ed Esperienze di Ar hitettura Navale
CRS4-Centrodi Ri er a Sviluppo eStudi Superiori in Sardegna
CONFRONTO DI SOLUTORI FEM E SOLUTORI BEM
PER LO SLOSHING IN CONTENITORI
I. Lodes, G. Coli hio, G. Graziani, G. Fotia
1 Introduzione 1
2 Confronto degli algoritmi numeri i 1
2.1 Caso A . . . 2
2.2 Caso B . . . 3
2.3 Caso C . . . 4
2.4 Caso De Caso E . . . 7
2.5 Caso F . . . 8
3 Considerazioni on lusive 10
Estatostudiatoilfenomenodisloshingattraverso duediversialgoritminumeri i: il
primo onsiste in una dis retizzazione on elementi niti dell'equazione di Navier{
Stokes in formulazioneArbitrary Lagrangian Eulerian, e indi ato nel seguito ome
FEM ed e des ritto in [3℄; il se ondo e basato sulla dis retizzazione delle equazioni
agliintegrali di ontorno e delle equazioni di evoluzione della super ie libera ed e
indi ato ome BEM e des ritto in [2℄.
Per veri are lavaliditadei due odi isono stati onfrontati iloro risultati on
quellipresentiinletteratura,siaderivantidaaltri odi inumeri i,siaottenuti ome
risultatisperimentali.
Il onfronto e stato e ettuato per un'ampia gamma di situazioni, in modo da
studiareil omportamentodei due odi i al variare delle aratteristi he della solle-
itazionee delle dimensionidel dominio.
2 Confronto degli algoritmi numeri i
Per il fenomeno di sloshing si fa frequentemente riferimento in letteratura al aso
dell'os illazione forzata in ontenitori rettangolari. Per poter disporre di dati di
onfronto, nelle simulazioni sono stati onsiderati donmini rettangolari le ui a-
ratteristi he geometri he sono riportate nella Tabella 1. Nella stessa tabella, sono
des ritte an he la frequenza e l'ampiezzadella solle itazione appli ata.
L(m) H(m) !(rad/s) A(m) !
0
(rad/s)
A 0.6 0.3 4.002 0.00186 6.860
B 0.8 0.3 5.592 0.0031 5.643
C 1 0.5 5.311 0.0093 5.316
D 8 1 1.19954 0.0372 1.19958
E 8 1 1.19954 0.00372 1.19958
F 25 1 0.3915 2.5 0.39255
Tabella 1: Caratteristi he geometri he dei ontenitori (larghezza L, profondita H),
primafrequenzapropria !
0
e aratteristi he delle forzanti(ampiezza Ae pulsazione
!) per i asi dios illazione orizzontale studiati.
In tutti i asi l'os illazione orizzontale imposta al ontenitoreesinusoidaleed e
des ritta dauna legge perle a elerazionidel tipo:
d 2
x
dt 2
= A!
2
sin(!t)
Nel asodell'algoritmoaglielementi nitiildominioestatodis retizzatotramite
elementidettibri k(parallelepipedi). Poi he isielimitatiallostudiobidimensiona-
ledelfenomenodisloshing,sieutilizzatoununi ostrato dibri klungo ladirezione
y ome mostratoinFigura 1.
X Y
Z
Figura1: Esempiodi grigliaperil metodo FEM.
2.1 Caso A
Lafrequenza dios illazioneimposta epari a 0.583volte laprimafrequenza propria
disloshing. Conquestas eltal'ampiezzadell'os illazionedellasuper ieliberaviene
limitata dal fenomeno di modulazione; un'ulteriore limitazione viene dalla ridotta
ampiezza dell'os illazioneimposta al ontenitore.
Tale aso si puo, dunque, ritenere relativamente sempli e da trattare e risulta
utile per determinare l'in uenza del time step impiegato nel metodo FEM sulla
soluzione. Si assumera, nel seguito, he la soluzione ri avata ol metodo BEM sia
gia giunta a onvergenza. In Figura2 e rappresentata l'os illazione di un punto di
ottenuta on ilmetodoFEM alvariare delpasso di integrazione temporalet.
-2 -1 0 1 2
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
Figura 2: Caso A: andamento temporale dell'elevazione d'onda in un punto di
ontatto. La dis retizzazione spaziale impiegata e in entrambi i asi di 20 5
elementi.
Si puo notare ome, al diminuire del t impiegato, la soluzione ri avata on il
metodo FEM tendaa oin idere onquellaottenuta on ilmetodoBEM. In realta,
sussistono an ora delle di erenze ma, a ausa della s arsa disponibilita di tempo,
non e stato possibile indagare se, ridu endo ulteriormenteil time step, lasoluzione
onverga e ettivamentea quelladiriferimento.
2.2 Caso B
Sievoluto onfrontareil omportamentodeiduemetodiinuna situazioneprossima
a quelladirisonanza pertempi di simulazioneelevati. In Figura3 e riportato l'an-
damentoneltempodell'elevazioned'ondain orrispondenza diun puntodi ontatto
quando !=0:991!
0 .
Sullabasedelle indi azionifornitedal asopre edente,estatoutilizzatoun time
step di 0.005 s e una griglia di 205 elementi. Si puo osservare ome, mentre
inizialmentel'a ordo traidue metodirisultaottimo,pertempi elevatilasoluzione
l'algoritmoBEM mauna altezza d'ondaprogressivamentepiusmorzata.
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
2 4 6 8 10 12 14 16 18
Figura3: Caso B: os illazione delpuntodi ontatto.
E statooperatoan he un onfronto on irisultatiottenutida[1℄ on unmetodo
aglielementi nitiinformulazionespa e-time 1
. An heinquel aso,estatoosservato
ome lasoluzione ottenuta on ilmetodoFEM presentiun maggioresmorzamento.
Le ause di questo omportamento devono essere attribuite in parte alle aratte-
risti he dell'algoritmo numeri o e in parte alla dis retizzazione spaziale s elta he
risulta e essivamente rada. Allo s opo di veri are tale ipotesi, nella simulazione
su essivasie fattavariarela dimensione aratteristi adella griglia, onfrontando i
risultati on quelli sperimentalidisponibili in[4℄.
2.3 Caso C
Allo s opo di individuare la dimensione aratteristi a ottimale per la dis retizza-
zione spaziale, si e inizialmente onsiderata una griglia relativamente grossolana,
aratterizzatada20elementilungo lalarghezza e5lungol'altezza. Quindisiepro-
gressivamente in ttita tale dis retizzazione passando a 4010 elementi ed, in ne,
1
Il metodo spa e-time onsiste in una dis retizzazione agli elementi niti nello spazio e nel
tempo.
t=0:005 s.
In Figura 4 sono rappresentate le super i libere in al uni istanti; sebbene i
gra isi riferis anoallagrigliapiugrossolana, nonsi notauna forte di erenzatrai
risultatisperimentaliei risultati deidue odi i.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x
−0.50
−0.40
−0.30
−0.20
−0.10 0.00 0.10 0.20
h
t=1.775s Soluzione num. (FEM) dati sperimentali Soluzione num. (BEM)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x
−0.50
−0.40
−0.30
−0.20
−0.10 0.00 0.10 0.20
h
t=2.350s Soluzione num. (FEM) Soluzione num. (BEM) dati sperimentali
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x
−0.50
−0.40
−0.30
−0.20
−0.10 0.00 0.10 0.20
h
t=2.950s
Soluzione num. (FEM) Soluzione num. (BEM) dati sperimentali
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x
−0.50
−0.40
−0.30
−0.20
−0.10 0.00 0.10 0.20
h
t=3.550s Soluzione num. (FEM) Soluzione num. (BEM) dati sperimentali
Figura 4: Andamento della super ie libera negli istanti t = 1:775, 2:375, 2:950,
3:550 s(griglia 205).
In Figura 5 e mostrata la storia temporale dell'elevazione d'onda in un punto
di ontatto al variare del reti olo utilizzato. L'a ordo tra i due metodi migliora
quantopiue tta la grigliaimpiegata.
Per quanto riguardaladimensione ottimale della mesh,assumendo he al dimi-
nuire della dimensione aratteristi a h aumenti la pre isione della soluzione, si puo
osservare he, oltreun erto limite,ilguadagno ottenibileinterminidialtezzad'on-
da non e omparabile on il maggiore impegno di risorse ne essario, ne in termini
di tempo ne di omplessita omputazionale. Passando dalla griglia 205 a quella
4010, la variazione per entuale di altezza e dell'ordine del 6%; inve e, passando
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Figura 5: Andamento nel tempo dell'elevazione d'onda nel punto di ontatto de-
stro: onfronto tra la soluzione ottenuta on il metodoFEM, e diverse griglie, e la
soluzione ottenuta on ilmetodoBEM.
dallagriglia4010aquella8020,talevariazioneedell'ordinedel1:6%. Tuttavia
all'aumentare del tempo di simulazionetale di erenzava res endo.
I dati relativi al tempo di al olo e all'uso di memoria sono riassunti nella
Tabella2.
h (m) user time (s) system time (s) walltime (s) mem. span (byte)
0.112 (205) 1.5366e+03 2.9170e+01 1.6650e+03 1.0253e+04
0.056 (4010) 5.3527e+03 3.8410e+01 5.6638e+03 1.2786e+04
0.028 (8020) 2.4473e+04 8.6380e+01 2.5579e+04 2.2354e+04
Tabella 2: Tempo di al olo e uso di memoria al variare della dimensione
aratteristi adella mesh (i dati siriferis ono aduna HP-UX A 9000/780).
Da questa risulta he la simulazione on la griglia 8020 (h 0:028 m) e
estremamente piu dispendiosa delle prime due, mentre non omporta altrettanto
rilevanti miglioramenti nella soluzione. Pertanto si puo on ludere he la dimen-
sione aratteristi a ottimale per questo problema e h 0:056 m. Per ottenere un
lafrequenza dell'e itazione.
2.4 Caso D e Caso E
NelleFigure6e7sonodes rittelestorietemporalidell'elevazioned'ondainunpunto
di ontatto nel aso in ui l'ampiezza della solle itazione sia pari, rispettivamente,
a0.00372 me a 0.0372m.
-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03
5 10 15 20 25 30
Figura6: Storia temporale delpuntodi ontatto peril aso D.
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
10 20 30 40 50 60
Figura7: Storiatemporale delpuntodi ontatto peril aso E.
a)
x
t -5
-4 -3
-2 -1
0 1
2 3
4 16
18 20
22 24
26 28
30 b)
x
t 0
1 2
3 4
5 6
7 16
18 20
22 24
26 28
30
Figura8: Evoluzionedellasuper ieliberanel asoE (asinistra ome soluzionedel
metodo BEM a destra omesoluzione delmetodoFEM).
An oraunavoltail onfrontotraiduealgoritmirisultamoltosoddisfa ente. Re-
lativamentealmetodoFEMpermanelosmorzamentoevidenziatopre edentemente,
ma in questo aso la di erenza tra i risultati e molto minore avendo utilizzato un
maggior numero di elementi (16010). Ovviamente, se l'ampiezza di os illazione
e minore l'errore ommesso e piu basso. Con tale dis retizzazione, omunque, e
possibilean he oglierefenomenitotalmentenonlineari omequelli he siveri ano
nel aso in ui l'ampiezza di os illazione sia pari a 0.0372 m. Infatti in entrambe
le gure (8.a e 8.b) sinota he il fenomenopiuevidentee la formazionediun'onda
he si muove attraverso il ontenitore. Nella gia itata Figura 7 i pi hi di grande
ampiezza orrispondono all'avvi inarsi dell'onda alle pareti, mentre i massimi re-
lativi he si manifestano quando l'altezza d'onda e negativa si riferis ono all'onda
stazionaria sempreasso iata al fenomenodi sloshing.
2.5 Caso F
Questo aso risulta tra i piu gravosi: la frequenza di os illazione e molto vi ina
a quella di risonanza, il rapporto tra profondita del ontenitore e la sua ampiezza
risultamoltopi oloel'ampiezzadios illazioneegrande. Cisipuoquindiaspettare
he glie etti di non linearitasiano subito per epibili.
Per questo motivo e stata s elta una dis retizzazione spaziale aratterizzata da
un grannumero dielementi(50010). In Figura9 sonomostrateleos illazionidel
punto di ontatto destro e sinistro del ontenitore ome risultato della simulazione
on il odi e BEM e on il odi e FEM.
Entrambi i modelli ries ono a dare risultati no a t ' 10 s. In orrispondenza
ditale istante sihanno delle ondizioni dibreaking in ipiente he questi odi inon
ries ono a seguire. In Figura 10e riportata l'evoluzione della super ie libera per
emtrambi;an heinquesto aso,sipuodire he, noall'istante onsiderato,l'a ordo
eottimo. Perun maggiordettaglio,in Figura11viene riportatala super ielibera
0 5 10 t
−1
−0.5 0 0.5 1
eta
eta_s: FEM eta_d: FEM eta_d: BEM eta_s: BEM
Figura9: CasoF: andamentotemporaledell'elevazioned'ondaneipuntidi ontatto
destro esinistro.
BEM
x t
-10 -5
0 5
10 1
2 3
4 5
6 7
8 9
FEM
x t
-10 -5
0 5
10 1
2 3
4 5
6 7
8 9
Figura10: Evoluzione della super ielibera.
x
η
0 10 20
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
FEM BEM
Figura 11: Super ielibera at =6:4 s.
3 Considerazioni on lusive
Per onfrontare e ettivamente le diverse aratteristi he dei due odi i, vengono
riportati inTabella3 i valoridi:
time step,
numero dielementi lungo laparete verti ale,
numero dielementi lungo lasuper ie libera.
In generale si puo osservare he per ottenere la stessa pre isione il odi e FEM
ne essita diun maggiorenumero dielementie, on ordemente on questas elta, di
un t minore.
Un altro elementodiinteressee iltempo omputazionale ne essario per portare
a termine la simulazione. Un tale tipo di onfronto e stato e ettuato per il aso
F esi e trovato he, sulla stessa ma hina (HP),il odi e BEM haimpiegato ir a
un'oraper ompletarelasimulazione,mentre iltempo omputazionale ri hiestodal
odi e FEM e di ir a due giorni.
Allostesso modosi possonoanalizzare leproprietadi onservazione della massa
dei due odi i. Dalla Figura 12 e evidente ome, per entrambi i modelli, quando
i fenomeni di non linearita sono tras urabili, le proprieta di onservazione della
massasonobuone. Quando, inve e,lenonlinearitadiventanopredominanti,l'errore
ommesso aumenta.
In on lusione, il odi e BEM risulta piu eÆ iente in quanto ri hiede un minor
tempo di al olo e minori risorse di memoria. Al ontrario il odi e FEM, piu
t(s) FEM 0.05 0.005 0.0050 0.0100 0.0100 0.0050
t(s) BEM 0.0152 0.0112 0.0236 0.0262 0.0131 0.0800
N
x
N
y
FEM 205 205 8020 16010 16010 50010
N
x
N
y
BEM 3015 4015 4020 4010 4010 753
Tabella 3: Tabella riassuntiva delle aratteristi he della geometria e del time step
per lesimulazionie ettuate.
-1 0 1 2 3 4
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-2 -1 0 1 2
10 20 30 40 50
-5 0 5 10 15 20 25 30 35
10 20 30 40 50
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Figura12: Conservazione della massa per i diversi asi.
generale, onsente di ri avare informazioni an he sul omportamento del liquido
all'internodel dominio.
Riferimenti bibliogra i
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Emphasis on Moving Boundaries and Interfa es. PhD thesis, Department of
Aerosap e Engineering and Me hani s, University of Minnesota, 1992.
[2℄ G.Coli hio. Dinami adivei olimarini onliquidiabordo,1998.Tesidilaurea.
elementi niti indomini mobili. Te hni al report, INSEAN, 1999.
[4℄ T.OkamotoandM.Kawahara. Two-dimensionalsloshinganalysisbylagrangian
nit element method. International Journal for Numeri al Methods in Fluids,
11:453{477, 1990.
