Testi degli esami dell'anno accademico 2008/09

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 13 gennaio 2009 Teoria: Enunciare ed illustrare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.

Esercizio 1. Calcolare l’area della regione piana delimitata dalle curve y = −x+2 e y = −x+2x ² . Risultato:

8 3

Esercizio 2. Calcolare

Z log(3 √ x)

√ x dx operando la sostituzione √ x = t.

Risultato:

2 √

xlog(3 √

x ) − 2 √ x + k Esercizio 3.

1) Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = xy + x ² + y ² + 1.

2) Determinare e disegnare il dominio della funzione f (x, y) = p

x ³ − y.

Dire, giustificando la risposta, se la funzione ha punti critici.

Risultato:

a)A(0, 0) P.to di minimo b)Non ha punti critici B

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 13 gennaio 2009 Teoria: Enunciare ed illustrare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.

Esercizio 1. Calcolare l’area della regione piana delimitata dalle curve y = x − 2 e y = −2x + x ² .

1 6

Esercizio 2. Calcolare

Z log(5 √

√ x x) dx

operando la sostituzione √ x = t.

Risultato:

2 √

xlog(5 √

x ) − 2 √

x + k

Esercizio 3.

1) Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = xy − 3x ² − 3y ² + 5.

2) Determinare e disegnare il dominio della funzione f (x, y) = p

y − x ² . Dire, giustificando la risposta, se la funzione ha punti critici.

a)A(0, 0) P.to di massimo

b)Non ha punti critici

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 16 gennaio 2009 Teoria: Integrale indefinito di una funzione f (x): definizione e propriet` a.

Esercizio 1. Determinare tutte le primitive della funzione f (x) = x ³ e ^x

, utilizzando la sostituzione x ² = t.

Risultato:

1

2 x ² e ^x

− ¹ 2 e ^x

+ k Esercizio 2. Calcolare l’area della regione

A = {(x, y) : 1 − x ² ≤ y ≤ 1 − 1

4 x ² , x ≤ 0, y ≥ 0}

Risultato:

2 3

Esercizio 3.

Calcolare l’integrale doppio

Z Z

D

y

e ^x dx dy

dove D `e la porzione di piano (limitata) del primo quadrante contenuta tra y = e ^x e la retta x = 1.

Risultato:

1 2 e − ¹ 2

B

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 16 gennaio 2009 Teoria: Integrale indefinito di una funzione f (x): definizione e propriet` a.

Esercizio 1. Determinare tutte le primitive della funzione f (x) = x ⁵ e ^x

, utilizzando la sostituzione x ³ = t.

Risultato:

1

3 e ^x

(x ³ − 1) + k

Esercizio 2. Calcolare l’area della regione

A = {(x, y) : 1 − x ² ≤ y ≤ 1 − 1

4 x ² , x ≥ 0, y ≥ 0}

Risultato:

2

3

Esercizio 3.

Calcolare l’integrale doppio

Z Z

D

y

e ^x dx dy

dove D `e la porzione di piano (limitata) del terzo quadrante contenuta tra y = −e ^x e la retta x = −1.

Risultato:

1

2 − ¹ 2 e ⁻ 1

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 3 febbraio 2009 Teoria: Definizione di media integrale di una funzione f (x) e relativo teorema.

Esercizio 1.

1) Calcolare R cos x sin(sin x) dx, utilizzando la sostituzione sin x = t;

2) determinare la primitiva F (x) di f (x) = cos x sin(sin x), tale che F (0) = 0.

Risultato:

a)−cos(sinx) + k b)−cos(sinx) + 1 Esercizio 2.

1) Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = x ³ + 1

2 x ² y ² + 1 2 y ² − 1

2 x ² .

2) Scrivere l’equazione del piano tangente alla superficie grafico di f (x, y) nel punto P (1, 0, ¹ ₂ ).

Risultato:

A(0, 0) P.to di sella A( ¹ ₃ , 0) P.to di minimo Esercizio 3.

Calcolare l’integrale doppio

Z Z

D

(1 + x + 2y) dx dy, dove D = {(x, y) ∈ R ² : x ≥ 0, y ≥ 0, y ≤ 1 − x}.

Risultato:

1 B

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 3 febbraio 2009 Teoria: Definizione di media integrale di una funzione f (x) e relativo teorema.

Esercizio 1.

1) Calcolare R sin x cos(cos x) dx, utilizzando la sostituzione cos x = t;

2) determinare la primitiva F (x) di f (x) = sin x cos(cos x), tale che F ( ^π ₂ ) = 1.

Risultato:

a)−sin(cosx) + k b)−sin(cosx) + 1 Esercizio 2.

1) Determinare la natura dei punti critici della funzione f (x, y) = −x ³ − 1

2 x ² y ² − 1 2 y ² + 1

2 x ² .

2) Scrivere l’equazione del piano tangente alla superficie grafico di f (x, y) nel punto P (1, 0, − ¹ 2 ).

Risultato:

A(0, 0) P.to di sella A( ¹ ₃ , 0) P.to di massimo Esercizio 3.

Calcolare l’integrale doppio

Z Z

D

(1 + x + 2y) dx dy, dove D = {(x, y) ∈ R ² : x ≥ 0, y ≤ 0, y ≥ x − 1}.

Risultato:

1

3

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 17 aprile 2009 Teoria: Metodi di calcolo degli integrali doppi

Esercizio 1.

a) Determinare le primitive della funzione

f (x) = x ² e ^−2x . b) Verificare il risultato ottenuto.

Risultato:

− ¹ 2 x ² e ^−2x − ¹ 2 xe ^−2x − ¹ 4 e ^−2x + k Esercizio 2. Calcolare l’area dell’insieme

A = {(x, y) : x ³ ≤ y ≤ 2 − x ³ , x ≥ 0}

Risultato:

3 2

Esercizio 3. Calcolare il seguente integrale doppio Z Z

D

y x dx dy

dove il dominio D definito da D = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x}

Risultato:

3 4

B

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 17 aprile 2009 Teoria: Metodi di calcolo degli integrali doppi.

Esercizio 1.

a) Determinare le primitive della funzione

f (x) = x ² sin 2x.

b) Verificare il risultato ottenuto.

Risultato:

1

2 xsin(2x) + ¹ ₄ cos(2x) + k

Esercizio 2. Calcolare l’area dell’insieme

A = {(x, y) : x ³ − 2 ≤ y ≤ −x ³ , x ≥ 0}

Risultato:

3 2

Esercizio 3.Calcolare il seguente integrale doppio Z Z

D

y x dx dy

dove il dominio D definito da D = {(x, y) : −2 ≤ x ≤ −1, −x ≤ y ≤ 0}

Risultato:

− ³ 2

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 12 giugno 2009 Teoria: Teorema di caratterizzazione delle primitive di una funzione f (x).

Esercizio 1.

Data la funzione f (x) = log(log x)

x ,

1) calcolare Z

f (x) dx, con la sostituzione y = log x;

2) verificare il risultato ottenuto;

3) calcolare la media di f (x) in [e, e ² ].

Risultato:

a)logxlog(logx) − logx + k c)2log2 − 2

Esercizio 2.

Date le funzioni f (x) = e ^x−1 − 1 e g(x) = − log x, 1) tracciare il grafico di f (x);

2) tracciare il grafico di g(x);

3) determinare l’area della regione di piano individuata dalle curve y = e ^x−1 − 1, y = − log x, x = 2.

Risultato:

e − 1 + 2log2

Esercizio 3. Calcolare Z Z

D

e ^2x+y dxdy essendo D il dominio individuato dalle curve

y = x, y = 2 − x, y = 0.

Risultato:

1

3 e ³ − ¹ 2 e ² − ¹ 3 + ¹ ₂ A

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura

Esame di Istituzioni di Matematiche II – 3 luglio 2009

Teoria: Definizione e significato della derivata direzionale.

Esercizio 1.

Data la funzione f (x) = √

x log x,

a) determinarne la primitiva che si annulla per x = 1;

b) discutere la convergenza dell’integrale Z

f (x) dx, per a = 0, b = 1 e per a = 1, b = +∞.

Risultato:

a) ² ₃ x √ xlogx − ⁴ 9 x √ x + ⁴ ₉ b)Diverge

Esercizio 2. Calcolare il baricentro dell’insieme

A = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, x ² ≤ y ≤ 1}.

Risultato:

(0, ³ ₅ )

Esercizio 3. Studiare i punti critici della funzione

f (x) = x ³ + y ³ − 3x − 3y, determinandone la natura.

Risultato:

A(1, 1) P.to di minimo A (−1, −1) P.to di massimo A (−1, 1) P.to di sella A (1, −1) P.to di sella A

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II – 10 Settembre 2009 Teoria: Massimi e minimi di una funzione reale di due variabili reali.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata da y = sin x, y = 1, x = π e x = − π

2 . Risultato:

3π 2 − 1 Esercizio 2. Data la funzione

f(x) = 2 sin x cos x − cos x

sin ² x ,

Risultato:

2log|sinx| + _sinx ¹ + k Esercizio 3. a) Verificare se la funzione

f (x, y) = x ² − xy + y ³ + 2y ha punti critici.

b) Calcolare l’integrale doppio

Z Z

D

f (x, y) dx dy, dove D = [0, 2] × [0, 1].

Risultato:

a) Non esistono punti critici

b) ²⁵ ₆