Secondo compitino di Istituzioni di Fisica Matematica 20 Dicembre 2016
(usare fogli diversi per esercizi diversi)
Esercizio 1. Si considerino le due funzioni H 1 (p, q) = 1
2 (|p| 2 + |q| 2 ), H 2 (p, q) = 1
2 |p| 2 + q 2 , con p = (p 1 , p 2 ), q = (q 1 , q 2 ) ∈ R 2 .
i) Si dimostri che i campi vettoriali hamiltoniani X j = X H
j, j = 1, 2, sono integrabili, trovando in ciascuno dei due casi una coppia di integrali primi F j , G j in involuzione e genericamente 1 indipendenti su R 2 × R 2 .
ii) Si dimostri che il campo vettoriale
X 3 = [X 2 , X 1 ]
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e hamiltoniano e integrabile, trovando una coppia di integrali primi F 3 , G 3
in involuzione e genericamente indipendenti su R 2 × R 2 . iii) Si consideri il flusso
Φ t 3 (p, q) del campo vettoriale X 3 e la proiezione naturale
π 2 : R 2 × R 2 → R 2 , π 2 (p, q) = (p 2 , q 2 ).
Si dimostri che per ogni (¯ p 1 , ¯ q 1 ) ∈ R 2 la mappa R 2 3 (p 2 , q 2 ) 7→ π 2 ◦ Φ t 3 (¯ p 1 , p 2 , ¯ q 1 , q 2 ) conserva l’area.
Esercizio 2. Si consideri la hamiltoniana H (I, ϕ) = 1
2 |I| 2 + f (ϕ), I = (I 1 , I 2 , I 3 ) ∈ R 3 , ϕ = (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ) ∈ T 3 , con
f (ϕ) = cos(ϕ 1 + ϕ 2 + ϕ 3 ) − cos(2ϕ 1 − ϕ 2 − ϕ 3 ).
i) Si trovi la forma normale risonante ˜ H di H relativa alla risonanza singola definita da k = (2, −1, −1).
ii) Si consideri la hamiltoniana H ottenuta da ˜ H trascurando i termini O( 2 ) e si dimostri che essa definisce un sistema hamiltoniano integrabile trovando tre integrali primi in involuzione e genericamente indipendenti.
iii) Descrivere l’andamento delle variabili di azione I j , j = 1, 2, 3 al primo ordine in e mostrare che, all’interno della risonanza considerata, vale il principio della media.
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