Analisi e Modelli Matematici

Lezione 5 Marzo - Aprile 2014

Vibrazioni meccaniche libere di un punto materiale P di massa m

t�→ x(t) rappresenta la posizione di P sulla retta e soddisfa l’equazione m x^��(t) =−k x(t) dove “k” è positivo ed è un coefficiente di elasticità.

Vibrazioni meccaniche libere di un punto materiale P di massa m

t�→ x(t) rappresenta la posizione di P sulla retta e soddisfa l’equazione m x^��(t) =−k x(t) dove “k” è positivo ed è un coefficiente di elasticità.

L’equazione precedente viene abitualmente scritta come

x^��=−ω²x dove ω :=�_m

k > 0

Equazioni differenziali-soluzioni analitiche

Equazioni differenziali-soluzioni con tecniche analiticheIntegrale generale di equazioni lineari del secondo ordine a Ricerca di integrali generali coefficienti costanti

Studiamo equazioni del tipo

y

+ 2γ y

+ δy = 0 ^{γ, δ} ∈ R

Cerchiamo soluzioni del tipo:

y(t) = e

λ ∈ R

Sostituendo nell’equazione si ottiene:

(λ

+ 2γλ + δ)e

= 0

che è verificata per ogni t reale esattamente quando è una soluzione dell’equazione:

λ

+ 2γλ + δ = 0

λ

Equazioni differenziali-soluzioni analitiche

Equazioni differenziali-soluzioni con tecniche analiticheIntegrale generale di equazioni lineari del secondo ordine a Ricerca di integrali generali coefficienti costanti

Studiamo l’equazione differenziale:

y

+ 2γ y

+ δy = 0 ^{γ, δ ∈ R} λ

+ 2γλ + δ = 0

Se

γ

− δ > 0

λ

= −γ − �

γ

− δ, λ

= −γ + �

γ

− δ

la cui equazione caratteristica è

e l’integrale generale dell’equazione differenziale è

y(t) := c

e

+ c

e

Equazioni differenziali-soluzioni analitiche

Equazioni differenziali-soluzioni con tecniche analiticheIntegrale generale di equazioni lineari del secondo ordine a Ricerca di integrali generali coefficienti costanti

Studiamo equazioni del tipo

y

+ 2γ y

+ δy = 0

λ

+ 2γλ + δ = 0

avremmo due soluzioni complesse coniugate.

con l’equazione caratteristica Se

γ

− δ < 0

Si potrebbe procedere come prima utilizzando esponenziali complessi. Se vogliamo evitarlo, basta osservare che le due funzioni

y

(t) := e

sin( �

δ − γ

t), y

(t) := e

cos( �

δ − γ

t)

sono entrambe soluzioni dell’equazione differenziale e quindi, ponendo

ω := �

δ − γ

l’integrale generale è

Equazioni differenziali-soluzioni analitiche

Equazioni differenziali-soluzioni con tecniche analiticheIntegrale generale di equazioni lineari del secondo ordine a Ricerca di integrali generali coefficienti costanti

Studiamo equazioni del tipo

y

+ 2γ y

+ δy = 0

λ

+ 2γλ + δ = 0

con l’equazione caratteristica

Infine se

γ

− δ = 0

γ

= δ

le funzioni

y

(t) := e

, y

(t) := t e

sono soluzioni e l’integrale generale è

y(t) := e

(c

+ c

t)

Equazioni differenziali-soluzioni analitiche

Equazioni differenziali-soluzioni con tecniche analiticheIntegrale generale di equazioni lineari del secondo ordine a Ricerca di integrali generali coefficienti costanti

Analogia con le successioni per ricorrenza del secondo ordine

�s0= α, s1 = β sono assegnati,

sn+1= Asn+ Bsn−1

verifica la condizione:sn:= λⁿ₁ sn+1= Asn+ Bsn−1

esattamente quando è una soluzione dell’equazione caratteristicaλ1

λ²− Aλ − B = 0

se sono soluzioni dell’equazione caratteristica allora tutte le successioni della forma ^{λ1, λ2}

sn:= c1λⁿ₁+ c2λⁿ₂

Vibrazioni meccaniche libere di un punto materiale P di massa m

t�→ x(t) rappresenta la posizione di P sulla retta e soddisfa l’equazione m x^��(t) =−k x(t) dove “k” è positivo ed è un coefficiente di elasticità.

L’equazione precedente viene abitualmente scritta come

x^��=−ω²x dove ω :=�_m

k > 0 Le soluzioni sono della forma

t�→ x(t) := c1cos(ωt) + c2sin(ωt) per t∈ R.

c1= x(0) c2ω = x^�(0)

posizione per t=0 velocità per t=0

Quindi l’unica soluzione del problema di Cauchy







x^��=−ω²x x(0) = x0

x^�(0) = v0

è la funzione t�→ x(t) := x0cos(ωt) +^v_ω⁰sin(ωt)

Quindi l’unica soluzione del problema di Cauchy







x^��=−ω²x x(0) = x0

x^�(0) = v0

è la funzione t�→ x(t) := x0cos(ωt) +^v_ω⁰sin(ωt) = A cos(ωt + ω0)

2 4 6 8 10

�1.0

�0.5 0.5 1.0

2 4 6 8 10

�1.0

�0.5 0.5 1.0

A = 1, ω₀= 0 A = 1, ω0= π/2

Quindi l’unica soluzione del problema di Cauchy







x^��=−ω²x x(0) = x0

x^�(0) = v0

è la funzione t�→ x(t) := x0cos(ωt) +^v_ω⁰sin(ωt) = A cos(ωt + ω0)

A =

�

x²₀+_ω^v202 è l’ ampiezza del moto

ω0= arccos�_x0

A

� è la fase del moto.

Nota che A>0 tranne che nel caso in cui P sia fermo nell’origine.

Esercizio: scrivere c1cos(ωt) + c2sin(ωt) A cos(ωt + ω0)

come

t�→ x(t) := x0cos(ωt) +^v_ω⁰sin(ωt)

= A cos(ωt + ω0)

�1 1 2 3 4 5 6

�2

�1 1 2

�1 1 2 3 4 5 6

�2

�1 1 2

Vibrazioni meccaniche con una forza esterna periodica

�y^��+ ω²y = sin(δt)

y(0) = y^�(0) = 0 ω²�= δ² La soluzione è

t�→ y(t) := 1 ω²− δ²

�−δ

ωsin ωt + sin δt�

Se ω = 1, δ = 1.4

50 100 150 200

1 2

Vibrazioni meccaniche con una forza esterna periodica

�y^��+ ω²y = sin(δt)

y(0) = y^�(0) = 0 ω²�= δ² La soluzione è t�→ y(t) := 1

ω²− δ²

�−δ

ωsin ωt + sin δt� Se ω = 1, δ = 1.1

50 100 150 200

�10

�5 5 10

ω = 1, δ = 1.1

50 100 150 200

�10

�5 5 10

ω = 1, δ = 1.05

100 200 300 400

10 20

Vibrazioni meccaniche libere di un punto P di massa m con resistenza viscosa

t�→ x(t) rappresenta la posizione di P sulla retta e soddisfa l’equazione

L’equazione precedente viene abitualmente scritta come

La forma delle soluzioni dipende dalla grandezza reciproca dei coefficienti m x^��(t) =−k x(t) − βx^�(t)

x^��+ 2γx^�+ ω²x = 0 dove ω :=�_m

k > 0 e γ =¹_2m^β

x^��+ 2γx^�+ ω²x = 0 γ > 0

L’equazione caratteristica è

λ²+ 2γλ + ω²= 0 che ha le soluzioni

λ1=−γ −�

γ²− ω² λ2=−γ +� γ²− ω²

(debole smorzamento)

Continuano ad esserci oscillazioni però smorzate.

0 < γ < ω

Le soluzioni dell’equazione caratteristica sono:

λ

= −γ − i �

ω

− γ

λ

= −γ + i �

ω

− γ

Ponendo per semplicità

ν = �

ω

− γ

l’integrale generale è

x(t) := e

(c

cos(νt) + c

sin(νt))

oppure, in altra forma,

x(t) := Ae

cos(νt + α)

(debole smorzamento)

0 < γ < ω

2 4 6 8 10

�1.0

�0.5 0.5 1.0

2 4 6 8 10

�1.0

�0.5 0.5 1.0

ω = 2, γ = 0.2 ω = 2, γ = 0.8

Esempi di soluzioni sono

Se supponiamo

γ > ω

λ

, λ

L’integrale generale dell’equazione differenziale è:

x(t) := c

e

+ c

e

per arbitrarie costanti reali c1 e c2. allora

Tutte le soluzioni hanno limite zero per t tendente a +∞ Non ci sono andamenti oscillatori.

γ > ω

0 2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

0 2 4 6 8 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Esempi di soluzioni sono:

x(0) = 1, x^�(0) = 1 x(0) = 1, x^�(0) =−1

γ > ω

2 4 6 8 10

�1.0

�0.5 0.5 1.0 1.5

x(0) = 1, x^�(0) =−5

Nel numero di Settembre 1687 della rivista Nouvelles de la République des lettres Leibniz pone il seguente problema:

“trovare una curva y(x) tale che, quando un corpo scivola lungo questa curva, la sua velocità verticale dy/dt sia in ogni istante uguale ad una costante assegnata -b”

0.1 0.2 0.3 0.4

�25

�20

�15

�10

�5

−b

−b

−b

La soluzione viene data un mese più tardi dal “Vir Celeberrimus Christianus Hugenius” , ma senza dimostrazione. Leibniz pubblica una “dimostrazione” nel 1689 che lascia insoddisfatti i contemporanei. Invece una dimostrazione che usa il “moderno” calcolo differenziale è pubblicata da Jacob Bernoulli (1690).

Galileo aveva scoperto che se un corpo cade, a partire dall’origine, la sua velocità quando raggiunge un quota y<0 è

v = �

−2gy

dove “g” è l’accelerazione di gravità ed è una costante.

Quindi se s(t)=(x(t),y(t)) rappresenta la traiettoria del punto in caduta

� �

� � ds dt

� �

� �

2

= −2gy(t)

Cioè

��

�� ds dt

��

��

2

=

�dx dt

�2

+

�dy dt

�2

=−2gy(t)

utilizzando la condizione

�dy dt

�2

= b² si ottiene

e quindi

�dx dt

�2

+

�dy dt

�2

=

�dx dy

dy dt

�2

+

�dy dt

�2

= b²

��dx dy

�2

+ 1

�

=−2gy(t)

� �

Cioè

��

�� ds dt

��

��

2

=

�dx dt

�2

+

�dy dt

�2

=−2gy(t)

utilizzando la condizione

�dy dt

�2

= b² si ottiene

e quindi

�dx dt

�2

+

�dy dt

�2

=

�dx dy

dy dt

�2

+

�dy dt

�2

= b²

��dx dy

�2

+ 1

�

=−2gy(t)

�dx dy

�2

=−1 −2gy(x) b²

otteniamo infine

ed equivalentemente dx dy =−

�

−1 −2gy(x) b²

dy

dx =− 1

�

−1 −^2g_b²y(x)

Si tratta di una equazione a variabili separabili. Procedendo come al solito:

−

� �

−1 −2g b²y dy =

� dx

� �3/2

con la condizione iniziale y(0) =−b² 2g

si ottiene c=0. Infine esplicitando y(x):

y(x) =−b² 2g

� 1 +

�3g b²

�2/3

x^2/3

�

y(0) =−b² 2g

“Solutio sit linea paraboloeides quadrato cubica...” (Leibniz)

“Il famoso medico parigino Claude Perrault, altrettanto famoso per i suoi studi di meccanica e di architettura ... e membro dell’Accademia Reale Francese delle Scienze, propose questo problema a me e a molti altri prima di me, ammettendo chiaramente di non essere stato in grado di risolverlo...”

Leibniz (1693)

Per quale curva la lunghezza del segmento di tangente, compreso fra la curva e l’asse delle ascisse, è costante?

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

y(x)

x _x− ^y(x)

y^�(x) a

a = 1

y(x)

+

� y(x) y

(x)

�

= a

y(x)

+

� y(x) y

(x)

�

= a

y

(x) = − y(x)

� a

− y(x)

Abbiamo scelto il segno meno compatibilmente con il disegno precedente.

E’ ancora un’equazione a variabili separabili, quindi

−

� a

− y

y dy = dx

−

� � a

− y

dy = x + c

−

� � a

− y

y dy = x + c

La primitiva si calcola esplicitamente con la sostituzione

� a

− y

= v, a

− y

= v

, −ydy = vdv

e si ottiene

� v

a

− v

dv = x + c

−v + a

2 log | a + v

a − v | = x + c

che si integra con la tecnica dei “fratti semplici” (introdotta da Johann Bernoulli nel 1702) ottenendo

−

� � a

− y

y dy = x + c

Quindi da

si ottiene

− �

a

− y

+ a log( a + �

a

− y

y ) = x + c

e con la condizione y(0)=a si ha c=0

x = − �

a

− y

+ a log( a + �

a

− y

y )

x = − �

a

− y

+ a log( a + �

a

− y

y )

�2 �1 0 1 2

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Nel 1690 Jakob Bernoulli pose esplicitamente il problema di trovare la curva che rappresenta la forma di un cavo pesante, flessibile e inestendibile, appeso liberamente a due punti fissi. Questa curva è chiamata da Leibniz “Catenaria”.

Il problema era stato trattato da Leonardo da Vinci nel XV secolo.

Galileo nel 1638 aveva affermato che la forma assunta fosse simile a quella di una parabola “la catenella cammina quasi ad unguem sopra la parabola”.

Nel 1646 Christiaan Huygens (16 anni) aveva mostrato, in una lettera a Padre Mersenne, con ragionamenti fisici, che la catenaria non poteva essere una parabola.

Negli <<Acta Eruditorum>> del giugno 1691, Leibniz, Huygens, Johann Bernoulli pubblicano, indipendentemente, le loro soluzioni.

“...Gli sforzi di mio fratello non ebbero successo; per parte mia fui più fortunato, perché trovai il modo di risolverlo ... E’ vero che mi costò tanto sforzo da rubarmi il riposo per una intera notte... il mattino successivo corsi da mio fratello che stava lottando contro questo nodo gordiano pensando, come Galileo, che la catenaria fosse una parabola. Alt. Alt, gli dico...”

Johann Bernoulli (lettera a Pierre de Montmort del 1718)

�1.0 �0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 0.5

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

A

V

La pendenza in A è proporzionale alla massa M della catena nel tratto VA, la quale a sua volta è proporzionale ala lunghezza dello stesso tratto di catena

c y

(x) =

�

� 1 + y

(t)

dt

c y

(x) = �

1 + y

(x)

Sostituendo y’(x)=p(x)

c p

= �

1 + p

che è a variabili separabili

c 1

� 1 + p

dp = dx

c 1

� 1 + p

dp = dx

c

� 1

� 1 + p

dp =

� dx

c sinh

(p) = x + c

p(x) = y

(x) = sinh( x c + c

c )

se poniamo la condizione y’(0)=0 otteniamo c1=0

se poniamo la doppia condizione y’(0)=0 e y(0)=1 otteniamo c1=c2=0

y

(x) = sinh( x c + c

c )

y(x) = c cosh( x c + c

c ) + c

y(x) = c cosh( x

c )

�1.0 �0.5 0.5 1.0

�1 1 2 3 4

Tre catenarie di diversa lunghezza con gli stessi estremi: (-1,4) e (1,4)

Confronto fra la catenaria (in rosso) e la parabola (in azzurro) con gli stessi estremi e lo stesso vertice.

�1.0 �0.5 0.5 1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Confronto fra la catenaria (in rosso) e la parabola (in azzurro) con gli stessi estremi e lo stesso vertice. La differenza diventa più marcata quando le pendenze sono maggiori.

0.5 1.0 1.5 2.0

2 3 4 5 6

Cattedrale di St Paul (Londra) Sir Christopher Wren

Gateway Arch a St.Luis (1968) Eero Saarinen- Hannskarl Bandel

Iraq- Ctesiphon IV sec A.C.

Negli <<Acta Eruditorum>> del 1696 Johann Bernoulli propose, come sfida agli altri matematici, il problema in seguito diventato famoso come problema della brachistocrona.

“Dati due punti A e B in un piano verticale, determinare il cammino AMB lungo il quale una particella M che parte da A ed è soggetta unicamente al proprio peso raggiunge B nel tempo minore.”

Joh. Bernoulli

Il problema era già stato affrontato da Galileo nel 1638. Galileo aveva dimostrato, correttamente, che il segmento congiungente A e B non era la traiettoria ottimale, ma aveva poi concluso, in modo errato, che la traiettoria ottimale fosse un arco di circonferenza.

Johann Bernoulli Basilea 1667- Basilea 1748

Johann Bernoulli usa il “Principio di Fermat”, secondo il quale il percorso di massima velocità media (e minimo tempo di percorrenza) per un corpo che parte da A e raggiunge B e deve attraversare due regioni nelle quali si muove con velocità differenti

A

B velocit`a v1

velocit`a v2

v1< v2

è caratterizzato dalla condizione seguente Le tecniche di soluzione utilizzate sono differenti.

“Principio di Fermat”

A

B velocit`a v2

velocit`a v1 α1

α2

v

sin α

= v

sin α

Considerando lo spazio diviso in tanti strati orizzontali in ciascuno dei quali la velocità di caduta è costante e uguale a , poiché y(x)<0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

�3.0

�2.5

�2.0

�1.5

�1.0

�0.5

dx ds dy

v =�

−2gy

α

Johann Bernoulli osserva che il principio di Fermat implica la condizione:

v

sin α= costante inoltre, poiché

sin α =dx

ds = 1

�1 + (dy/dx)² o t t i e n e l ’ e q u a z i o n e differenziale

Che può essere riscritta come

� −2gy �

1 + (y

)

= K

y^�=−

�

2gy + K²

−2gy

La scelta del segno della radice è motivata dal fatto che y’(x)<0.

−

� −2gy

2gy + K²dy = dx e ponendo si ottiene:δ =K²

2g

integrando si ottiene

Imponendo la condizione che il moto abbia inizio dall’origine, cioè y(0)=0 si ottiene c=0.

La soluzione assume i valori −δ ≤ y(x) ≤ 0

con M=4, otteniamo il grafico

1 2 3 4 5 6

�3

�2

�1