approssimata) dello stimatore media campionaria;
3. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 95\% e la sua realizzazione;
4. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 99\% e la sua realizzazione.
Esercizio 6
Un biologo vuole stimare il tempo di vita medio di un batterio. A tal fine, isola 10 batteri e, osservandoli al microscopio, trova una media campionaria pari a 12. ore ed una deviazione standard campionaria pari a 1.1 ore. Si suppone che il tempo di vita dei batteri abbia distribuzione normale .
Esercizio 7
Un costruttore di motori per automobile ha prodotto un nuovo tipo di motore e vuole stimare qual é il numero di giri al minuto al quale si esplica la coppia massima. Su un campione di numerositá 20, ottenuto provando 5 motori in 4 situazioni ambientali diverse, ha trovato una media campionaria del numero di giri di 4500 con una varianza campionaria uguale a 54. Si suppone che la variabile in esame abbia distribuzione normale.
1. Scrivere qual é la distribuzione della media campionaria .
2. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 90% e calcolarne la realizzazione; .
3. scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 95% e calcolarne la realizzazione.
Esercizio 8
L'altezza di una popolazione puo’ essere considerata una variabile casuale X con distribuzione normale avente deviazione standard nota e uguale a 6. Dalla popolazione viene scelto in modo casuale un campione di numerositá 10 la cui media campionaria risulta 170.
1. Scrivere un intervallo di confidenza per la media di X al livello del 99% e calcolarne la realizzazione;
2. supponendo ora la varianza non nota e stimata con s=6, scrivere un intervallo di confidenza per la media di X al livello del 99% e calcolarne la realizzazione.
Esercizio 9
La durata di una telefonata é modellabile con una variabile casuale normale con distribuzione N(µ,σ2) con parametri entrambi incogniti.
Su un campione di 13 telefonate si ottiene x=12.5 come stima di µ e s2=34.7 come stima di σ2.
a) Scrivere un intervallo di confidenza al livello del 90% e del 99% per la media µ;
b) scrivere le realizzazioni degli intervalli;
Esercizio 10
Due campioni sono estratti da una distribuzione normale N(µ,σ2) con media e varianza non note.
Sul primo campione, di numerositá n=10, si ottiene un intervallo di confidenza per la media (13.4, 18.7).
Anche sul secondo campione, di numerositá m=12, si calcola l'intervallo di confidenza per la media. Si puo’ dire che il secondo intervallo di confidenza é piu’
stretto? Motivare la risposta.
ESERCIZIO 11
Una fabbrica produce cilindri di acciaio il cui diametro, in millimetri, segue una legge normale di media sconosciuta e varianza nota uguale a 0.16 mm. Si estrae un campione di n=12 elementi i cui valori del diametro sono i seguenti :
10.2 10.1 10.1 10.5 10.9 11.0 10.0 10.8 10.7 10.1 10.1 10.3 1) Scrivere uno stimatore non distorto per la media del diametro e calcolarne la
stima.
2) Determinare un intervallo di confidenza per la media a livello 99% e determinarne la realizzazione.
3) Quale numerosita’ n del campione si deve scegliere per avere un intervallo di confidenza di ampiezza minore di 0.1 mm ?
ESERCIZIO 12
Si analizza un campione di n = 22 elementi estratto dalla produzione di cilindri in plastica e si osservano i seguenti valori :
Supponendo che il valore del diametro abbia legge normale N(,2) con entrambi i parametri sconosciuti :
1) Determinare un intervallo di confidenza a livello 90% della media e la sua realizzazione.
2) Determinare un intervallo di confidenza a livello 90% della varianza 2 e la sua realizzazione.
3) Quale livello 1- permette di avere l’ampiezza dell’intervallo di confidenza della media minore di 0.25 mm ?
ESERCIZIO 13
Si analizza un campione di n = 900 elementi estratto dalla produzione di cilindri di plastica e si osservano i seguenti valori :
Supponendo che il valore del diametro abbia legge normale N(,2) :
22
10.01
220.25
x s
2
900
10.0
9000.55
x s
ESERCIZIO 14
Si vuole verificare se una modifica di orario dei treni e' gradita ai passeggeri.
Vengono intervistate 1600 persone e 400 si dichiarano favorevoli al nuovo orario.
Indicando con p la percentuale di persone che sono favorevoli al nuovo orario:
1) Determinare un intervallo di confidenza a livello 95% per p.
2) Determinare un intervallo di confidenza a livello 99% per p.
3) Per quale valore del livello 1- si ha un intervallo di confidenza per p di ampiezza minore di 0.02 ?
ESERCIZIO 15
Si costruisce un intervallo di confidenza a livello 95% per la media di una popolazione con varianza nota attraverso un campione di n=100 elementi e si ottiene l’intervallo [29.618,31.382].
Quali delle seguenti affermazioni sono corrette?
1)
x
100 30.5 4.5
SI NO2)
x
100 30.5 3.5
SI NO3)
x
100 30.5 4.0
SI NO4) non si possono ricavare i valori di
x e
100
dai dati SI NOEsercizio 16
Un istituto demoscopico vuole stimare quante persone hanno intenzione di cambiare l'automobile nei prossimi 12 mesi. A tal fine, interpella un campione di 300 persone. Dire quale variabile aleatoria modella bene la situazione, indicarne il parametro e scrivere uno stimatore non distorto del parametro di interesse.
Esercizio 17
Un istituto di ricerche demoscopiche ha condotto un'indagine per stimare quale percentuale p di italiani e’ favorevole all'abolizione del servizio militare di leva. Su un campione di numerosita’ 400, i favorevoli risultano essere 287.
1. Scrivere un intervallo di confidenza per la percentuale di favorevoli p al livello del 95% e la sua realizzazione.
2. Scrivere un intervallo di confidenza per la percentuale di favorevoli p al livello del 99% e la sua realizzazione.
Esercizio 18
Un ricercatore vuole stimare qual e’ la percentuale di persone che prendono l'influenza: sulla base di un campione di numerosita’ 500, riscontra che 67 hanno preso l'influenza.
1. Scrivere un intervallo di confidenza per la percentuale di ammalati al livello del 90% e la sua realizzazione.
2. Scrivere un intervallo di confidenza per la percentuale di ammalati al livello del 95% e la sua realizzazione.
Esercizio 19
Una azienda pubblicitaria vuole sapere se un nuovo spot e’ risultato gradito al pubblico. In un campione di 60 individui, 46 persone si sono dichiarate favorevolmente colpite dalla nuova pubblicita’.
Scrivere un intervallo di confidenza al livello dell'80% per la percentuale di gradimento
Esercizio 20
Un sondaggio effettuato su 150 persone americane rivela che 65 di queste sono favorevoli all'abolizione della pena di morte.
1. Indicare il tipo di variabile casuale che meglio modella l'opinione di un individuo;
2. scrivere un intervallo di confidenza al livello del 99% per la proporzione p di favorevoli;
3. scrivere la sua realizzazione.
Esercizio 21
Un produttore di lamine di oro vuole stimare la varianza dello spessore delle lamine per giudicare se sono sufficientemente regolari. Esamina 10 lamine e trova una media campionaria dello spessore pari a 1 millimetro e una varianza campionaria pari a 0.01. Si suppone che lo spessore delle lamine abbia distribuzione normale N(,2).
1. Scrivere l'opportuno stimatore della varianza;
2. scrivere un intervallo di confidenza per la varianza al livello del 99% e calcolarne la realizzazione;
3. scrivere un intervallo di confidenza per la varianza al livello del 95% e calcolarne la realizzazione.
Esercizio 22
Il tempo di attesa ad uno sportello di banca puo’ essere considerato una variabile casuale di media e varianza σ2 sconosciute. Da un campionamento effettuato in 100 banche diverse si sono ottenuti i valori campionari della media uguale a 12.4 minuti e s = 2.3 minuti.
1. Definire un intervallo di confidenza al livello del 90% per la media e calcolarne la realizzazione;
2. definire un intervallo di confidenza al livello del 90% per la varianza σ2 e calcolarne la realizzazione.
Esercizio 23
Lo spessore delle tavole di legno prodotte in uno stabilimento e’ modellabile con una variabile casuale normale N(,2) con parametri non noti. Da un campione di n=25 pezzi si ottiene una deviazione standard campionaria s=5.3.
a) Scrivere l'espressione dello stimatore non distorto S2 del parametro s2; b) scrivere la distribuzione di (n 1)2S2
;
c) scrivere un intervallo di confidenza al livello del 95% per σ2 e la sua realizzazione.
Esercizio 24
Un biologo e’ interessato a stimare la temperatura media a cui muore un virus.
Osserva 20 virus e nota che la temperatura di morte ha una media campionaria x di 78.5 gradi e una deviazione standard di 4.2 gradi. Si suppone che la temperatura di morte dei virus abbia distribuzione normale N(,2).
1. Scrivere un intervallo di confidenza unilaterale destro per la media al livello del 95% e calcolarne la realizzazione;
2. Scrivere un intervallo di confidenza unilaterale destro per la media al livello del 99% e calcolarne la realizzazione.
Esercizio 25
Una fabbrica produce pneumatici la cui durata in kilometri puo’ essere modellata con una variabile casuale normale e varianza σ2 entrambe non note. Per stimare i parametri, la fabbrica effettua prove su strada con 100 pneumatici, ottenendo i valori campionari x =34365 e s=349.
1. Scrivere un intervallo di confidenza unilaterale destro per la media al livello del 95% e calcolarne la realizzazione;
2. scrivere un intervallo di confidenza unilaterale sinistro per la varianza al livello del 95% e calcolarne la realizzazione;
3. scrivere un intervallo di confidenza bilaterale per la varianza al livello del 90%
e calcolarne la realizzazione.
Esercizio 26
La temperatura di un locale e’ modellabile con una variabile casuale X con distribuzione normale di media e varianza sconosciute. In un campione di numerosita’
11 si ottiene x = 19.6 come stima della media e si ottiene s = 1.1 come stima della deviazione standard .
1. Definire un intervallo di confidenza al livello del 90% per la media e calcolarne la realizzazione.
2. Definire un intervallo di confidenza unilaterale sinistro al livello del 95% per la varianza e calcolarne la realizzazione.
Esercizio 27
Un medico vuole stimare la diminuzione di temperatura corporea a seguito della somministrazione di un nuovo antipiretico. La diminuzione di temperatura puo’ essere considerata come una variabile casuale normale con parametri non noti. Su un campione di 10 pazienti si osserva una media campionaria x =2.3 gradi e una varianza campionaria pari a 0.4.
1. Scrivere un intervallo di confidenza per la media al livello del 95% e calcolarne la realizzazione;
2. calcolare la larghezza dell'intervallo di confidenza in funzione della numerosita’
campionaria n;
3. sulla base dei risultati ottenuti, determinare la numerosita’ campionaria necessaria per avere un intervallo di confidenza piu’ stretto di 0.2 gradi (si utilizzi l'approssimazione normale).
Esercizio 28
Un istituto di ricerca ha effettuato un primo sondaggio per stimare quanti francesi cambieranno l'automobile nei prossimi 12 mesi. Da questo sondaggio, effettuato su 150 persone, e’ risultato che 22 intendono acquistare un'automobile nuova nei prossimi 12 mesi.
1. Scrivere un intervallo di confidenza al livello del 95% per la proporzione di coloro che intendono acquistare un'auto nuova e calcolarne la realizzazione;
2. sulla base dei risultati del primo sondaggio, qual e’ il numero m di persone che bisognera’ intervistare affinche’ l'intervallo di confidenza risulti piu’ stretto di 0.01?
