Testi degli esami dell'anno accademico 2007/08

(1)

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II

15 Gennaio 2008

Teoria: Scrivere l’espressione della lunghezza dell’arco di curva grafico della funzione f (x) = p

x ² + e ^3x dal punto di ascissa x = −2 al punto di ascissa x = 10.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x ² − 2x e y =

−x ² + x.

Risultato:

9 8

Esercizio 2. Verificare se la funzione f (x, y) = log(xy) − x ² y ammette punti critici.

Risultato:

6 ∃soluzioni

Esercizio 3.

a) Calcolare sul rettangolo D = [0, ^π ₂ ] × [0, ^π ₂ ] l’integrale doppio Z Z

D

x sin x cos y dx dy . Risultato:

3 15 gennaio 2008

Teoria: Scrivere l’espressione della lunghezza dell’arco di curva grafico della funzione f (x) = p

x ² + e ^3x dal punto di ascissa x = −5 al punto di ascissa x = 0.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x ² − 3x e y =

−x ² + 2x.

Risultato:

125 24

Esercizio 2. Verificare se la funzione f (x, y) = log(xy) − x

y ammette punti critici.

Risultato:

6 ∃soluzioni

Esercizio 3.

a) Calcolare sul rettangolo D = [0, ^π ₂ ] × [0, ^π ₂ ] l’integrale doppio Z Z

D

x cos x sin y dx dy .

Risultato:

(2)

π 2 − 1

18 gennaio 2008

Teoria: Definizione di gradiente e di derivata direzionale per una funzione reale di due variabili reali f (x, y).

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = −x ² + 4, y =

−x ² + 16 e y = 0. Risultato:

112 3

Esercizio 2. Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = (y ² − 1) log(x − 1).

Risultato:

A(2, 1); B(2, −1) P.ti di sella Esercizio 3.

Calcolare sul rettangolo D = [0, 1] × [0, ^π ₂ ] l’integrale doppio Z Z

D

x sin y cos y dx dy . Risultato:

1 4

18 gennaio 2008

Teoria: Definizione di gradiente e di derivata direzionale per una funzione reale di due variabili reali f (x, y).

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x ² − 9, y = x ² − 1 e y = 0.

Risultato:

104 3

Esercizio 2. Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = (x ² − 4) log(y + 1).

Risultato:

A(2, 0); B(−2, 0) P.ti di sella Esercizio 3.

Calcolare sul rettangolo D = [0, ^π ₂ ] × [0, 1] l’integrale doppio Z Z

D

y sin x cos x dx dy .

Risultato:

1

4

(3)

1 febbraio 2008 Teoria: Calcolo degli integrali doppi in coordinate polari.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x ³ e y = √ x.

Risultato:

5 12

Esercizio 2. Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = (x ² + y)e ^2x+y . Risultato:

A(1, −2) P.ti di minimo Esercizio 3.

Calcolare, mediante la sostituzione y = √ x − 2,

Z log √

x − 2 dx.

Risultato:

(x − 2)log √

x − 2 − ¹ ₂ (x − 2) + k

1 febbraio 2008 Teoria: Calcolo degli integrali doppi in coordinate polari.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x ² e y = √

⁴

x.

Risultato:

7 15

Esercizio 2. Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = (x + y ² )e ^x+2y . Risultato:

A(−2, 1) P.to di minimo Esercizio 3.

Calcolare, mediante la sostituzione y = √ x + 3,

Z e

√ x+3 dx.

Risultato:

2e

√ x+3 ( √

x + 3 − 1) + k

17 marzo 2008

Teoria: Dare la definizione di integrale improprio di una funzione f (x) su un intervallo del tipo [a, +∞).

Applicare poi la definizione nel casof (x) = 1

x ² su [1, +∞).

Esercizio 1. Calcolare la media integrale di f (x) = sin |x| nell’intervallo [− ^π ₂ , ^π ₂ ].

(4)

Risultato:

2 π

Esercizio 2. Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = 2x ² + 2xy + 3y ² + y ³ . Risultato:

A(0, 0) P.to di minimo A( ⁵ ₆ , ⁻⁵ ₃ ) P.to di sella Esercizio 3.

Calcolare per parti: R log ² x dx. Risultato:

xlog ² x − 2xlogx + 2x

18 giugno 2008 Teoria: Teorema fondamentale del calcolo integrale.

Esercizio 1. Calcolare l’area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni y = x, x = 1, x = e, y = log x.

Risultato:

3 2

Esercizio 2. Trovare e classificare i punti critici della funzione f (x, y) = e ^(x

²

^+y

²

⁾ . Risultato:

A(0, 0) P.to di minimo Esercizio 3.

Calcolare, utilizzando la sostituzione y = 1 + e ^x , l’integrale indefinito:

Z

e ^x−2 √

1 + e ^x dx.

Risultato:

2 3e

²

(1 + e ^x )

³²

+ k

8 Luglio 2008 Teoria: Elencare le propriet` a degli integrali definiti.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = − log x, y = (1 − x)(x − e), x = 1 e x = e.

Risultato:

(5)

−1

3 e ³ + ¹ ₂ (1 + e)e ² − e ² + ⁵ ₆ + ^e ₂ Esercizio 2. Calcolare l’integrale doppio

Z Z

D

x dxdy,

dove D ` e la porzione di piano contenuta tra y = sin x e l’asse x per x ∈ [0, π]. Risultato:

π Esercizio 3.

Calcolare, mediante la sostituzione y = log ² x, l’integrale indefinito Z log ³ x

x dx.

Risultato:

1 4 log ⁴ x + k

9 Settembre 2008

Teoria: Definizione di primitiva di una funzione f (x) e teorema di caratterizzazione delle primitive.

Esercizio 1. Calcolare l’integrale indefinito

Z x ² + 3 1 + x ² dx.

Risultato:

x + 2atanx + k

Esercizio 2. Mostrare che il punto P = (0, 0) ` e critico per la funzione f (x, y) = x ² + y ² + cxy

per ogni valore del parametro c ∈ R e classificarne il tipo al variare di c. Risultato:

Se c < −2 : P.to di sella

Se − 2 < c < 2 : P.to di minimo Se c > 2 : P.to di sella

Esercizio 3.

Calcolare l’area della regione di piano compresa tra i grafici delle funzioni f (x) = e ^x e g(x) = log x, e tra x = 1 e x = e. Risultato:

e ^e − e − 1

Testi degli esami dell'anno accademico 2007/08

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II

15 Gennaio 2008

Teoria: Scrivere l’espressione della lunghezza dell’arco di curva grafico della funzione f (x) = p

x 2 + e 3x dal punto di ascissa x = −2 al punto di ascissa x = 10.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x 2 − 2x e y =

−x 2 + x.

Risultato:

9 8

Esercizio 2. Verificare se la funzione f (x, y) = log(xy) − x 2 y ammette punti critici.

Risultato:

6 ∃soluzioni

Esercizio 3.

a) Calcolare sul rettangolo D = [0, π 2 ] × [0, π 2 ] l’integrale doppio Z Z

D

x sin x cos y dx dy . Risultato:

3

15 gennaio 2008

Teoria: Scrivere l’espressione della lunghezza dell’arco di curva grafico della funzione f (x) = p

x 2 + e 3x dal punto di ascissa x = −5 al punto di ascissa x = 0.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x 2 − 3x e y =

−x 2 + 2x.

Risultato:

125 24

Esercizio 2. Verificare se la funzione f (x, y) = log(xy) − x

y ammette punti critici.

Risultato:

6 ∃soluzioni

Esercizio 3.

a) Calcolare sul rettangolo D = [0, π 2 ] × [0, π 2 ] l’integrale doppio Z Z

D

x cos x sin y dx dy .

Risultato:

π 2 − 1

18 gennaio 2008

Teoria: Definizione di gradiente e di derivata direzionale per una funzione reale di due variabili reali f (x, y).

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = −x 2 + 4, y =

−x 2 + 16 e y = 0. Risultato:

112 3

Esercizio 2. Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = (y 2 − 1) log(x − 1).

Risultato:

A(2, 1); B(2, −1) P.ti di sella Esercizio 3.

Calcolare sul rettangolo D = [0, 1] × [0, π 2 ] l’integrale doppio Z Z

D

x sin y cos y dx dy . Risultato:

1 4

18 gennaio 2008

Teoria: Definizione di gradiente e di derivata direzionale per una funzione reale di due variabili reali f (x, y).

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x 2 − 9, y = x 2 − 1 e y = 0.

Risultato:

104 3

Esercizio 2. Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = (x 2 − 4) log(y + 1).

Risultato:

A(2, 0); B(−2, 0) P.ti di sella Esercizio 3.

Calcolare sul rettangolo D = [0, π 2 ] × [0, 1] l’integrale doppio Z Z

D

y sin x cos x dx dy .

Risultato:

1

4

1 febbraio 2008 Teoria: Calcolo degli integrali doppi in coordinate polari.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x 3 e y = √ x.

Risultato:

5 12

Esercizio 2. Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = (x 2 + y)e 2x+y . Risultato:

A(1, −2) P.ti di minimo Esercizio 3.

Calcolare, mediante la sostituzione y = √ x − 2,

Z log √

x − 2 dx.

Risultato:

(x − 2)log √

x − 2 − 1 2 (x − 2) + k

1 febbraio 2008 Teoria: Calcolo degli integrali doppi in coordinate polari.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x 2 e y = √

x.

Risultato:

7 15

Esercizio 2. Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = (x + y 2 )e x+2y . Risultato:

A(−2, 1) P.to di minimo Esercizio 3.

Calcolare, mediante la sostituzione y = √ x + 3,

x ² + e ^3x dal punto di ascissa x = −2 al punto di ascissa x = 10.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x ² − 2x e y =

−x ² + x.

Esercizio 2. Verificare se la funzione f (x, y) = log(xy) − x ² y ammette punti critici.

a) Calcolare sul rettangolo D = [0, ^π ₂ ] × [0, ^π ₂ ] l’integrale doppio Z Z

x ² + e ^3x dal punto di ascissa x = −5 al punto di ascissa x = 0.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x ² − 3x e y =

−x ² + 2x.

a) Calcolare sul rettangolo D = [0, ^π ₂ ] × [0, ^π ₂ ] l’integrale doppio Z Z

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = −x ² + 4, y =

−x ² + 16 e y = 0. Risultato:

Esercizio 2. Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = (y ² − 1) log(x − 1).

Calcolare sul rettangolo D = [0, 1] × [0, ^π ₂ ] l’integrale doppio Z Z

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x ² − 9, y = x ² − 1 e y = 0.

Esercizio 2. Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = (x ² − 4) log(y + 1).

Calcolare sul rettangolo D = [0, ^π ₂ ] × [0, 1] l’integrale doppio Z Z

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x ³ e y = √ x.

Esercizio 2. Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = (x ² + y)e ^2x+y . Risultato:

x − 2 − ¹ ₂ (x − 2) + k

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalle curve y = x ² e y = √

Esercizio 2. Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = (x + y ² )e ^x+2y . Risultato:

x ² su [1, +∞).

Esercizio 1. Calcolare la media integrale di f (x) = sin |x| nell’intervallo [− ^π ₂ , ^π ₂ ].

Esercizio 2. Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = 2x ² + 2xy + 3y ² + y ³ . Risultato:

A(0, 0) P.to di minimo A( ⁵ ₆ , ⁻⁵ ₃ ) P.to di sella Esercizio 3.

Calcolare per parti: R log ² x dx. Risultato:

xlog ² x − 2xlogx + 2x

Esercizio 2. Trovare e classificare i punti critici della funzione f (x, y) = e ^(x

^+y

⁾ . Risultato:

Calcolare, utilizzando la sostituzione y = 1 + e ^x , l’integrale indefinito:

e ^x−2 √

1 + e ^x dx.

(1 + e ^x )

3 e ³ + ¹ ₂ (1 + e)e ² − e ² + ⁵ ₆ + ^e ₂ Esercizio 2. Calcolare l’integrale doppio

Calcolare, mediante la sostituzione y = log ² x, l’integrale indefinito Z log ³ x

4 log ⁴ x + k

Z x ² + 3 1 + x ² dx.

Esercizio 2. Mostrare che il punto P = (0, 0) ` e critico per la funzione f (x, y) = x ² + y ² + cxy

Calcolare l’area della regione di piano compresa tra i grafici delle funzioni f (x) = e ^x e g(x) = log x, e tra x = 1 e x = e. Risultato:

e ^e − e − 1