Secondo compitino di Istituzioni di Fisica Matematica 18 Dicembre 2015

Secondo compitino di Istituzioni di Fisica Matematica 18 Dicembre 2015

(usare fogli diversi per esercizi diversi)

Esercizio 1. Si considerino i due sistemi hamiltoniani con funzioni di Hamilton H ₁ (p, q) = 1

2 |p| ² + 1

2 |q| ² , H ₂ (p, q) = 1

2 |p| ² − 1

|q| , definiti rispettivamente sugli insiemi

D ₁ = R ² × R ² , D ₂ = R ² × (R ² \ {0}).

Siano inoltre Φ ^t ₁ , Φ ^t ₂ i flussi dei campi vettoriali hamiltoniani X ^H

, X ^H

associati ad H ₁ , H ₂ . 1. Scrivere le espressioni dei campi X ^H

, X ^H

e mostrare che in generale i flussi Φ ^t ₁ e Φ ^t ₂ non

commutano.

2. Trovare un sottoinsieme I di R ² × R ² , invariante per entrambi i campi X ^H

, X ^H

, tale che i flussi Φ ^t ₁ , Φ ^t ₂ ristretti ad I commutino. ¹

3. Trovare una funzione f (p, q) definita su R ² × R ² che soddisfi la relazione {{H ₁ , H ₂ }, f } = 0.

Esercizio 2. Si consideri il sistema hamiltoniano con funzione di Hamilton H ^ǫ (I, ϕ) = h(I) + ǫf (I, ϕ),

con

h(I) = I ₁ ω ₁ + I ₂ ²

2 , f (I, ϕ) = I ₁ cos(2ϕ ₁ + ϕ ₂ ) sin(ϕ ₁ + 2ϕ ₂ ), dove

I = (I ₁ , I ₂ ) ∈ R ² , ϕ = (ϕ ₁ , ϕ ₂ ) ∈ T ² , ω ₁ ∈ R \ {0}, ǫ ≪ 1.

1. Determinare una funzione generatrice di una trasformazione canonica vicina all’identit` a (I, ϕ) ^Ψ 7→ (˜I, ˜

ϕ)

tale che la hamiltoniana K ^ǫ = H ^ǫ ◦ Ψ ⁻¹ ǫ non dipenda da ˜ ϕ al primo ordine in ǫ.

2. (facoltativo) Scrivere esplicitamente lo sviluppo di Taylor della hamiltoniana K ^ǫ fino al secondo ordine in ǫ.

1

Suggerimento: si consideri il campo hamiltoniano con funzione di Hamilton K(p, q) = 1

2 [|p|

|q|

− (p · q)

], si dimostri che le funzioni

|p|

, p · q, |q|

sono costanti lungo le soluzioni del sistema hamiltoniano definito da K e si scelgano valori particolari per tali

costanti.