Sezione trasversale della trave:

ANALISI DINAMICA DI UNA TRAVE CON MASSA CONCENTRATA E FORZANTE ARMONICA - Dott, Ing. Simone Caffè - 8/04/2014 Luce della trave:

L _t := 10 m ⋅

Sezione trasversale della trave:

h _t := 0.8 m ⋅ b _t := 0.5 m ⋅

Caratteristiche del materiale:

γ _cls 25 kN m ³

⋅ :=

E _cm := 31000 MPa ⋅

Carico dovuto al peso proprio della trave:

q _SW h _t ⋅ b _t ⋅ γ _cls 10 kN

⋅ m

= :=

Massa dovuta al peso proprio e concentrata in mezzeria:

m _SW q _SW

g L _t

⋅ 2 = 5.099 × 10 ³ kg

:= P _SW := m _SW ⋅ g = 50 kN ⋅

Momento di inerzia della trave:

I

b _t ⋅ h _t ³

12 = 0.021 m ⁴ :=

Rigidezza flessionale della trave:

K _t

48 E ⋅ _cm ⋅ I L _t ³

3.174 × 10 ⁴ kN

⋅ m

= :=

Carico concentrato in mezzeria che simula la presenza della parte statica della massa:

P _M := 200 kN ⋅

Massa dovuta al carico P:

m _P P _M

g = 2.039 × 10 ⁴ kg :=

Periodo proprio di vibrare della trave + massa concentrata:

T ₀ 2 π ⋅ ( m _SW + m _P )

K _t

⋅ = 0.17806 s

:=

f ₀ := T ₀ ^{− 1} = 5.61618 Hz ⋅

ω ₀ 2 π ⋅ ⋅ f ₀ 35.288 rad

⋅ s

= :=

Si consideri ora una forzante armonica verticale che varia intensità in funzione della frequenza " f " rispetto alla frequenza propria di oscillazione f

:

f _macchina := 3 Hz ⋅

F _V ( ) f 100 kN ⋅ f f _macchina

 



 



2

⋅ :=

0 2 4 6 8 10

0 5 10 × ⁵ 1 10 × ⁶ 1.5 10 × ⁶

F _V ( ) f

f

Rapporto di smorzamento rispetto al critico:

ξ := 0.03 (nell'analisi Steady State il rapporto di smorzamento deve essere inputato doppio rispetto all'analisi nel dominio del tempo: ξ =0.06) Si definisce la "parte reale" dello spostamento:

u _{z_real} ( ) f F _V ( ) f K _t

1 2 π ⋅ ⋅ f ω ₀

 



 



2

 −

 



 

1 2 π ⋅ ⋅ f ω ₀

 



 



2

 −

 



 

2

2 ξ ⋅ 2 π ⋅ ⋅ f ω ₀

 



 

⋅ 

 



 



2 +

⋅ :=

Si definisce la "parte immaginaria" dello spostamento:

u _{z_imm} ( ) f F _V ( ) f K _t

− 2 ⋅ ξ 2 π ⋅ ⋅ f ω ₀

 



 

⋅ 

1 2 π ⋅ ⋅ f ω ₀

 



 



2

 −

 



 

2

2 ξ ⋅ 2 π ⋅ ⋅ f ω ₀

 



 

⋅ 

 



 



2 +

⋅ :=

Spostamento verticale complessivo: Spostamento statico della forzante:

u _z ( ) f := u _{z_real} ( ) f ² + u _{z_imm} ( ) f ²

u _{z_stat} ( ) f F _V ( ) L f ⋅ _t ³ 48 E ⋅ _cm ⋅ I :=

0 2 4 6 8 10

0 0.05 0.1 0.15

u _z ( ) f u _{z_stat} ( ) f

f f := 1 Hz ⋅

f _max ^:= Maximize u ( ) _z , f ^{= 5.621 Hz ⋅} u _z ( ) f _max ^{= 184.087 mm ⋅}

INPUT SAP 2000 PER ESEGUIRE L'ANALISI STEADY STATE:

Carico che simula la massa della macchina:

Forza armonica:

Funzione STEADY STATE:

f STEADY_STATE ( ) ν ν f _macchina

 



 



2 :=

0 2 4 6 8 10

0 5 10 15

f STEADY_STATE ( ) ν

ν

ANALISI STEADY STATE:

RISULTATO DELL'ANALISI

u _z ( ) f _max ^{= 1.841 × 10 2 ⋅ mm} f _max = 5.621 × 10 ⁰ ⋅ Hz

INPUT SAP 2000 PER L'ANALISI TIME HISTORY:

Frequenza alla quale si verifica lo spostamento massimo:

f _TH := f _max = 5.621 Hz ⋅ ω _TH 2 π ⋅ ⋅ f _TH 35.319 rad

⋅ s

= :=

Periodo:

T _TH := f _TH ^{− 1} = 0.178 s

Intensità della forzante alla frequenza pari a f

:

F _TH ^:= F _V ( ) f _TH ^{= 351.093 kN ⋅}

Definizione della funzione Time History:

F _v ( ) t ^:= F _TH ^⋅ cos 2 π ( ⋅ ⋅ f _TH ⋅ t )

Numero di cicli:

n _cicli := 50

Tempo di integrazione:

t _TH := n _cicli ⋅ T _TH = 8.895 s

0 2 4 6 8

− 4 × 10 ⁵

− 2 × 10 ⁵ 0 2 10 × ⁵ 4 10 × ⁵

F _v ( ) t

t

Definizione della funzione TH su SAP 2000:

F _applicata := 100 kN ⋅ (è la forza statica applicata)

T _TH = 0.178 s n _cicli = 50

Amplitude

F _TH

F _applicata = 3.511 :=

Definizione del Load Case - TH:

n output_time_step := n _cicli ⋅ T _TH ⋅ 1000 = 8895 s n output_time_step_size := 0.001

il prodotto di questi due parametri deve essere uguale al tempo di integrazione:

n output_time_step ⋅ n output_time_step_size = 8.895 s smorzamento:

ξ = 0.03

RISULTATO DELL'ANALISI

u _z ( ) f _max ^{= 1.841 × 10 2 ⋅ mm}

Massa totale adimensionale del sistema:

m _adm ( m _SW + m _P )

kg = 2.549 × 10 ⁴ :=

Pulsazione propria adimensionale del sistema:

ω _{0_adm} := ω ₀ ⋅ s = 35.288 Smorzamento del sistema:

ξ = 0.03

Forzante adimensionale alla frequenza f

: F _{TH_adm} F _TH

N = 3.511 × 10 ⁵ :=

Pulsazione adimensionale della forzante armonica:

ω _{TH_adm} := ω _TH ⋅ s = 35.319

Forzante armonica adimensionale:

f _{TH_adm} ( ) t ^:= F _{TH_adm} ^⋅ cos ω ( _{TH_adm} ⋅ t )

Soluzione dell'equazione adimensionale del moto:

Given

u'' t ( ) + 2 ξ ⋅ ⋅ ω _{0_adm} ⋅ u' t ( ) + ω _{0_adm} ² ⋅ u t ( ) 1

m _adm ⋅ f _{TH_adm} ( ) t

= (l'apice si inserisce con Ctrl + F7)

u 0 ( ) = 0 (l'apice si inserisce con Ctrl + F7) u' 0 ( ) = 0 (l'apice si inserisce con Ctrl + F7) u := Odesolve t 15 ( , )

0 5 10 15

− 0.2

− 0.1 0 0.1 0.2

u t ( )

t

t _{u_max} := 8.94

u t ( _{u_max} ) ^{= 0.184} analogo allo spostamento verticale determinato nel dominio delle frequenze: u _z ( ) f _max ^{= 0.184 m} Si dermina ora l'accelerazione verticale massima

a t ( ) t 2

u t ( ) d d

:= 2 t _{a_max} := 7.6048 a _max ^:= a t ( _{a_max} ) ^{= 234.326}

0 2 4 6 8 10

− 300

− 200

− 100 0 100 200 300

a t ( )

t Determinazione del massimo momento flettente in mezzeria:

M _max

12 E ⋅ _cm ⋅ I L _t ²

u _z ( ) f _max

⋅ = 14609 kN m ⋅

:=