                    r v  [] [] [] [] [] [] () ()= Q C i Σ Σ = Cv 1 C/sec d =     14  ()= V V/m F/m N F A  e = = 1,6·10 8,86·10 C F/m ⎡⎣⎤⎦ r r r E F F D D C/m = = qE E Q u u u vr = D E · · u dl d 0 = r 0 = dV q =

Campi  Elettromagnetici   Elettrotecnica   Mattia  Natali    

  1  

Campi  Elettromagnetici  

 Campo  Elettrico:  

 Carica  elettrica:  la  carica  elettrica  dell’elettrone  vale  e

= 1,6·10

⁻¹⁹

C

 Coulomb.  Una  carica  può   essere  di  segno  positivo  o  negativo.  

 Densità  di  carica:  Indica  l’intensità  di  una  carica  distribuita  nello  spazio  

ρ

 

⎡⎣ C/m

³

⎤⎦

.  La  carica   racchiusa  in  un  volume  è  Q

= ρ r 

( )

^dV

∫

V ^.  

 Campo  d’induzione  elettrica:  è  causato  dalla  presenza  di  una  carica  nello  spazio  D



=

u



_r

4πr

² q  con   u^r  versore  radiale  della  carica  (ossia  ha  la  stessa  direzione  del  segmento  che  congiunge  la  carica  ad   un  ipotetico  punto  P),  r  è  la  distanza  tra  P  e  q.  

 Legge  di  Gauss:  il  flusso  di  

D 

 attraverso  una  superficie  chiusa  è  pari  alla  carica  totale  presente   all’interno  di  essa   D



·u  dδ

_n

∫

Σ

^{= q =} ∫

^V

^{ρ dV}

 con  

Σ

 la  superficie  chiusa,   uⁿ  il  versore  normale   alla  superficie  e  d

δ

 la  superficie  infinitesima  utilizzata  per  calcolare  l’integrale.  

 Campo  elettrico:  viene  identificato  con  

E 

 si  misura  in  

[ V/m ]

 volt  al  metro.  

D 

= εE 

 con  

ε

 

[ ] F/m

 (Farad  al  metro)  è  la  permettività  dielettrica  del  mezzo.  

ε = ε

_r

ε

₀,  

ε

_r  è  la  permettività   relativa  che  cambia  a  seconda  del  materiale  del  mezzo  mentre  

ε

₀

= 8,86·10

⁻¹²

F/m

 è  la   permettività  del  vuoto.  

 Forza  elettrica:  

F 

 

[ ] N

 (Newton),  

F

 = qE 

.  Se  il  campo  fosse  generato  da  una  carica  puntiforme   Q    F



= 1

4πr

²

ε

Qqu



_r  con   u^r  versore  che  ha  direzione  della  congiungente  delle  due  cariche.  

 Potenziale  elettrico:  v  

[ ]

V  (Volt)    v r



( ) ⁼ _∫

_r^{r}₀¹

^

^E

^{·dl }

^,  

_r ^

⁰  è  preso  come  punto  di  riferimento  del   potenziale,  ossia  v r

( ) 

₀

^{= 0}

.  Se  il  campo  è  conservativo  significa  che  il  potenziale  non  dipende  dal   percorso  fatto  per  passare  da  

r

⁰



 a  

r

¹



,  ma  dipende  solo  dal  punto  di  partenza  e  d’arrivo.  Infatti  in   un  campo  conservativo  se  calcoliamo  il  potenziale  elettrico  lungo  una  linea  chiusa  

γ

 avremo  

E

·dl

∫

γ ^{= 0.}  

 Differenza  di  potenziale:  v_AB = E

·dl

A

∫

B  ricordiamo  che  la  carica  passa  sempre  da  un   potenziale  alto  a  uno  basso.  

 Carica  e  Potenziale:  la  carica  è  legata  al  potenziale  tramite  la  formula  Q

= Cv

 con  C  capacità  

[ ]

F  (Farad).  

 

 Campi  di  Corrente:  

 Corrente  elettrica:  i  

[ ] A

 (Ampere)  rappresenta  un  flusso  di  cariche  (positive  per  convenzione)  di  

1 C/sec

 attraverso  la  superficie  

Σ

.  

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 Densità  di  corrente:  

J 

 

⎡⎣ A/m

²

⎤⎦

 è  il  flusso  della  corrente  su  una  superficie  

Σ

.  i

= J 

·u  dδ

_n

∫

Σ  con  

uⁿ  versore  normale  alla  superficie.  Se  

J 

 è  uniforme  e  ortogonale  alla  superficie  S    i

= JS

.  



J 

 può  anche  essere  messo  in  relazione  con  la  concentrazione  di  carica  libera  

ρ

 presente  in   un  materiale  e  la  velocità  media  

v

 = µE 

 delle  cariche  ivi  contenute  (

µ

 è  la  mobilità  delle   cariche  libere)    

J

 = ρv 

= ρµE 

= γ E 

 dove  

γ

 

[ ES/m ]

è  la  conducibilità  del  materiale.  

γ

⁻¹

= p

 resistività  del  materiale.  



J

= γ E 

E



= pJ 

 prendono  il  nome  di  “Legge  di  Ohm   microscopica”.  

 Relazione  tra  corrente  e  tensione:  v

= Ri

 e  i

= Gv

 con  R  resistenza  

[ ] Ω

 (Ohm)  e  G  conduttanza  

[ ]

S  (Siemens).  

 

 Campi  magnetici:  

 Campo  magnetico:  

H 

 

[ A/m ]

 è  indotto  da  una  corrente  elettrica.  

 Legge  di  Biot-­‐Savart:  



H

=

u



_ϕ

2πr

i    

 Legge  di  Ampere:   H

·dl

∫

γ ^{= itot}  la  circuitazione  del  campo   magnetico  su  una  curva  

γ

 è  pari  alla  corrente  totale  i_tot  con   concatenata  alla  curva.  Per  determinare  l’orientamento  della   corrente  chiudere  a  pugno  la  mano  destra  alzando  il  pollice,   puntare  il  pollice  verso  la  direzione  della  circuitazione,  le  dita  del   pugno  corrispondono  alla  direzione  della  corrente.  Oppure  per   determinare  il  verso  della  circuitazione  sapendo  la  corrente   puntare  il  pollice  della  mano  destra  verso  la  direzione  della   corrente,  le  dita  del  pungo  hanno  la  stessa  direzione  della   circuitazione.  Molto  spesso  i_tot

= Ni

 dove  N  è  il  numero  di  spire.  

 Induzione  magnetica:  

B

 = µH 

 

[ ] T

 oppure  

Wb/m

²

⎡⎣ ⎤⎦

 (tesla  o  weber  al  metro   quadrato).  

µ = µ

_r

µ

₀  è  la  permeabilità   magnetica  con  

µ

_r  è  la  permeabilità   magnetica  relativa  mentre  

µ

0

= 4π·10

⁻⁷

H/m

 è  la  permeabilità  

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  3  

magnetica  del  vuoto.  

 Quando  

µ

r  è  elevato,  ossia  quando  il  materiale  è  “duro”  (soprattutto  materiali  ferromagnetici   come  ferro,  nichel  e  cobalto)  la  relazione  appena  esposta  non  è  lineare  perché  al  variare  di  

H 

  vi  è  un  ciclo  di  isteresi  più  o  meno  ampio.  

 Flusso  magnetico:  Ψ  

[ ] Wb

 (Weber)  Attraverso  una  superficie  

Σ

,  il  flusso  del  vettore  

B 

  attraverso  

Σ

   

Ψ = B 

·u  dδ

_n

∫

Σ  con   uⁿ  versore  normale  alla  superficie  

Σ

.  

 Flusso  concatenato  Φ = NΨ  con  N  numero  di  spire.  

 Relazione  tra  corrente  e  flusso:  

Φ = Li

 con  L

=

 induttanza,  misurata  in  

[ ] H

 (Henry).  

 Analogie  tra  circuiti  magnetici  e  circuiti  elettrici:  

 Generatore  di  tensione:  Ni    Forza  magnetomotrice.  

 Corrente:  Ψ    flusso  magnetico.  

 Resistore:  R

= ∆ x

µ

0

µ

rS    riluttanza.  

∆ x =

 lunghezza  del  tratto  in  questione  e  S  la  sua   sezione.  

• P

= R

⁻¹

= µ

₀

µ

_rS

∆ x

 permeanza.  

 Legge  di  Ohm:  Ni= RΨ    legge  di  Ohm  magnetica  o  di  Hopkinson.  

• Ricordando  che  Φ = NΨ    

Φ =

N²

R i

= Li

 con  L

=

N²

R

=

N²

µ

₀

µ

_rS

∆ x

 l’induttanza  di  un   avvolgimento  di  N  spire  su   di  un  nucleo  toroidale  di  lunghezza  

∆ x

 e  sezione  S.