Testi degli esami dell'anno accademico 2009/10

A

Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 14 gennaio 2010 Esercizio 1.

1) Definizione di primitiva e caratterizzazione.

2) Determinare le primitive di f (x) = e^2x

e^2x+ 1 utilizzando la sostituzione e^2x = t.

Risultato:

1

2log(e^2x+ 1) + k Esercizio 2.

1) Enunciare e dimostrare la formula fondamentale del calcolo integrale.

2) Calcolare l’area della parte di piano racchiusa dalle curve y = x² , y = x³ e x = 2, nel primo quadrante.

Risultato:

3 2

Esercizio 3.

Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = x²

2 − x − xy + y³ 3 + y.

Risultato:

A(1, 0) P.to di sella A(2, 1) P.to di minimo

B

Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 14 gennaio 2010 Esercizio 1.

1) Definizione di primitiva e caratterizzazione.

2) Determinare le primitive di f (x) = e^5x

e^5x+ 1 utilizzando la sostituzione e^5x = t.

Risultato:

1

5log(e^5x+ 1) + k Esercizio 2.

1) Enunciare e dimostrare la formula fondamentale del calcolo integrale.

2) Calcolare l’area della parte di piano racchiusa dalle curve y = x² , y = x⁴ e x = 2, nel primo quadrante.

Risultato:

4

Esercizio 3.

Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = x³

3 − x − xy + y² 2 + y.

A(0, −1) P.to di sella A(1, 0) P.to di minimo

A

Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 15 gennaio 2010 Esercizio 1.

1) Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.

2) CalcolareR x² sin x dx.

Risultato:

−x²cosx+ 2xsinx + 2cosx + k

Esercizio 2.

Calcolare Z Z

T

x²y dx dy dove T `e il triangolo di vertici O = (0, 0), A(−2, 0), B(−1, 1).

Risultato:

11 30

Esercizio 3.

1) Definire e caratterizzare i punti critici di una funzione f (x, y).

2) Determinare e disegnare il dominio della funzione f (x, y) =px²+ y²− 4.

3) Calcolarne il gradiente. di piano (limitata) del primo quadrante contenuta tra y = e^x e la retta x= 1.

Risultato:

f^′x= ^2x

2√

x²+y²−4

f^′y= ^2y

2√

x²+y²−4

B

Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 15 gennaio 2010 Esercizio 1.

1) Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.

2) CalcolareR x² cos x dx.

Risultato:

11 30

Esercizio 2.

Calcolare

Z Z

T

x²y dx dy dove T `e il triangolo di vertici O = (0, 0), A(2, 0), B(1, 1).

Esercizio 3.

1) Definire e caratterizzare i punti critici di una funzione f (x, y).

2) Determinare e disegnare il dominio della funzione f (x, y) =p9 − x²− y². 3) Calcolarne il gradiente.

Risultato:

f^′x= ^−2x

2√

9−x²−y²

f^′y= ^−2y

2√

9−x²−y²

A

Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 1 febbraio 2010 Esercizio 1.

(a) Calcolare il seguente integrale R ₁

x²sin

1 x



dx, mediante la sostituzione _x¹ = t.

(b) Dire, giustificando la risposta, se l’integrale Z +∞

1

1

x²sin1 x

 dx converge.

Risultato:

cos(_x¹) + k

Esercizio 2.

(a) Illustrare le propriet`a elementari dell’integrale doppio.

(b) Calcolare l’area del dominio D = {(x, y) ∈ R²: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4, y ≥ 3 x}.

Risultato:

4 − 3log3

Esercizio 3.

Studiare la natura dei punti critici della funzione

f(x, y) = ax²+ by²+ ax + by al variare delle costanti a, b in R \ {0}.

Risultato:

Se a >0, b > 0 P.to di minimo

Se (a > 0, b < 0); (a < 0, b > 0) P.to di sella Se a <0, b < 0 P.to di massimo

B

Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 1 febbraio 2010 Esercizio 1.

(a) Calcolare il seguente integrale R ₁

x²cos

1 x



dx, mediante la sostituzione ¹_x = t.

(b) Dire, giustificando la risposta, se l’integrale Z +∞

1

1

x²cos1 x

 dx converge.

Risultato:

−sinx(¹x) + k

Esercizio 2.

(a) Illustrare le propriet`a elementari dell’integrale doppio.

(b) Calcolare l’area del dominio D = {(x, y) ∈ R²: x ≥ 0, y ≤ 0, y − x ≥ −4, y ≤ −3 x}.

Risultato:

4 − 3log3

Esercizio 3.

Studiare la natura dei punti critici della funzione

f(x, y) = bx²+ ay²+ bx + ay al variare delle costanti a, b in R \ {0}.

Risultato:

Se a >0, b > 0 P.to di minimo

Se (a > 0, b < 0); (a < 0, b > 0) P.to di sella Se a <0, b < 0 P.to di massimo

A

Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 30 marzo 2010 Esercizio 1.

(a) Determinare la primitiva della funzione f (x) = log x

x² che si annulla per x = 1.

(b) Dire, giustificando la risposta, se esiste una primitiva di f (x) che si annulla per x = 0.

Risultato:

−¹xlogx− ¹x + 1

Esercizio 2.

(a) Enunciare il Teorema della Media per gli integrali doppi.

(b) Calcolare

Z Z

D

x²y dx dy dove D = {(x, y) ∈ R²: −1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2x}.

Risultato:

−15⁸

Esercizio 3.

a) Cosa `e la matrice Hessina e quale `e il suo ruolo nello studio dei punti critici di una funzione di due variabili ?

b) Determinare i punti di massimo e di minimo della funzione f(x, y) = x³− y³− 12x + 27y.

Risultato:

A(2, 3) P.to di sella A(2, −3) P.to di minimo A(−2, 3) P.to di massimo A(−2, −3) P.to di sella B

Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 30 marzo 2010 Esercizio 1.

(a) Determinare la primitiva della funzione f (x) = log x

x³ che si annulla per x = 1.

(b) Dire, giustificando la risposta, se esiste una primitiva di f (x) che si annulla per x = 0.

Risultato:

−2x¹²logx− 4x¹² +¹₄

Esercizio 2.

(a) Enunciare il Teorema della Media per gli integrali doppi.

(b) Calcolare

Z Z

D

xy²dx dy dove D = {(x, y) ∈ R²: −1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ −2x}.

Risultato:

−15⁸

Esercizio 3.

a) Cosa `e la matrice Hessina e quale `e il suo ruolo nello studio dei punti critici di una funzione di due variabili ?

b) Determinare i punti di massimo e di minimo della funzione f(x, y) = −x³+ y³+ 12x − 27y.

Risultato:

A(2, 3) P.to di sella A(2, −3) P.to di massimo A(−2, 3) P.to di minimo A(−2, −3) P.to di sella A

Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 16 giugno 2010 Esercizio 1.

(a) Qual `e la relazione tra i concetti di area e di integrale definito?

(b) Calcolare l’area della regione piana definita da D=n

1 ≤ x ≤ 2, −1

x ≤ y ≤ 1 x

o . Risultato:

2log2 Esercizio 2.

(a) Presentare le propriet`a elementari dell’integrale doppio.

(b) Determinare le coordinate del baricentro del triangolo di vertici A(0, 0), B(0, 2), C(1, 1).

Risultato:

(¹₃,1) Esercizio 3.

(a) Definire il punto di sella di una funzione z = f (x, y).

(b) Determinare il gradiente della funzione

f(x, y) = exp(x²+ y²) e studiare i suoi punti critici.

Risultato:

A(0, 0) P.to di minimo A

Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 6 luglio 2010 Esercizio 1.

(a) Teorema di caratterizzazione delle funzioni primitive.

(b) Calcolare, per parti, Z

x²log²x dx.

Risultato:

1

3x³log²x−²9x³logx+₂₇²x³+ k Esercizio 2.

(a) Formule di riduzione degli integrali doppi.

(b) Calcolare l’integrale doppio

Z Z

D(1 − x) dx dy,

dove D `e la figura piana delimitata dalla parabola y = −x²+ 2 e la retta y = x.

Risultato:

27 4

Esercizio 3.

(a) Determinare e disegnare il dominio della funzione di due variabili f(x, y) = log(4 − x²− y²)

(b) Calcolarne il gradiente.

Risultato:

f^′x= _4−x^−2x2−y²

f^′y= _4−x^−2y2−y²

A

Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 3 settembre 2010 Esercizio 1.

(a) Il Teorema fondamentale del calcolo integrale e la formula fondamentale del calcolo integrale.

(b) Calcolare Z 1

−2

√ 1

3 − xdx.

Risultato:

−2(2¹² − 5¹²) Esercizio 2.

(a) Illustrare brevemente i metodi di calcolo di Z

f(x) dx.

(b) Calcolare

Z

cos x sin(sin x) dx utilizzando la sostituzione y = sin x.

Risultato:

−cos(sinx) + k Esercizio 3.

(a) Definire le curve di livello di una funzione f (x, y).

(b) Data la funzione f (x, y) = x²+ y²− 1, trovare e disegnare alcune sue curve di livello.

(c) Trovarne i punti critici e discuterne la natura.

Risultato:

A(0, 0) P.to di minimo A

Politecnico di Torino – II Facolt`a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 26 ottobre 2010 Esercizio 1.

(a) Dare la definizione di Z b

a

f(x) dx;

(b) calcolare l’area della parte di piano compresa tra i grafici delle funzioni f (x) = x²e g(x) =√ x.

Risultato:

7 6

Esercizio 2.

(a) Calcolare Z

log(x²+ 1) 2x dx mediante la sostituzione y = x²+ 1;

(b) verificare il risultato ottenuto.

Risultato:

(x²+ 1)log(x²+ 1) − (x²+ 1) Esercizio 3.

(a) Calcolare Z Z

D

1 dx dy, dove D `e il dominio racchiuso dai grafici delle funzioni f(x) =√

xe g(x) = 1, e dall’asse delle y;

(b) enunciare le formule di riduzione degli integrali doppi.

Risultato:

3 2