I DIECI COMANDAMENTI DELLE POTENZE
I–Liceo Musicale∗
Prof. G. Forte a. a. 2018/2019
1 Le proprietà delle potenze
Definizione 1.1. Si chiama potenza n–esima di un numero reale a e si indica con an, il numero reale:
an = a · a · a · · · a
| {z }
n−volte
(1)
Il numero intero n si chiama esponente, il numero a, invece, si chiama base.
Comandamento 1. Il prodotto di due potenze che hanno la stessa base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti
Esempio 1.1. Vediamo due esempi per illustrare come funziona il Comandamento1.
(a) (−2)3· (−2)2 = (−2)3+2= (−2)5 (b) 32· 37 = 32+7= 39
Comandamento 2. Il quoziente di due potenze che hanno la stessa base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti
Esempio 1.2. Vediamo due esempi per illustrare come funziona il Comandamento2.
(a) (−3)4 : (−3)2 = (−3)4
(−3)2 = (−3)4−2= (−3)2 (b) 25 : 23 = 25
23 = 25−3 = 22
∗I. S. I. S.—U. Nobile–R. Amundsen, Via Principe Lancellotti, 99–83023 Lauro (AV).
Comandamento 3. La potenza di una potenza è uguale ad una potenza che per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti
Esempio 1.3. Vediamo due esempi per illustrare come funziona il Comandamento3.
(a) [(−3)2]3 = (−3)6 (b) [52]4 = 58
Comandamento 4. Il prodotto di due potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza che ha per base il prodotto delle base e per esponente lo stesso esponente
Esempio 1.4. Vediamo un esempio per illustrare come funziona il Comandamento4.
(a) (−3)2· 42 = (−12)2
Comandamento 5. Il quoziente di due potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza che ha per base il quoziente delle base e per esponente lo stesso esponente
Esempio 1.5. Vediamo un esempio per illustrare come funziona il Comandamento5.
(a) (−8)2 : 22 = (−8)2
22 = −8 2
2
= (−4)2
Comandamento 6. La potenza di un qualsiasi numero diverso da zero con esponente zero è uguale ad 1.
Esempio 1.6. Vediamo qualche esempio per illustrare come funziona il Comandamento6.
(a) 12220 = 1
(b) (−2378364)0 = 1 (c) 10 = 1
(d)
−27 3
0
= 1
Comandamento 7. La potenza di base zero ed esponente zero non ha significato, ovvero
00 = Non ha nessun significato
Comandamento 8. L’esponente 1 si sottintende
Esempio 1.7. Vediamo un paio di esempi per illustrare come funziona il Comandamento8.
(a) 51 = 5 (b)
−2 3
1
= −2 3
Definizione 1.2. Dato un numero reale a, si definiscono il suo opposto ed il suo inverso come segue
• −a è l’opposto di a
• 1
a è l’inverso di a
Esempio 1.8. Vediamo un paio di esempi per illustrare la Definizione 1.2.
(a) L’opposto del numero 2 è −2, il suo inverso è 1 2 (b) L’opposto del numero −2 è 2, il suo inverso è −1
2 (c) L’opposto del numero 4
5 è −4
5, il suo inverso è 5 4 (d) L’opposto del numero −2
3 è 2
3, il suo inverso è −3 2
Comandamento 9. La potenza di un numero reale ad esponente intero negativo è uguale ad una potenza che ha per base l’inverso della base e per esponente l’opposto dell’esponente
Esempio 1.9. Vediamo un paio di esempi per illustrare come funziona il Comandamento9.
(a) 22· (2)−3 = (2)2−(−3) = 2−1= 1 2
1
= 1 2 (b) 2
3
−3
· 2 3
−1
= 2 3
−3+(−1)
= 2 3
−4
= 3 2
4
Comandamento 10. Se non imparo a memoria tutti i comandamenti e le definizioni riportate in queste note, verrò rimandato sicuramente in matematica a fine anno!
NB Ricorda la seguente proprietà delle frazioni. Consideriamo la frazione ab e cd (con b, c e d non nulli), allora il quoziente fra le due frazioni considerate è
a b c d
= a b ·d
c = a · d b · c
Esempio 1.10.
(a)
1 2 2 3
= 1 2· 3
2 = 3 4 (b) −
2 5 1 17
= 2 5 ·17
1 = 2
5 · 17 = 34 5
Esercizio 1.1. 1. Per ognuno dei seguenti numeri, indica chi è l’opposto e chi è l’inverso:
(a) 4 (b) −21
4 (c) 21
4 (d) 16
17 (e) −20 (f ) 1 (g) 1
24 3
(h) −14
24 3
(i) −16
3 4
2. Per ognuno delle seguenti potenze, indica chi è la base e chi è l’esponente (ove possibile, esegui le semplificazioni che ritieni necessarie):
(a) 42 (b) 24 (c) (−13)3 (d) 16
17
5
(e)
−1 2
−4
(f ) 1100 (g) 1
24 3
4
(h)
−14
24 3
17
