2.1. Introduzione Introduzione 2. Turbopompe Turbopompe Turbopompe Turbopompe

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(1)Turbopompe. 2. Turbopompe 2.1. Introduzione Le turbopompe sono dei dispositivi in grado di interagire con i liquidi con i quali sono a contatto. L’interazione consiste in uno scambio di energia tra ra la turbopompa ed il liquido. liquido Questo scambio di energia avviene meccanicamente, grazie al moto relativo del fluido rispetto alla turbopompa ed alla pa particolare forma di quest’ultima che monta su di un albero rotante delle palette di opportuna pportuna geometria geometria. Il liquido, nel passaggio attraverso questo dispositivo, subisce una variazione di entalpia totale, quantificabile in termini di variazione di pressione e di velocità. Nel campo missilistico le turbopompe sono impiegate nei razzi al alimen imentati da propellente liquido,, per trasferire il propellente dai serbatoi alla camera di combustione, combustione innalzandone la pressione.. Per capire meglio il ruolo giocato dalle turbomacchine di seguito si riportano, riportano nella Figura 2-1,, due possibili schemi di funzionamento di razzi a propellente liquido e, dopo, le classiche formule per ottenere rispettivamente la spinta, la portata e la velocità di scarico di un razzo: a. b. Figura 2-1: Schemi di possibili configurazioni per un razzo a propellente liquido. A sinistra il caso a senza l'impiego di turbopompe a confronto con il caso b,, a destra, con l'impiego di turbopompe. (Peterson [2]). ·

(2) · . 2. 1 15.

(3) Caratterizzazione sperimentale di induttori cavitanti e del sistema di misura delle forze rotodinamiche. · . . 2 · ·· 1 · · . . 2 · · . · · "1 . 1 !. 2. 2 2. 3. #. dove: • è la pressione dei prodotti di combustione nella sezione di scarico del razzo; •

(4) è la pressione dell’ambiente nel quale confluiscono i prodotti di combustione del razzo; • è la pressione nella camera di combustione del razzo; • è la sezione di scarico dell’ugello del razzo; • è la sezione di gola del razzo; • è la temperatura nella camera di combustione; • è la costante universale dei gas perfetti; • ! è la massa molare del gas ottenuto dalla combustione del propellente e dell’ossidante; • è il rapporto tra i calori specifici a pressione e volume costanti per il gas di scarico.. Si può notare dalle formule l’importante ruolo giocato dalla pressione che, in un endoreattore a propellente liquido, è legata alla pressione raggiunta dal liquido prima dell’ingresso in camera di combustione. Un aumento della pressione comporta un aumento della portata di massa che il propulsore espelle ed, inoltre, un aumento della velocità di scarico; questo, come è possibile vedere dalla formula 2.1, provoca un aumento della spinta che il motore è in grado di generare. Nel caso della Figura a l’unico modo per innalzare la pressione in ingresso alla camera di combustione è quella di aumentare la pressione del propellente contenuti nei relativi serbatoi, con conseguente aumento dello spessore di questi e, dunque, un aumento del peso dell’intero razzo. Per cercare di mantenere basse le pressioni all’interno dei serbatoi, limitandone il peso, si ricorre all’impiego delle turbopompe (caso b) che, operando sul liquido, provocano un consistente aumento della pressione. Con l’utilizzo delle pompe è, dunque, possibile incrementare drasticamente le prestazioni, rispetto al caso senza, in quanto non è necessario immagazzinare il propellente con elevate pressioni, essendo queste generate dalla turbopompa; tuttavia non è possibile ridurre troppo la pressione all’interno dei serbatoi, in quanto questo può influenzare l’intensità della possibile cavitazione che si sviluppa attorno alla turbopompa.. 2.1. Geometria delle turbopompe Come già detto, la geometria di una turbomacchina riveste un ruolo molto importante. Nella successiva Figura si vede la classica schematizzazione di una turbomacchina.. 16.

(5) Capitolo 2. Figura 2-1: Schematizzazione generale di una turbomacchina (Brennen [1]).. Le turbomacchine sono costituite da una parte rotorica, di cui fanno parte il mozzo e le pale ad esso collegate (entrambi possono avere le più svariate geometrie), che ruota all’interno di un involucro fisso (casing). La distanza tra l’apice delle palette (blade tip) ed il casing prende il nome di clearance e, come sarà evidenziato, risulta un parametro geometrico di grossa importanza nelle prestazioni delle turbomacchine, in quanto la sua presenza, inevitabile (onde evitare possibili contatti tra rotore e casing), permette al fluido che viene pompato dal lato aspirazione (inflow) a quello di mandata (discharge) di poter tornare indietro. Quindi per quanto possibile bisogna cercare di limitare quanto più il valore della clearance; tuttavia non è possibile ridurre di troppo il suo valore; infatti un eventuale contatto tra parte rotorica e statorica (casing), a seguito del calore sviluppato per la frizione generata, potrebbe portare ad una reazione tra il propellente ed il metallo circostante, con conseguente possibilità di esplosione del razzo. Nella Figura 2-1 sono indicate con % e con % le distanze radiali dell’apice della paletta nelle sezioni di ingresso (1) e di uscita (2), e con & e & i corrispettivi valori delle radici della paletta (hub o mozzo). Con ' e ' sono, invece, indicate le altezze delle palette in ingresso ed in uscita dalla turbomacchina. Per quanto riguarda la velocità ( del flusso all’interno della turbomacchina, le componenti assiali, radiali e circonferenziali sono indicate, rispettivamente, () , (* e (+ . L’angolo di inclinazione del flusso allo scarico rispetto all’asse di rotazione è ,, come indicato nelle Figura 2-1, e per essa vale , ovviamente: -./ , . (* (). Se ,= 90° si hanno le turbomacchine centrifughe.. Figura 2-2: Esempio di turbomacchina centrifuga (Hill-Peterson [2]).. Se ,= 0° si hanno le turbomacchine assiali.. 17. 2. 4.

(6) Caratterizzazione sperimentale di induttori cavitanti e del sistema di misura delle forze rotodinamiche. Figura 2-3:Esempio di turbomacchina assiale.. Se 0°<,<90° allora si ha una turbomacchina a flusso misto.. Figura 2-4: Esempio di macchina a flusso misto .. Effettuando un taglio della palettatura rotorica come in Figura 2-5, con una linea meridiana, e sviluppando su un piano, si può ottenere una superficie che rappresenta una stima della superficie di flusso; in questo modo è così possibile ottenere una visualizzazione della velocità del flusso all’interno di una turbomacchina. Indicando con ( 1 la velocità del flusso in un sistema di riferimento non rotante (prima indicata semplicemente con ( e adesso considerata solo funzione della posizione radiale considerata) è possibile costruire il triangolo delle velocità come nella Figura sottostante, dove 21, velocità di rotazione dell’induttore, è la velocità di trascinamento, mentre la 3 1 è la velocità relativa del flusso rispetto ad un sistema di riferimento solidale con il rotore. Nella Figura 2-5 si definiscono anche 4 1 e 45 1 come, rispettivamente, l’angolo tra la velocità relativa 3 1 nel piano meridiano ed un piano ortogonale alla direzione dell’asse di rotazione, e come l’angolo tra la tangente al profilo medio della paletta nel piano meridiano ed un piano perpendicolare all’asse di rotazione. Nel caso in cui il flusso fosse perfettamente parallelo alla paletta si avrebbe 45 = 4. Inoltre questi angoli possono subire variazioni nei valori dalla radice della paletta (hub) fino all’estremità della stessa (tip), per cui saranno indicati con il pedice H e T, rispettivamente, mentre il pedice 1 e 2 sarà utilizzato per indicare se il valore è in corrispondenza del bordo d’attacco (1) o di quello d’uscita (2).. 18.

(7) Capitolo 2. . Figura 2-5: Profilo della paletta sul piano meridionale, con relativo triangolo delle velocità (Brennen [1]).. In corrispondenza del bordo d’attacco (leading edge) si definisce l’angolo di incidenza 6 1 =45 1 4 1 . Essendo, in molte macchine, il flusso praticamente assiale in ingresso 8 (( 1 () ), si ha allora che 4 1 -./ 7 9: <. L’angolo di attacco, che non va confuso ;*. con quello di incidenza, è invece l’angolo tra la direzione della velocità relativa e la linea di corda del profilo. Al bordo d’uscita, poiché in genere il flusso non sarà diretto parallelamente al profilo, si definisce l’angolo di deviazione = 1 45 1 4 1 , che è funzione della solidità della schiera di palette.. Figura 2-6: Angolo di incidenza e di deviazione per il profilo di un paletta di una turbomacchina, sviluppato su un piano meridionale (Brennen [1]).. 19.

(8) Caratterizzazione sperimentale di induttori cavitanti e del sistema di misura delle forze rotodinamiche. 2.2. Prestazioni delle turbopompe Come già detto, le turbopompe interagiscono con il fluido con il quale sono a contatto; questa interazione si realizza per mezzo di uno scambio energetico tra le due controparti. Al fine di calcolare la potenza scambiata tra la turbomacchina ed il fluido, si fa riferimento alla successiva schematizzazione dell’induttore.. Figura 2-7: Schematizzazione dell'induttore e sviluppo della superficie di flusso esterna del volume di controllo (Lakshimarayana [3]).. Ipotizzando che la turbomacchina operi ad una velocità di rotazione (2) costante, ovvero in regime stazionario, si prende un volume di controllo come in Figura 2-7, caratterizzato dall’avere le superfici assialsimmetriche interna (indicata in Figura con la lettera I) ed esterna (O) coincidenti con delle superfici di flusso. Perciò non ci sono scambi di massa, di quantità di moto e di energia tra le due superfici in questione. Le superfici di ingresso e di uscita del flusso sono caratterizzate rispettivamente da un raggio medio 1 e 1 , misurato rispetto all’asse di rotazione della turbopompa. Il meccanismo di trasferimento dell’energia è caratterizzato dalla potenza (>?@

(9) A ) sviluppata dalla coppia (1 x + ) esercitata dalla palettatura del rotore sul fluido. La forza tangenziale + (forza per unità di massa) esercitata dalla palettatura è responsabile della variazione della quantità di moto angolare (1 · (+ ) del fluido. Applicando i bilanci di massa, quantità di moto e di energia sul volume di controllo (v.c.) evidenziato in Figura, e ricordando che tra le due superfici di controllo esterna ed interna non c’è scambio di massa, di quantità di moto e di energia, essendo delle superfici di flusso, si ha: • Bilancio di massa:. B C D · E B C D · E F:. 2. 5. FG. dove: C e C indicano le densità del fluido in ingresso ed in uscita, rispettivamente. D e D sono le velocità assolute del fluido in ingresso ed in uscita. e sono le superfici di ingresso e di uscita per il flusso.. 20.

(10) Capitolo 2. • Bilancio della quantità di moto angolare (nell’ipotesi che le forze d’attrito siano trascurabili, così come le forze di massa): I 1+ C E( B 1 (+ C D · E B 1 (+ C D · E FG. 8... F:. 2. 6. Nell’ipotesi che il flusso possa essere approssimativamente uniforme sulle sezioni di ingresso e di uscita, si ha: I 1+ C E( 1 (+ 1 (+ . 2. 7. 8... Il membro a sinistra della precedente equazione rappresenta la coppia esercitata dal rotore sul fluido. Indicando con la questa coppia si ottiene, per la potenza esercitata dal rotore sul fluido: > Ω Ω 1 (+ 1 (+ >?@

(11) A. 2. 8. dove si è evidenziato che la potenza > ottenuta è l’opposta di quella esercitata sull’albero.. • Bilancio dell’energia, nella forma di entalpia totale (nell’ipotesi che la potenza generata dalle forze di massa siano trascurabili, così come per le forze d’attrito sulla pala): M >?@

(12) A ℎ ℎ . (Equazione di Eulero). 2. 9. dove: • M è la potenza termica in ingresso al volume di controllo. • ℎ e ℎ sono le entalpie totali, per unità di massa, del flusso in ingesso ed in uscita dal volume di controllo. Il salto di entalpia totale ai capi della pompa è legata alla relativa variazione di pressione totale, in questa maniera, nell’ipotesi di isoentropicità della trasformazione:. ℎ ℎ 2. 10 C 1. CD 2. dove la pressione totale è così definita:. 2. 11. Si definisce inoltre l’efficienza idraulica di una turbomacchina, nello specifico di una pompa (QR ) come il rapporto tra la potenza idraulica ideale Pi e quella reale P per il solito salto di pressione toltale (Δpt) registrato: ηR . >S >. 2. 12. 2.3. Parametri adimensionali e curve caratteristiche Nel campo delle turbopompe le prestazioni vengono tipicamente espresse in termini di alcuni parametri adimensionali. Le prestazioni vengono così svincolate dalle caratteristiche geometriche, dimensionali e operative della macchina.. 21.

(13) Caratterizzazione sperimentale di induttori cavitanti e del sistema di misura delle forze rotodinamiche. La portata volumetrica elaborata, indicata con T, viene adimensionalizzata con il coefficiente di flusso Φ, così definito: Φ. T Ω. 2. 13. dove con è indicata l’area della sezione di passaggio del flusso. Il coefficiente di flusso può esser riferito alla sezione di ingresso, o alla sezione di scarico, mediante l’opportuna definizione delle grandezze geometriche in gioco ( e per la sezione di ingresso e e per la sezione di scarico). Il salto di pressione realizzato nella pompa viene invece adimensionalizzato mediante il coefficiente di lavoro (o prevalenza) Ψ, così definito:. Ψ. U . 2. 14. CV Ω . dove con CV si indica la densità del liquido e con U si indica il salto di pressione totale realizzato dalla pompa. La coppia fornita dalla turbopompa viene invece adimensionalizzata mediante il coefficiente di coppia, indicato con W per le macchine centrifughe e con X per quelle assiali.. W. X. . 2. 15. CV Ω Y . CV T (+. 2. 16. Anche in questo caso si possono riferire i coefficienti alle sezioni di ingresso o di uscita, specificando per la geometria e per la velocità i valori assunti in corrispondenza di tale sezione. Un altro parametro adimensionale di notevole importanza è il numero di Reynolds, Z, definito nelle turbomacchine come segue: Z . 2Ω% νV. 2. 17. dove con νV si indica la viscosità cinematica del liquido. Le prestazioni di una data pompa possono essere espresse mediante i parametri adimensionali sopra introdotti in curve chiamate “curve caratteristiche”, nelle quali, in funzione del coefficiente di flusso Φ vengono espressi gli altri parametri. Un esempio di queste curve è riportata di seguito per il caso della turbopompa di alta pressione del combustibile dello SSME, dove vengono riportate le curve Ψ Φ e η Φ teoriche affiancate dai dati sperimentali.. 22.

(14) Capitolo 2. Figura 2-8: Curve caratteristiche eristiche della turbopompa centrifuga di alta pressione per lo Space Shuttle Main Engine (SSME) (Peterson [2]).. L’andamento delle curve riportate è del tutto generale almeno per le macchine centrifughe; per cui qualunque macchina centrifuga si consideri presenta lo stesso comportamento, ovvero che la prevalenza diminuisce all’aumentare del coefficiente di flusso, mentre il rendimento presenterà un massimo in corrispond corrispondenza di un certo valore di Φ, prossimo a quello di disegno. Va notato che le curve sopra riportate risultano essere indipendenti dal numero di Reynolds, se questo è superiore a (5÷10)105, soglia che permette di garantire che il flusso all’interno della turbopompa bopompa sia completamente turbolento. Ne Nell caso contrario si vedrebbero vedrebbe curve dipendenti dall’importanza degli effetti viscosi, ovvero dal numero di Reynolds, come si vede ad esempio nella successiva Figura 2-9,, dove si evidenzia la dipendenza dipend dei rendimenti idraulici e di quelli dell’albero motore d dal numero di Reynolds.. Figura 2-9: Dipendenza delle curve di prestazione delle turbomacchine dal numero di Reynolds (Brennen [1]).. 23.

(15) Caratterizzazione sperimentale di induttori cavitanti e del sistema di misura delle forze rotodinamiche. Di conseguenza per rispettare le condizioni di similitudine fluidodinamica per due pompe, bisogna che per entrambe il numero di Reynolds sia superiore a 106 (senza che siano necessariamente uguali), oltre che, ovviamente, abbiano i soliti valori dei parametri Ψ e Φ. Tuttavia per motivi pratici i parametri [ e \ non sono molto utili nella progettazione, in quanto generalmente si hanno come dati di input i salti di pressione totale da realizzare (ΔpT)e la portata volumetrica (Q) da elaborare. In genere non si conosce nulla a riguardo della geometria della pompa e della velocità di rotazione Ω. Per questo si fa affidamento ad altri due parametri, sempre adimensionali: la velocità specifica Ωs ed il raggio specifico rs( o equivalentemente il diametro specifico ds), definiti di seguito, che permettono di disaccoppiare le incognite relative alla geometria ed alla velocità di rotazione della pompa.. Ω? 1? . . ΩT . Y U % ] 7C < V. 2. 18 . U ] % 7 C % < V . T. 2. 19. Come si vede, adesso i due parametri sono disaccoppiati e la caratteristica geometrica, rappresentata da % (raggio di estremità di paletta), compare solo nella definizione del raggio specifico, mentre la velocità di rotazione solo nella definizione della velocità specifica. Dalle definizioni di coefficiente di flusso e di prevalenza si ottiene facilmente:. Ω? . √_Φ. 2. 20. Y Ψ] . Ψ] 1? √_Φ. 2. 21. In maniera analoga è possibile ricavare le relazioni inverse, che legano Ψ e Φ a Ωs ed a rs:. Φ. Ψ. 1. 2. 22. _Ω? 1? Y 1. 2. 23. Ω? 1? . Combinando le varie equazioni è possibile ricavare la seguente relazione per la potenza P sviluppata da una turbopompa: CV. Ω Y % b > η` Ωa 1a. 2. 24. 24.

(16) Capitolo 2. Questo risultato conferma che la potenza di una turbopompa scala con la terza potenza della velocità di rotazione e con la quinta del raggio della turbomacchina. Supponendo di prendere, per ogni possibile turbomacchina realizzabile, i valori di Ψ e Φ per i quali l’efficienza è massima, è possibile reali realizzare zzare un diagramma in cui viene vi rappresentata, al variare della velocità specifica e raggio specifico (ottenibili dalle formule di sopra a partire dalle conoscenze geometriche geometriche, di Φ e di Ψ),, la migliore efficienza ottenibile. Di seguito, nella Figura 2--11, si può vedere un esempio di tale diagramma per il caso di macchine centrifughe.. Nella stessa è visibile anche un confronto tra i valori teorici teoric e quelli misurati sperimentalmente; viene inoltre evidenziata la dipendenza del rendimento dall’angolo da 42 (angolo formato, all’uscita della girante, dalle pale con la direzione radiale). Un diagramma analogo, relativo però a pompe assiali, è dato nella Figura 2-11. Come si vede per entrambi i grafici, i dati sono relativi alle condizioni con Z superiore alla soglia critica dei 106.. Figura 2-10:: Rendimenti ottenibili per le pompe centrifughe, in funzione del diame diametro tro specifico e della velocità specifica (Peterson [2]).. Figura 2-11:: Rendimenti ottenibili per le pompe assiali, in funzione del diametro specifico e della velocità specifica (Peterson [2]).. 25.

(17) Caratterizzazione sperimentale di induttori cavitanti e del sistema di misura delle forze rotodinamiche. Come si nota chiaramente dalle figure precedenti l’efficienza massima ottenibile per le turbomacchine varia in funzione nzione della velocità specifica e del diametro specifico. Di conseguenza per ogni velocità specifica è possibile ricavare iil tipo di macchina che he consente di ottenere il rendimento migliore. Questo è evidenziato nella successiva Figura 2-12. Velocità specifica Ωs. Ruota Pelton. Pompe a Pompe Centrifughe flusso misto Compressori radiali Turbine Francis. Pompe assiali Compressori assiali Turbine Kaplan. Velocità specifica Ωs Figura 2-12:: Variazioni delle caratteristiche geometriche delle pompe al variare della velocità specifica Ωs(Brennen [1]).. La Figura 2-12 raggruppa le geometrie delle turbopompe che al variare della velocità specifica presentano la massima efficienza idraulica. Quindi a basse velocità specifiche (Ω ( s<1) conviene lavorare con macchine a flusso radiale, mentre con elevate portate (Ω Ωs>3) risulta esser più efficiente una turbomacchina assiale. Per valor valori intermedi risultano più efficienti le turbomacchine a flusso misto.. Figura 2-13:: Andamento dell'efficienza idra idraulica al variare della velocità specifica. Sono evidenziate enziate le classi di turbomacchine che per ogni ramo garantiscono i massimi valori dell'efficienza. dell'efficienza.(Brennen [1]) [1]. 26.

(18) Capitolo 2. Si può inoltre notare dalla Figura 2-13 come per ottenere i massimi rendimenti (superiori a 0.9) sia necessario impiegare macchine con 0.4 < Ωd < 1.2. Il motivo per cui a velocità specifiche più basse non sia più possibile ottenere rendimenti di tale livello risulta esser causato dalla presenza di passaggi all’interno della girante molto più stretti e lunghi che causano maggiori perdite dovute all’attrito. Anche per elevate velocità specifiche si abbassano i valori delle efficienze massime raggiungibili. Infatti dalla formula che definisce la velocità specifica (eq. 2.20) si ha che per ottenere un valore elevato di questo parametro è necessario avere una prevalenza della pompa bassa ed un elevato valore del coefficiente di flusso. Avere una prevalenza piuttosto bassa fa sì che le perdite per attrito all’interno della turbomacchina raggiungano in percentuale una quota significativa della prevalenza sviluppata dalla pompa, diminuendo di fatto il rendimento idraulico. Nella successiva Figura 2-14 si traduce graficamente quanto detto nella così detta linea di Cordier, che unisce tutti i punti che raggiungono i massimi valori di efficienza idraulica per i fissati valori di velocità specifica e di diametro specifico.. Figura 2-14: Linea di Cordier riportante le turbomacchine che per ogni ramo di tale linea presentano le massime efficienze idrauliche.(Saberski,Acosta [4]). 2.4. Prestazioni delle pompe in regime non cavitante Le prestazioni di una pompa in regime non cavitante hanno tipicamente un andamento dipendente dal tipo di macchina. Questo tipo di curve viene rappresentato nel piano [ \. Per le pompe centrifughe, oltre al caso già mostrato per la pompa centrifuga di alta pressione dello SSME, si possono dare i seguenti esempi.. 27.

(19) Caratterizzazione sperimentale di induttori cavitanti e del sistema di misura delle forze rotodinamiche. Figura 2-15: Prestazioni di una turbopompa centrifuga in regime non cavitante.(Brennen [1]). Figura 2-16: Tipico andamento delle curve sperimentali di prestazione non cavitante per una pompa centrifuga. Viene mostrato anche la dipendenza dalla voluta impiegata. (Brennen [1]). Come si può vedere le prove effettuate a differenti valori di Ω evidenziano come le prestazioni siano indipendenti da variazioni di velocità di rotazione. Questo, come già detto, risulta vero fintanto che il numero di Reynolds è sufficientemente elevato, di modo che gli effetti viscosi sono di entità marginale. Viene inoltre evidenziato come per le pompe centrifughe sia di notevole importanza il tipo di voluta impiegata; infatti al variare della forma geometrica della voluta cambia il livello di accoppiamento tra il flusso che esce dalla girante e la voluta. Invece le pompe assiali e quelle a flusso misto, benché assicurino rendimenti maggiori rispetto a quelli delle turbomacchine centrifughe, risultano maggiormente suscettibili alla separazione del flusso ed allo stallo, con conseguenti modifiche per la curva di prestazione, come visibile chiaramente dalla successiva Figura 2-17.. 28.

(20) Capitolo 2. Figura 2-17:: Curve caratteristiche di una pompa assiale. (Brennen [1]). In questa Figura si nota il classico (per queste turbomacchine) avvallamento presente nella curva Ψ Φ ,, che è indicativa della separazione del flusso elaborato dalla pompa. Come successivamente mostrato (fig. 2-18),, questa regione è fortemente sensibile ai dettagli geometrici della pompa. Infatti bas bastano tano piccole irregolarità superficiali per avere significativi effetti sulla separazione del flusso.. Figura 2-18:: Curve di prestazione non cavitante per una pompa a flusso assiale con 4 pale con 4 differenti different profili di paletta differenti.(Brennen [1]). 2.5. La cavitazione nelle turbomacchine La cavitazione è un fenomeno fisico caratterizzato dalla formazione di cavità contenenti vapore e gas disciolto nel liquido. Questa formazione di bolle avviene in regioni del liquido dove la pressione raggiunge valori al di sotto di un valore critico, stimabile grossolanamente con la pressione di vapore del liquido. Ovviamente essendo le turbomacchine dei razzi a propellente liquido delle macchine a rischio per lo sviluppo della cavitazione è necessario soffermarsi su questo fenomeno e sui possibili effetti sulle prestazioni delle turbomacchine.. 29.

(21) Caratterizzazione sperimentale di induttori cavitanti e del sistema di misura delle forze rotodinamiche. Parametri usati per la caratterizzazione della cavitazione La cavitazione è un fenomeno molto complesso, che coinvolge un flusso bifasico, dove le due fasi, liquida e gassosa, hanno diverso comportamento termodinamico. La cavitazione è fortemente influenzata da molti fattori, tra i quali la quantità e la qualità delle impurezze presenti nel liquido di lavoro e sulle superfici a diretto contatto di esso. In maniera molto semplicistica si può dire che la cavitazione, con il conseguente sviluppo di bolle di vapore all’interno del liquido, si innesca non appena la pressione statica in qualche punto del liquido scende al di sotto della pressione di vapore ( 8 ) dello stesso, calcolata alla temperatura operativa. Detta la pressione statica in ingresso alla turbopompa, un primo importante parametro introdotto è il coefficiente di pressione eR , adimensionale, così definito:. 2. 25 eR 1 CV Ω% 2. Questo coefficiente, per flussi incomprimibili delimitati da pareti rigide, risulta essere funzione solo della geometria e del numero di Reynolds, per cui una variazione della pressione. causerà una eguale variazione di pressione per tutti gli altri punti del circuito, mentre non comporterà nessuna variazione per eR . Ovviamente il punto dove potenzialmente si svilupperà la cavitazione sarà quello dove si registra il valore minimo di pressione ( fSg ), al quale corrisponde un coefficiente di pressione eRhij . Noto eRhij , è possibile stimare il valore della pressione in ingresso alla turbomacchina ( ∗) che permette l’innesco della cavitazione, supponendo che questa si sviluppi non appena fSg 8 : 1. ∗ 8 CV Ω% eRhij 2. 2. 26. Se la geometria della macchina, la temperatura di lavoro e la densità del liquido di lavoro sono fissate, allora ∗ è funzione solo di Ω e di % . Esiste un altro parametro più usato nell’ambito della cavitazione rispetto al coefficiente di pressione; questo parametro è il numero di Eulero o di cavitazione σ, così definito:. 8 σ 2. 27 1 Ω% C V 2. Ovviamente il valore di σ per il quale si ha l’innesco della cavitazione, sulla base delle ipotesi di sopra, è:. σS . ∗ 8. 1. 2 CV Ω%. eRhij. 2. 28. Viene spesso impiegato anche un altro fattore, detto “numero di cavitazione di Thoma”, così definito:. % 8 σ%& 2. 29. % %. Questo fattore è direttamente collegato al coefficiente di cavitazione di Eulero σ, nella seguente maniera:. σ%&. σ Φ Ψ. 2. 30. dove, si ricorda che Ψ e Φ sono, rispettivamente, il coefficiente di lavoro e quello di flusso.. 30.

(22) Capitolo 2. Un’ulteriore ulteriore grandezza adimensionale spesso utilizzata è la “velocità specifica di aspirazione”, Ωaa . Essa ha una definizione molto simil simile e a quella della velocità specifica Ωa , ovvero:. Ωaa . . ΩT. 2. 31. Y. 8 ] 7 % < CV. La velocità specifica di aspirazione è concettualmente simile al numero di cavitazione σ; tutti e due questi parametri, infatti, rappresentano un modo per adimensionalizzare il valore della pressione all’ingresso della pompa. Anche in questo caso, quindi, esisterà un valore ΩaaS . per cui avviene l’innesco della cavitazione. Altri due parametri spesso utilizzati in cavitazione sono quelli indicati con gli acronimi NPSP (Net Net Positive Suction Pressure Pressure) e NPSH (Net Positive Suction Head), ), così definiti: l>m> % 8. 2. 32. Innesco della cavitazione Perché si sviluppi la cavitazione non basta che la pressio pressione ne minima scenda al di sotto della pressione di vapore (. fSg 8 ); anzi in realtà questo è un criterio troppo semplicistico. Lo sviluppo della cavitazione è infatti influenzato marcatamente da altri fattori. In particolar modo il grado di purezza di u un n liquido è un parametro di enorme importanza, come evidenziabile dalla successiva Figura.. Figura 2-19:: Numero di cavitazione di innesco σn, per uno stesso profilo assialsimmetrico, provato in diversi circuiti ad acqua del mondo (Brennen [1]).. Come si può notare dalla Figura 2-19,, il coefficiente di Eulero per l’innesco della cavitazione σS varia fortemente in relazione al tipo di acqua impiegata per la realizzazione delle prove. Questa sta variabilità è dovuta al fatto che l’innesco della cavitazione è fortemente influenzata dal numero e dalla tipologia di nuclei di cavitazione presenti nei liquidi. Infatti un liquido generalmente è capace di sopportare pressioni anche al di sotto della propria tensione di vapore:: in liquidi molto puri si è riscontrata la possibilità di scendere al di sotto della 8 anche di qualche centinaia di atmosfere, senza peraltro riscontrare la formazione di bolle. D’altra parte nei liquidi ingegneristici comunemente impiegati e nelle superfici a contatto con essi le impurità sono generalmente presenti e possono rappresentare dei validi nuclei di formazione delle bolle di cavitazione. Comunque anche in queste circostanze è possibile per il liquido 31.

(23) Caratterizzazione sperimentale di induttori cavitanti e del sistema di misura delle forze rotodinamiche. sopportare pressioni sioni al di sotto della pressione di vapore, senza vedere una formazione di bolle di dimensioni apprezzabili. Infatti , per una micro bolla di raggio RN, presente in un liquido e contenente solo vapore, si ha che questa sarà in equilibrio fintanto che la p pressione ressione del liquido varrà:. 8 . 2m o. 2. 33. in cui S è la tensione superficiale del liquido. Come si nota se la pressione del liquido dovesse scendere questo comporterebbe un aumento delle dimensioni della bolla, mentre se dovesse aumentare si avrebbe una diminuzione della stessa. Appare quindi chiaro il ruolo giocato dai nuclei di cavitazione pre presenti senti in un liquido per l’innesco della cavitazione. Il monitoraggio del numero, la distribuzione e le dimensioni dei nuclei di cavitazione presenti in un liquido risulta pertanto di fon fondamentale damentale importanza per predire il valore di σS per il liquido consi considerato derato e per, soprattutto, avere una corretta interpretazione dei dati sperimentali. Tipicamente il monitoraggio dei nuclei di cavitazione porta alla definizione di una “funzione di distribuzione” N(RN), che fornisce il numero di nuclei di cavitazione presenti enti per unità di volume di liquido considerato e aventi un raggio compreso tra RN e RN+dRN. Alcune tecniche di misurazione sono la dispersione di luce e l’olografia e di seguito si riporta un esempio di tali misurazioni, che hanno permesso di ricavare la funzione N(RN) per diversi tipi di acque.. Figura 2-20:: Funzione di distribuzione dei nuclei di cavitazione in alcuni circuiti ad acqua e nell'oceano (Brennen [1]).. Ai fini pratici va, inoltre, evidenziato che nell’utilizzo utilizzo dei circuiti chiusi per la realizzazione delle provee sperimentali la cavitazione dà luogo allo sviluppo di nuovi nuclei di innesco; infatti quando si formano le bolle di cavitazione cavitazione, queste permettono al gas, prima ma disciolto nel 32.

(24) Capitolo 2. liquido, di dissolversi in parte all’interno della bolla. Quando la bolla passa in regioni del flusso a più alta pressione tende a svuotarsi della parte di vapore, che si trasforma velocemente in liquido, mentre la parte gassosa tende a disciogliersi nel liquido molto più lentamente o, addirittura, non si discioglie per nulla. Questo fatto comporta che nel liquido rimangono microbolle di gas che possono accumularsi ad ogni ciclo di cavitazione arrivando a saturare il sistema. Infatti questo fenomeno fu causa di grossi problemi nelle prime gallerie ad acqua, le quali finivano per essere intasate da bolle d’aria dopo pochi minuti di funzionamento in regime cavitante. Il problema può essere risolto allungando il condotto di scarico dell’impianto, in modo da “costringere” le bolle d’aria a risiedere per una maggior quantità di tempo in una zona ad alta pressione; si può inoltre fornire l’impianto di un “deareatore”, cioè di un dispositivo in grado di depurare l’acqua dal gas rilasciato. Esistono altri due fattori di notevole importanza e che possono influenzare il valore di σS , ovvero il “tempo di residenza” e la turbolenza nel flusso. Il tempo di residenza è il tempo necessario ai nuclei di cavitazione per attraversare una zona a bassa pressione e risulta importante in quanto le bolle devono rimanere nella zona di bassa pressione per il tempo necessario a farle diventare di dimensioni significative. Il tempo di residenza dipende oltre che dalle dimensioni della pompa, dalla velocità del flusso, dalla temperatura operativa e dal campo di pressione del flusso. Il secondo fattore è legato al fatto che in realtà il flusso in una turbopompa è turbolento e tutt’altro che stazionario; questo può far sì che la cavitazione si inneschi prima di quanto si possa ritenere sulla base teorica. Infatti la turbolenza dà origine a vortici il cui nucleo presenta un minimo di pressione sensibilmente inferiore al valor medio, per cui si può avere innesco di cavitazione anche se la pressione media è al di sopra di quella di vapore. Prestazioni delle pompe in regime cavitante In condizioni di cavitazione le prestazioni di una pompa, invece di essere rappresentate come curve nel piano [ \, sono riportate, per un fissato valore di Φ, sul piano σ \. Infatti in questa condizione le prestazioni di una data pompa non sono più funzione solo di Φ, ma anche del numero di Eulero σ. Di seguito si presenta un esempio di queste curve per una pompa centrifuga.. Figura 2-21: Prestazioni di una pompa centrifuga in regime cavitante. (Brennen [1]). Nella Figura viene anche evidenziata con una freccia l’andamento che le curve subiscono al diminuire del coefficiente di flusso. Infatti come ricavabile anche dalla curva di prestazione non cavitante, al diminuire di Φ aumenta il valore di Ψ. 33.

(25) Caratterizzazione sperimentale di induttori cavitanti e del sistema di misura delle forze rotodinamiche. In Figura 2-21 sono anche evidenziati 3 numeri di cavitazione cavitazione,, di seguito elencati, e che si presentano man mano che si diminuisce il valore della pressione in ingresso: • σS : “numero di cavitazione di innesco innesco” (inception),, rappresenta il valore del parametro σ in corrispondenza del quale per la prima volta si ha la comparsa della cavitazione, come già detto in precedenza. Questa circostanza è spesso accompagnat accompagnataa dal classico fragore associato alla cavitazione. Per questo valore di σ le prestazioni della pompa, come facilmente visibile dalla Figura,, non subiscono nessuna diminuzione. • σ

(26) :”numero di cavitazione critico”, definito come quel valore di σ per il quale qua la prestazione della pompa subisce una diminuzione rispetto al valore che aveva in condizioni non cavitanti (tipicamente tale diminuzione viene assunta pari al 3%, ma in letteratura si trovano anche diminuzione del 2-5%). 5%). • σ5 : “numero di cavitazione di breakdown”, ”, è il numero di cavitazione in corrispondenza del quale le prestazioni della pompa precipitano drasticamente. Va, in realtà, evidenziato che il comportamento delle turbopompe pompe in regime cavitante può presentare alcune differenze al variare del tipo di pompa. Sopra opra è stato riportato il caso delle del pompe centrifughe. Dii seguito si evidenziano le curve di prestazione in regime cavitante per una turbopompa assiale.. Figura 2-22:: Prestazioni in regime cavitante per una pompa assiale. (Brennen [1]) [1]. Come si può notare, per le pompe assiali, pur presentando delle caratteristiche generali analoghe a quelle delle pompe centrifughe centrifughe, si possono riscontrare delle differenze. Nella Figura 2-22,, infatti, subito prima del raggiungimento del breakdown, le prestazioni presentano un incremento. In altri casi, come quello successiv successivamente mostrato nella Figura 2-23, l’incremento di prestazioni avviene un po’ prima (sempre in termini di σ).. Figura 2-23:: Prestazioni in regime cavitante per una pompa assiale. (Brennen [1]). 34.

(27) Capitolo 2. La spiegazione di questo incremento nelle prestazioni sembra esser dovuta alla cavitazione che, sviluppandosi, porterebbe ad una modifica della geometria della pompa e del canale visti dal flusso. Di seguito si illustra l’andamento dell’efficienza di una pompa assiale al variare del coefficiente σ, per fissati valori di Φ.. Figura 2-24: Andamento dell'efficienza della pompa assiale della Figura precedente (Brennen [1]).. Come si nota dalla Figura 2-24 l’efficienza delle turbopompe assiali, ma in generale di tutte le turbomacchine, presenta una diminuzione man mano che si sviluppa la cavitazione, arrivando ad un crollo quando questa raggiunge le condizioni di breakdown. Fondamenti di dinamica delle bolle La conoscenza della dinamica delle bolle è un aspetto fondamentale per la cavitazione. Purtroppo la complessità del problema rende impossibile nella pratica conoscere l’evoluzione delle bolle. Uno dei primi modelli sviluppati per caratterizzare il comportamento delle bolle di cavitazione prevede di considerarle di forma sferica. Il modello, per quanto semplice concettualmente, conduce ad un’equazione differenziale non lineare per il raggio della bolla - che viene relazionata con la pressione del liquido lontano dalla bolla, p - . Questa equazione, che prende il nome di equazione di Rayleigh-Plesset, nonostante la semplificazione geometrica introdotta, fornisce dei risultati importanti. L’equazione in questione vale sotto le seguenti ipotesi : • fluido newtoniano; • incomprimibile; • non sottoposto a forza di gravità; • il contenuto di aria nella bolla risulta costante e la sua inerzia risulta trascurabile; • la bolla è saturata con il vapore, la cui pressione parziale è la pressione di vapore alla temperatura del liquido. L’equazione di Rayleigh-Plesset si scrive:. q - p - E 3 E 4νV E 2m CV E2 E E- CV . 2. 34. in cui q - è la pressione all’interno della bolla. Facendo l’ipotesi che la presenza della bolla non perturbi il campo di pressione e quello di velocità all’interno del liquido, si può considerare p - come una funzione nota. Per calcolare q - si fa l’ipotesi che il gas contenuto nella bolla sia assimilabile ad un gas perfetto; tenendo conto che la bolla contiene anche del vapore, si ha :. q - 8 q . 3r sr q 4_ Y. 2. 35. in cui r è la massa di gas non condensabile contenuta all’interno della bolla, sr è la costante dei gas, mentre q è la temperatura all’interno della bolla. 35.

(28) Caratterizzazione sperimentale di induttori cavitanti e del sistema di misura delle forze rotodinamiche. Nell’equazione precedente (2.335), il termine 8 q è di difficile valutazione, per cui si preferisce in genere riferirsi alla temperatura del liquido lontano dalla bolla, T∞ ; si ottiene così:. 8 q 8 p CV θ. 2. 36. uv. 2. 37. in cui il termine u è valutabile mediante equazione di Clausius Clausius-Clapeyron Clapeyron in questo modo: C8 w x q - y CV p p. essendo C8 la densità del vapore, ed w il calore latente di vaporizzazione. Il termine q - , infine, e, può essere valutato facendo ricorso all’equazione di diffusione del calore ed a quella di bilancio dell’energia. Al termine del calcolo, per il quale si rimanda a Brennen [1], l’equazione 2.37 diventa: u Σ p in cui:. Σ p . E √E-. 2. 38. C8 w CV z`V p √6V. 2. 39. dove z`V è il calore specifico del liquido, ed 6V è la diffusività termica del liquido, così definita: 6V . {V CV z`V. 2. 40. essendo {V la conducibilità termica del liquido. Supponendo di non avere effetti termici (ovvero che u 0 e quindi q - p ), cosa plausibile alle basse temperature per il liquido, la cavitazione che si genera sarà influenzata dagli effetti inerziali ed una tipica soluzione dell’equazione di Rayleigh Rayleigh-Plesset Plesset in tali condizioni è visibile nella successiva Figura 2-25 25.. Figura 2-25:: Soluzione grafica dell'equazione di Rayleigh Rayleigh-Plesset per una bolla la sferica di raggio iniziale Ro il cui comportamento è governato dagli effetti inerziali. inerziali.(Brennen [1]). La Figura mostra chiaramente che la dinamica della bolla è caratterizzata da fasi “esplosive”, in cui le dimensioni crescono smisuratamente, e fasi “implosive”, in cui si ha un collasso delle bolle. 36.

(29) Capitolo 2. Per quanto riguarda la crescita, nel caso di dinamica controllata dagli effetti inerziali, si può dimostrare che essa avviene in modo tale che vari linearmente col tempo; il volume della bolla, perciò, cresce linearmente con t3. Se si considera che, in un tipico processo di ebollizione, il raggio cresce linearmente co con t1/2, si capisce come la crescita di una bolla per cavitazione, se gli effetti inerziali dominano su quelli termici, sia un processo particolarmente rapido. Passando invece alla fase di collasso, la Figura mostra come essa avvenga in modo estremamente catastrofico; tastrofico; al termine di questa fase, la bolla raggiunge dimensioni molto più piccole di quelle del nucleo originale. Il collasso della bolla è accompagnato da forti sbalzi di pressione ed accelerazioni del liquido nei pressi dei componenti meccanici, che causano rumore e danneggiamento. Influenza degli effetti termici Quando si aumenta la temperatura del fluido di lavoro, si nota una variazione del comportamento delle prestazioni in regime cavitante; in particolar modo si evidenzia una diminuzione del numero di cavitazione di breakdown σ5 . Questo aspetto è evidenziato con chiarezza nella successiva Figura,, che mostra l’andamento delle curve in regime cavitante σ \ per una pompa centrifuga al variare della temperatura.. Figura 2-26 26: Prestazioni in regime cavitante per una pompa centrifuga, al variare della temperatura.(Brennen [1]). Il motivo di questa variazione di comportamento si può spiegare facendo riferimento, per semplicità, ad una singola bolla, che inizia a crescere non appena entra in una regione di bassa pressione. sione. La crescita della bolla è dovuta all’evaporazione di parte del liquido all’interfaccia tra le due fasi. Se ci si trova a basse temperature la densità del vapore saturo del liquido è bassa,, quindi la quantità di liquido che evapora è piccola. Questo fa sì che la quantità di calore necessaria per l’evaporazione di questa porzione di liquido sia piccola. Poiché il calore che serve per produrre il passaggio di fase in questione viene ceduto per conduzione dal liquido, la differenza tra le temperature che si crea tra la massa di liquido ed il vapore resta contenuta e la pressione di vapore non diminuisce apprezzabilmente. Quando si innalza la temperatura operativa del liquido, la densità di vapore saturo aumenta e quindi la trasformazione di fase coinvolge una maggior quantità di massa del liquido. Questo aumento di massa coinvolta produce anche un aumento della quantità di calore necessaria per 37.

(30) Caratterizzazione sperimentale di induttori cavitanti e del sistema di misura delle forze rotodinamiche. effettuare la trasformazione. Questo fa sì che le diminuzioni di temperatura in vicinanza della bolla siano molto più significative di prima (caso a temperatura più bassa) e, di conseguenza, anche la pressione di vapore all’interno della bolla subisce una drastica riduzione. Questa riduzione di 8 fa sì che la crescita della bolla venga fortemente inibita, al punto che per raggiungere condizioni di breakdown sia necessario scendere a valori di σ più bassi di quelli necessari alle basse temperature. Da un punto di vista analitico, il termine dell’equazione di Rayleigh-Plesset responsabile degli effetti termici è u, come definito in precedenza. È possibile individuare un “tempo critico”, -| , al di là del quale tale termine diventa preponderante rispetto al termine inerziale; ciò significa che, per - > -| , la crescita della bolla è dominata dagli effetti termici, ed il raggio , analogamente a quanto succede per l’ebollizione, aumenta proporzionalmente a - G . Si può dimostrare (si veda Brennen [1]) che per il tempo critico vale la seguente espressione: :. 1 % ΩY Φ -| ΩΦ ~ eRhij σ 2 Σ. 2. 41. Se, a questo punto, si indica con 4 il valore del prodotto tCΩφ per il quale gli effetti termici diventano preponderanti su quelli inerziali (Brennen [1] suggerisce per β il valore 5⋅10-6), è possibile stimare un numero di cavitazione di breakdown “critico” (σ ) uguale a:. σ eRhij 24. Σ % ΩY Φ. In assenza di effetti termici (Σ 0 ), σ assume semplicemente il valore:. σ eRhij. 2. 42. 2. 43. per cui il rapporto tra i numeri di cavitazione critici con e senza effetti termici sarà dato da:. σ 1 24 Σ ∗ σ . 2. 44. Σ∗ . 2. 45. dove. Σ. % Ω Φ σ . Y. L’andamento del rapporto σ in funzione di Σ ∗, per pompe centrifughe ed assiali operanti σ. . con vari fluidi di lavoro, è rappresentato nella successiva Figura.. 38.

(31) Capitolo 2. Figura 2-27:: Andamento del rapporto. ∗ σ in funzione del parametro Σ (Brennen [1]).. σ. . Curve caratteristiche di alcune turbomacchine In questo paragrafo verranno illustrate le curve sperimentali relative alle prestazioni di alcune turbomacchine di interesse pratico. Il primo gruppo di curve, tratte da Franz, è riferito alla girante centrifuga uga denominata “X”, provata nell’impianto in dotazione al California Institute of Technology; un disegno quotato di tale girante è fornito in Figura. Figura. NOTA: le dimensioni sono in pollici. Figura 2-28: Disegno segno quotato della girante “X” (Franz [5]). Le figure successive illustrano le prestazioni della girante “X”, rispettivamente in condizioni non cavitanti e cavitanti.. 39.

(32) Caratterizzazione sperimentale di induttori cavitanti e del sistema di misura delle forze rotodinamiche. Figura 2-29:: Curva caratteristica, in regime non cavitante, della girante “X” (Franz [5]) [5]. Figura 2-30:: Prestazioni in regime cavitante della girante “X” (Franz [5]). I dati che seguono, tratti da Bhattacharyya [6],, sono invece relativi ad un tipico induttore assiale, denominato ”VII”, provato anch’esso presso il California Institute of Technology. Le caratteristiche geometriche di questo induttore sono riassunte nella Tabella seguente. Diametro esterno delle pale Rapporto RH /RT Numero di pale Corda della pala Spessore della pala. 10.12 cm 0.4 3 15.42 cm 0.15 cm (estremità) 0.2 cm (radice). Tabella 2-1: Caratteristiche geometriche dell’induttore “VII”.. 40.

(33) Capitolo 2. Le prestazioni dell’induttore “VII”, in regime cavitante e non, sono illustrate illu nelle successive figure.. Figura 2-31:: Curva caratteristica, in regime non cavitante, dell’induttore “VII” (Bhattacharyya [6]). φ = 0.049. φ = 0.074. Figura 2-32:: Prestazioni in regime cavitante dell’induttore “VII” (Bhattacharyya [6]). Sempre in tema di induttori assiali, la Figura seguente è riferita all’induttore della pompa dell’ossigeno ll’ossigeno liquido del motore Vulcain,, che equipaggia il lanciatore Ariane 5. La Figura ne illustra la curva caratteristica per due diversi valori della velocità di rotazione (5000 rpm e 10000 rpm): si noti la buona corrispondenza tra le due curve (come è giusto che sia, trattandosi di curve relative a parametri adimensionali).. 41.

(34) Caratterizzazione sperimentale di induttori cavitanti e del sistema di misura delle forze rotodinamiche. . . Figura 2-33: Curva caratteristica dell’induttore della pompa del LOX del motore Vulcain, per due diversi valori della velocità di rotazione.. La Figura 2-34, infine, mostra la curva caratteristica della pompa dell’ossigeno liquido del motore giapponese LE-7, ricavata interpolando i dati forniti nella Study Note 1 del programma FESTIP.. . . Figura 2-34: Curva caratteristica della pompa del LOX del motore LE-7.. 2.6. Bibliografia [1]- C.E. Brennen, Hydrodynamics of Pumps, Oxford University Press, 1994. [2]- C.R. Peterson, P.G. Hill, Mechanics and Thermodynamics of Propulsion, Addison –Wesley, 1992. 42.

(35) Capitolo 2. [3]- B. Lakshminarayana, Fluid dynamics and heat transfer of turbomachinery, John Wiley & Sons , Inc, 1996. [4]- R.H. Saberski, A.J. Acosta, E.G. Hauptmann, Fluid flow: a first course in fluid mechanics, MacMillan, 1971. [5]- R.J. Franz, Experimental investigation of the effect of cavitation on the rotordynamic forces on a whirling centrifugal pump impeller, Ph.D. Thesis, California Institute of Technology, 1989. [6]- A. Bhattacharyya, Internal flows and force matrices in axial flow inducers, Ph.D. Thesis, California Institute of Technology, 1994.. 43.

(36) Caratterizzazione sperimentale di induttori cavitanti e del sistema di misura delle forze rotodinamiche. 44.

(37)