Chiarire bene lo spazio e la probabilità utilizzati e le regole usate per la risoluzione

Elementi di Probabilità e Statistica, A.A. 2015-2016

Prova scritta - 11 gennaio 2016

Problema 1. (2+2+2+4 punti) Un gioco elettronico per bambini sceglie a caso una schermata con n immagini diverse (n …ssato; serve da parametro per svolgere l’esercizio per gradi), da mostrare al piccolo giocatore, da un paniere di 12 immagini diverse. Il software è costruito nel seguente modo: per n volte, in sequenza, estrae a caso un’immagine tra le 12; se le n estratte sono diverse, le mostra, altrimenti ripete le n estrazioni; …no a quando non trova n immagini diverse, che può mostrare.

1. Si consideri il caso n = 2. Calcolare la probabilità che, dopo la prima es- trazione di 2 immagini, si debba ripetere l’estrazione. Chiarire bene lo spazio e la probabilità utilizzati e le regole usate per la risoluzione. A posteriori, eventualmente, indicare una risoluzione alternativa.

2. Generalizzare ad n = 4.

3. Consideriamo nuovamente il caso n = 2 (per semplicità di calcolo). Se il software impiega una certa unità di tempo ad eseguire le 2 scelte più la veri…ca sulla diversità, con che probabilità impiegherà strettamente più di 2 unità di tempo prima di poter mostrare le …gure?

4. Tornando ora al caso n = 4, condizionatamente al fatto che il primo tentativo sia fallito, che probabilità c’è che le 4 …gure fossero due coppie, ma non tutte uguali?

Problema 2. (9 punti) Si consideri un vettore aleatorio (X; Y ) avente densità f (x; y) =

C

(x+1)³(y x+1)³ per x > 0, y > x 0 altrimenti

dove C > 0 è una costante opportuna.

1. Veri…care che una tale costante esiste e calcolarla.

2. Osservato che Y 0q.c., si trovi per quali valori di 0reale vale E Y = +1.

3. Veri…care che le v.a. X ed Y X sono indipendenti.

Problema 3. (3+3+5 punti) Si consideri, per 2 [0; 1], la funzione f ( ; x) = C (1 + 2 x) 1_[0;1](x).

1. Trovata C > 0 per cui f ( ; x) è una densità di probabilità, sia X una v.a.

con tale densità. Calcolare il quantile q di ordine di X, 2 (0; 1).

2. Calcolare la speranza g ( ) di X. Siano X1; :::; X_n v.a. indipendenti con den- sità f ( ; x) e sia Xn := ^X1+:::+X_n ⁿ. Dopo aver osservato di quale parametro è stimatore corretto e consistente Xn, trovare uno stimatore consistente Tn di , che sia funzione di Xn. E’plausibile che Tn sia anche stimatore corretto di ?

3. Trovare uno o più intervalli di …ducia al 90% per il parametro . In ultimo, cercare di arrivare ad un risultato del tipo

P 2 Tⁿ C ( ; ; T_n)

pn ; Tn+ C ( ; ; T_n)

pn 1

trovando C ( ; ; Tn). Il simbolo denota una qualche forma di approssi- mazione per n grande.

1 Soluzioni

Esercizio 1.

1) Prendiamo lo spazio di tutti i risultati possibili, cioè le coppie ordinate (n; m) di numeri da 1 a 12; ha cardinalità 12 12; la probabilità è uniforme, quindi pari a _{12 12}¹ . L’evento di cui si richiede il calcolo della probabilità è quello delle coppie (n; n). Esse sono 12, quindi la probabiità richiesta è _{12 12}¹² = ₁₂¹. Si poteva arrivare a questo risultato pensando che, data la prima estrazione, la probabilità di ottenere lo stesso risultato nella seconda era ₁₂¹ .

2) E’lo spazio delle sequenze (n; m; p; q), con distribuzione uniforme₁₂¹4. L’even- to è formato da quelle sequenze in cui ci sono almeno due valori uguali. Si conta meglio la cardinalità del complementare: n può essere scelto in 12 modi diversi;

dato n, m può essere scelto in 11 modi diversi; e così via p in 10 e q in 9, quindi la cardinalità è 12 11 10 9 e la probabilità richiesta è

1 12 11 10 9

12⁴ = 1 11 10 9 12³ = 41

96:

3) La probabilità di impiegare una unità di tempo è 1 ₁₂¹; quella di impiegare due unità di tempo è ₁₂¹ 1 ₁₂¹ (al primo tentativo fallisce, al secondo ha successo, ed i due tentativi sono indipendenti); la probabilità richiesta è quindi

1 1 1

12

1

12 1 1

12 = 1 144:

4) Dobbiamo calcolare P (AjB) dove B è l’evento in cui (n; m; p; q) ha almeno una doppia ed A è l’evento in cui (n; m; p; q) ha esattamente due doppie, diverse tra loro. Si può ad esempio utilizzare la de…nizione (ma anche creare un nuovo spazio probabilizzato): P (AjB) = P (A \ B) =P (B). Il denominatore vale P (B) = ⁴¹96

dal punto 2. L’evento A \ B coincide con A. La probabilità di A è Card (A) =12⁴. Il calcolo di P (A) è un po’laborioso. Detti X1; :::; X₄ i risultati delle 4 estrazioni, vale

P (A) = X12 n;m=1

P (AjX¹ = n; X₂ = m) P (X₁ = n; X₂ = m) = 1 12²

X12 n;m=1

P (AjX¹ = n; X₂ = m) :

Poi, se n = m,

P (AjX¹ = n; X₂ = m) = P (AjX¹ = n; X₂ = n) = 11 12² mentre per n 6= m

P (AjX¹ = n; X2 = m) = 2 12²: Basta ora riunire i risultati.

Esercizio 2.

1) Z ₁

0

Z ₁

x

C

(x + 1)³(y x + 1)³dy dx^{z=y x}= Z ₁

0

C (x + 1)³

Z ₁

0

1

(z + 1)³dz dx

= C Z ₁

0

1 (z + 1)³dz

2

= C 4 da cui C = 4.

2)

E Y =

Z ₁

1

y f_Y (y) dy

f_Y (y) = Z ₁

1

f (x; y) dx = 4 Z y

0

1

(x + 1)³(y x + 1)³dx 1_{y 0} E Y = 4

Z ₁

0

Z y 0

y

(x + 1)³(y x + 1)³dx dy = Z ₁

0

4 (x + 1)³

Z ₁

x

y

(y x + 1)³dy dx che è +1 per 2.

3) Usando la trasformazione (x; y) 7! (x; y x) si vede che la v.a. (U; V ) :=

(X; Y X)ha densità _(u+1)¹²3(v+1)³1_{u 0}1_{v 0}. Esercizio 3.

1)

C Z 1

0

(1 + 2 x) dx = C (1 + )

quindi C = ₁₊¹ . Dato 2 (0; 1), cerchiamo q tale che P X q = , ovvero 1

1 + Z q

0

(1 + 2 x) dx =

da cui ₁₊¹ q + q ² = , q ²+ q (1 + ) = 0; per 6= 0 (il caso = 0 si può risolvere a parte) vale q = ¹

p1+4 (1+ )

2 , di cui la soluzione richiesta è q = 1 +p

1 + 4 (1 + )

2 :

2)

g ( ) = E [X] = 1 1 +

Z 1 0

(1 + 2 x) xdx = 1 1 +

1 2 +2

3 = 3 + 4 6 (1 + ): La v.a. Xnè uno stimatore corretto e consistente di g ( ). La funzione g trasforma

[0; 1] in ¹₂;₁₂⁷ in modo crescente (g⁰( ) = ¹

3(1+ )² > 0). Poniamo Tn= g ¹ Xn = 6X_n 3

4 6X_n

(_{6(1+ )}³⁺⁴ = y, 3 + 4 = y6 (1 + ), (4 6y) = 6y 3), quando Xn sta nel massimo insieme possibile di de…nizione in cui g ¹ è continua crescente; nel seguito per semplicità non considereremo questa di¢ coltà, come se g ¹ fosse de…nita ovunque.

La trasformazione g ¹ su tale dominio è continua, Xn tende in probabilità a g ( ), quindi per un noto teorema g ¹ X_n tende in probabilità a g ¹(g ( )) = .

Non è plausibile che Tn sia anche stimatore corretto, essendo trasformazione nonlineare di uno corretto. Si potrebbe fare una veri…ca per n = 1 (che però non esclude la correttezza per altri valori):

E [T₁] = E 6X 3

4 12X = 1

1 + 2 Z 1

0

(1 + 2 x) 6x 3 4 12xdx:

Però il calcolo è molto lungo.

3) Cerchiamo due v.a. S; T tali che

P ( 2 [S; T ]) 0:9:

Vale

P ( 2 [S; T ]) = P (g ( ) 2 [g (T ) ; g (S)]) :

Per il parametro g ( ) conosciamo un intervallo esatto ed uno approssimato, al 90%. Quello esatto si ottiene da Chebyshev:

P X_n g ( ) >

2

n ² dove

2 = V ar [X] = E X² E [X]²

si può calcolare. Assegnato , si prende in modo che _n²2 = , cioè = p n e vale quindi

P g ( )2 Xⁿ p

n ; X_n+p

n 1 :

A ritroso,

P 2 g ¹ Xn+p

n ; g ¹ Xn p

n 1 :

Quello approssimato si ottiene col TLC, ed ha la formah

X_n ^qp^{1 2}

n ; X_n+ p^{q1 2} n

i . In questo caso avremo

P 2 g ¹ X_n+ q₁ p 2

n ; g ¹ X_n q₁ p 2

n 1 :

A questo punto, per n grande, ^qp1_n² è piccolo, quindi possiamo sviluppare

g ¹ Xn+ q₁ p 2

n g ¹ Xn + Dg ¹ Xn

q₁ p 2

n

= T_n+ 1 g⁰(Tn)

q₁ p 2

n

= T_n 3 (1 + 2T_n)² q₁ p 2

n g ¹ X_n q₁

p 2

n T_n+ 3 (1 + 2T_n)² q₁ p 2

n e quindi l’intervallo cercato è

"

T_n 3 (1 + 2T_n)² q₁ p 2

n ; T_n+ 3 (1 + 2T_n)² q₁ p 2

n

# :