Lezione 27 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 1
A) Risoluzione del secondo test 2007 (28/11/2007) B) Risoluzione del secondo test 2008 (22/12/2008)
C) Dal secondo test Corso Meccanica 2005 es. 2 e 3. di seguito riportati
Esercizio 2 Si considerino le rette:
=
= +
= +
= +
=
1 0 : 2
5
3 2 3
: 2
1 z
y r x
t z
t y
kt x
r
(a) Scrivere l’equazione parametrica della retta r2. (b) Per quali valori di k le rette r1 e r2 sono sghembe?
(c) Per quali valori di k esiste un piano α parallelo a r1, parallelo a r2 e passante per i punti (1,0,1) e (1,0,-1)?
(d) Posto k=6 trovare una retta ortogonale a r1, complanare ad r2 e passante per l’origine.
Ricordiamo che per ottenere una rappresentazione parametrica si può porre un’incognita, opportunamente scelta, uguale a t (chiaramente non z) :
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12
: 1
2
=
−
=
=
z
t y
t x r
Poiché i parametri direttori (1,-1/2,0) sono definiti a meno di un fattore di proporzionale, posso scegliere [(-2,1,0)] e ottengo un’altra rappresentazione parametrica :
1
2
2 :
=
=
−
=
z t y
t x
r
(b) Le rette sono entrambe in forma parametrica e conviene ragionare come segue: detti R=(3,2,0) ed S=(0,0,1) due punti distinti rispettivamente di r1 e r2 , le rette sono sghembe se i vettori che hanno per componenti i parametri direttori delle rette e il vettore SR risultano linearmente indipendenti. SR =(3,2, -1)
...
k
...
. 0 1 2
5 3
1 2
3
et ⇔ ≠
−
− k
d
(c) Un piano così fatto deve contenere la retta che passa per (1,0,1) e (1,0,-1) di parametri direttori [(0,0,2)]. Questa
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volta i parametri direttori dovranno essere linearmente dipendenti tra loro
..
. k
..
. 6) 2(k ..
. 0 1 2
5 3
2 0 0
et ⇔ + ⇔
− k d
Tale condizione corrisponde a chiedere che quattro punti
(due propri e due impropri siano
complanari):
..
. k ..
. 6) 2(k ..
. 1 1 0
0
2 0 0 0
0 0 1 2
0 5 3 et
1 1 0
1 1
2 0 0 2 2
0 0 1 0 2
0 5 3 0 det
1 1 0
1
2 0 0 2
0 0 1 2
0 5 3 et
1 1
0 1
1 1 1 1 0 1 1
0 0
1 2
0 5
3 et
1 1 0
1
1 1 0 1
0 0 1 2
0 5 3 et
⇔ +
⇔
=
−
= −
=
−
−
−
−
−
−
=
−
= −
=
−
+
− +
= −
−
−
k d
k k
d
k d
k d
(d)
Osservazione: la retta deve passare per O, dunque anche i piani che la individuano.
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Posto k=6, i parametri direttori della retta r1 sono [(6,3,5)];
la retta ortogonale può essere ottenuta come sezione di un piano ortogonale ad r1 :
6x +3y + 5z + d=0
Imponendo il passaggio per l’origine: 6x +3y + 5z …. .
D’altra parte la retta deve essere complanare con r2 e deve passare per l’origine. Tra tutti i piani del fascio proprio di piani di asse r2 devo ricercare quello passante per O: è evidente che si tratta di x+2y…..
...
...
..
...
...
: s
Esercizio 3
Riconoscere la conica C: 5x2 +2xy + 2y2 + 8y + 6=0 e determinare le coordinate del centro.
Determinare le equazioni degli assi e degli asintoti.
Classificazione
...
..., Conica
0 1 - 10 detA*
0 6
4 0
4 2 1
0 1 5
det ≠ = >
Centro
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Il centro è l’intersezione di due diametri qualsiasi:
le polari di X∞ e Y∞ sono 5x+y=0 e x+2y+4=0;
intersecandole si ottiene x=4/9 y=- 20/9. C=(4/9;-20/9) Assi
Determino i parametri direttori degli assi utilizzando la formula a12 l2 + (a22 - a11)lm –a12m2=0:
l2 + (2- 5)lm –m2=0 risolvendo rispetto a l ottengo
2
13 3m m
l ±
=
Dunque i parametri direttori risultano:
−
+ ,1
2 13 1 3
2 , 13 3
Costruendo le rette che passano per il centro C si ottengono:
9 0
13 10 34 2
13 3
9 0
13 10 34 2
13 3
− =
− −
−
+ = + −
−
y x
y x
.
Asintoti
Ricerco i punti impropri dell’ellisse:
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=
= +
+ +
+
0 x
0 6x
x 8x 2x
x 2x 5x
3
23 3
2 2
2 2
1 2
1
si ottiene l’equazione 5x 2x1x2 2x22 0 2
1 + + =
da risolvere o rispetto a x1 o a x2 ottenendo soluzioni complesse:
5 1
x1 − 2 ± 3 2 = −
= x ix i
.
I punti impropri hanno dunque coordinate omogenee ((-1+3i)/5,1,0) e ((-1-3i)/5,1,0).
Le polari di tali punti danno le equazioni degli asintoti.
In alternativa costruisco le rette con parametri direttori [((-1+3i)/5,1)] e [((-1-3i)/5,1)] passanti per C.
3 0 4 5
1 3
3 0 4 5
1 3
= + +
+
=
− −
−
i i y
x
i i y
x
.
Le equazioni ottenute sono equivalenti (moltiplicando per i) anche a: 3 0
4 5
3+ ± =
± i y
ix .
