Elementi di aerodinamica dei corpi non profilati

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Elementi di aerodinamica dei corpi non profilati

2.1 Premesse

L’analisi dei carichi prodotti dal vento ed agenti sulle strutture tipiche dell’ingegneria civile non pu`o basarsi esclusivamente sulla considerazione delle leggi dell’aerodinamica classica, valide in campo aeronautico per corpi profilati, ma deve tenere conto del carattere non sagomato (bluff-body) di strutture quali palazzi, torri, ponti, investite dal flusso atmosferico. Infatti, mentre nel caso di corpi profilati (aerodynamic bodies) immersi in una corrente fluida lo strato limite tende a rimanere attaccato alla loro superficie, per i corpi non profilati la presenza di discontinuit`a geometriche favorisce la formazione di zone di distacco del flusso e conseguentemente induce un marcato effetto di scia¹. La caratterizzazione delle azioni del vento su strutture a geometria bluff-body deve quindi basarsi non soltanto sulla considerazione della turbolenza presente nel flusso incidente, ma anche della turbolenza che localmente si genera nella corrente a causa della presenza della struttura in essa immersa.

Le conseguenti fluttuazioni locali del flusso, presenti nella regione circostante l’interfaccia solida, possono indurre una marcata variabilit`a nel tempo delle forze prodotte dalla corrente, la cui valutazione avviene generalmente in ragione della condizione di moto relativo tra il fluido e la struttura. In particolare, `e necessario distinguere il caso in cui la struttura sia fissa o rigida dal caso in cui essa sia mobile o deformabile all’interno del flusso.

1Si vuole far notare che un corpo si comporta come un aerodynamic body non soltanto in riferimento alla sua configurazione geometrica ma anche in relazione alla direzione del flusso incidente.

In altri termini, anche un profilo alare, che tipicamente presenta un comportamento aerodinamico, sotto un angolo di incidenza non nullo pu`o manifestare un carattere bluffness connesso ad una marcata condizione di distacco della vena fluida dal profilo (condizione di stallo).

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Nel primo caso l’analisi delle azioni del vento `e puramente aerodinamica, in quanto esse dipendono unicamente dalla geometria della regione solida e dalle caratteristiche della corrente incidente. Nel secondo caso, invece, `e necessario tenere conto anche delle condizioni di moto della struttura in quanto esse possono indurre una ulteriore perturbazione locale del flusso, contribuendo a modificarne l’azione.

Se la struttura è deformabile all’interno della corrente incidente, l’analisi dell’in- fluenza reciproca tra le deformazioni elastiche prodotte dalle forze aerodinamiche e le forze stesse è detta aeroelastica. In particolare, si definisce con il termine aeroela- sticità la disciplina che studia i fenomeni di interazione fluido-struttura caratteristici dei problemi accoppiati di strutture deformabili investite da correnti fluide sensibili alle deformazioni da esse stesse prodotte.

2.2 Caratteristiche del flusso attorno ad un corpo non profilato

Con l’intento di analizzare gli effetti del vento su strutture con un prevalente carattere monodimensionale, quali sono i ponti di grande luce sia in configurazione sospesa che strallata, si consideri un flusso bidimensionale incidente un corpo rigido non profilato².

E noto che, la presenza di un corpo immerso in una corrente d’aria modifica` localmente la traiettoria e la velocità del flusso. Tali variazioni dipendono sia dalla forma del corpo che dalle condizioni di velocità media e di turbolenza della corrente incidente. È altres`ı noto che, a seguito della condizione di aderenza del fluido alla superficie dell’ostacolo, si determina un rallentamento del flusso all’interno della regione fluida prossima all’interfaccia solida, detta di strato limite. In questa zona la velocità del fluido varia da zero, sul contorno del corpo, fino al valore assunto dal flusso non perturbato, lontano dall’ostacolo in esso immerso.

Il carattere non profilato della regione solida, i.e. la presenza di brusche variazioni geometriche del suo profilo, comporta che in alcune regioni adiacenti alla superficie d’interfaccia possa essere favorita la formazione di forti gradienti di pressione negativi, rispetto alla direzione della corrente indisturbata. Tale condizione induce localmente un’inversione del flusso e cio`e una condizione di separazione della vena fluida.

2Visto il carattere praticamente monodimensionale dei ponti di grande luce è possibile assumere che la corrente incidente trasversalmente alla linea d’asse sia, in prima approssimazione, bidimensionale. Pertanto, l’analisi dei carichi prodotti dal vento ed agenti sull’impalcato può compiersi considerando un suo tronco di lunghezza unitaria. Il problema è quindi ricondotto alla considerazione di una corrente bidimensionale in cui è immersa la sezione trasversale (generalmente non profilata) rappresentativa della struttura.

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A seguito del distacco della vena fluida ed in relazione al carattere del flusso incidente, si possono generare, all’interno della scia del corpo, strutture di natura vorticosa. Queste sono dipendenti, tra l’altro, dal numero di punti di separazione e di riattacco della vena sulla superficie d’interfaccia.

Un parametro utile a caratterizzare lo stato del flusso, perturbato dalla presenza del corpo in esso immerso, `e senza dubbio il numero di Reynolds. Esso `e definito come il rapporto adimensionale fra le azioni di inerzia e quelle viscose:

Re = ρU B

µ (2.1)

essendo ρ e µ rispettivamente la densità e la viscosità dinamica dell’aria, U la velocità media del flusso incidente e B una dimensione tipica della regione solida ³.

Supponendo, senza perdere di generalit`a, che il flusso incidente sia laminare e cio`e considerando come unico contributo alla turbolenza quella eventualmente indotta dalla presenza del corpo all’interno della corrente, possono verificarsi le seguenti situazioni (figura 2.1).

Quando le forze di inerzia del fluido sono minori o al pi`u confrontabili con quelle viscose (Re minore o vicino all’unit`a) il fluido aderisce alla superficie d’interfaccia e le linee di flusso coincidono con quelle fornite dalla teoria del moto potenziale, i.e.

relative al caso ideale di un fluido incomprimibile, non viscoso, in condizioni di moto irrotazionale. In queste ipotesi non si originano effetti di scia e le deboli azioni sul corpo indotte dal fluido sono di tipo prettamente viscoso.

Per numeri di Reynolds dell’ordine della decina le forze di inerzia divengono apprezzabili ma non ancora tali da produrre l’instabilizzazione ed il distacco dello strato limite. D’altra parte, la presenza di discontinuit`a geometriche induce una condizione di separazione del flusso in corrispondenza degli spigoli del profilo, dando origine a due deboli vortici che, in mancanza di una sufficiente spinta inerziale, ristagnano nella parte posteriore dell’ostacolo.

Per numeri di Reynolds maggiori (fino a valori dell’ordine delle migliaia) si osserva che gli effetti inerziali sono tali da indurre la perdita di simmetria dei vortici a valle del corpo. Conseguentemente, le strutture vorticose si distaccano in modo alternativo e ciclico dal profilo (fenomeno detto di vortex-shedding), estendendosi ad una distanza notevole lungo la corrente. La scia che si genera a valle della regione solida viene indicata come scia vorticosa di Bénard-von Kármán, in onore dei ri- cercatori che per primi studiarono le condizioni di distacco e diffusione dei vortici ([2.1], [2.19]). L’evidente ciclicità del fenomeno descritto fu osservata da Strou-

3Tipici valori di densità e viscosità dell’aria, per una temperatura di 25ôC e pressione atmosferica, sono: ρ = 1.21kg/m³ e µ = 18.49 × 10⁶P a · s.

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hal [2.45], il quale sugger`ı di rappresentarlo attraverso l’introduzione di un numero adimensionale, detto appunto numero di Strouhal, definito come:

St = n_wB

U (2.2)

dove con n_w si è indicata la frequenza che caratterizza i cicli completi di distacco dei vortici dalla superficie del profilo. In particolare, fissata la geometria dell’ostacolo, i risultati sperimentali mostrano che tale numero si mantiene praticamente costante al variare della condizione di velocità media della corrente incidente. Il valore del numero di Strouhal per una sezione circolare è dell’ordine di 0.2, mentre per le usuali sezioni da impalcato St varia tra 0.1 e 0.2.

Per valori di Re superiori all’ordine delle migliaia le azioni di inerzia sono abbon- dantemente preponderanti rispetto alle azioni viscose e conseguentemente le forze indotte sul corpo dalla corrente sono fortemente dipendenti dagli effetti di scia. In questo caso la probabilità che si stacchino dalla superficie del corpo vortici di dimen- sioni ragguardevoli è minima. D’altro canto, la scia a valle dell’ostacolo è fortemente instabilizzata (scia turbolenta) ed è costituita da piccole strutture vorticose di carattere random. Tale scia interagisce con la regione di flusso indisturbato per il tramite di zone cosiddette di scorrimento, generate in corrispondenza dei punti di discontinuità geometrica del profilo. In esse è possibile riscontrare la presenza di vortici di media scala che trasferiscono quantità di moto dalla corrente indisturbata alla scia turbolenta, sottraendo cos`ı energia al moto medio.

E il caso di osservare che i fenomeni di scia appena descritti possono presentarsi` anche per corpi profilati a comportamento aerodinamico. In questo caso si osserva sperimentalmente che in generale esiste una maggiore sensibilità al numero di Rey- nolds rispetto a corpi di tipo bluff-body. Ciò può giustificarsi osservando che per i corpi profilati la generazione dei fenomeni di scia turbolenta avviene per instabilizzazione viscosa dello strato limite. In altri termini, l’assenza di discontinuità geometriche fa s`ı che il fenomeno di distacco di vena sia sostanzialmente connesso solo ad una condizione di squilibrio tra le azioni di attrito alla parete, di carattere viscoso, e le azioni di inerzia del fluido. Viceversa, nel caso di bluff-bodies la separazione è da considerarsi catalizzata da condizioni di singolarità geometriche e, conseguentemente, meno dipendente dalla mutua interazione tra gli effetti viscosi e quelli inerziali, i.e. meno dipendente da Re.

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B

Re 1

Re 10

Re 10² 10³

vortex-shedding

Re>>10³

linee di separazione

scia turbolenta

zona di scorrimento

Fig. 2.1:Linee di flusso al variare del numero di Reynolds per un corpo non profilato investito da una corrente uniforme.

2.3 Le forze aerodinamiche

2.3.1 Corrente incidente laminare

Si consideri un cilindro rigido e fisso nello spazio avente linea d’asse rettilinea e lunghezza infinita. Inoltre, si assuma che detta struttura sia immersa in una corrente bidimensionale a carattere laminare. Considerato il piano della generica sezione trasversale S del cilindro, si introducano i riferimenti cartesiani (O, xo, y_o) solidale con S, i.e. fisso, e (O, x, y) definito in modo tale che l’asse delle x sia disteso lungo la direzione del vento incidente (figura 2.2). Si assuma, infine, che la velocit`a della corrente V_L= U i sia costante o al pi`u debolmente variabile con il tempo.

Dall’integrazione del campo di pressione del fluido e delle azioni viscose sul bordo della sezione trasversale S si ottengono, per unit`a di lunghezza del cilindro, il vettore forza risultante F_L(α, t) applicato in O ed il momento torcente M_θL(α, t), in generale funzioni del tempo t e dell’angolo di incidenza α, formato tra i versori i e i_o relativi rispettivamente agli assi x e x_o. In particolare, `e possibile porre:

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a y

x y_o

x_o

U

F_yL F_xL

M_qL

B FL

O

Fig. 2.2:Corrente incidente laminare: definizione dei sistemi di riferimento e delle grandezze caratteristiche.

F_L(α, t) = FxL(α, t)i + FyL(α, t)j (2.3) D’altro canto, ciascuna delle azioni che il vento esercita sulla struttura pu`o pensarsi somma di un’aliquota media (¯·), costante o al pi`u debolmente variabile con il tempo, e di una aliquota fluttuante (˜·), in generale fortemente variabile con t:

F_L(α, t) = F¯_L(α) + ˜F_L(α, t)

M_θL(α, t) = M¯_θL(α) + ˜M_θL(α, t) (2.4) Nel caso di corrente incidente laminare si definiscono allora i coefficienti aerodinamici adimensionali medi di resistenza (drag) e portanza (lift), CdL e C`L, in funzione delle omonime componenti di forza e della cosiddetta pressione dinamica del flusso indisturbato ¹₂ρU²:

C_dL(α) = F¯_xL(α)

1

2ρU²B C_`L(α) = F¯yL(α)

1

2ρU²B (2.5)

essendo B una dimensione caratteristica della sezione trasversale S.

Analogamente, si definisce il coefficiente aerodinamico adimensionale medio di momento:

CmL(α) = M¯_θL(α)

1

2ρU²B² (2.6)

I coefficienti adimensionali appena introdotti dipendono, oltre che dall’angolo d’incidenza α, anche dalla geometria di S ed in generale dal numero di Reynolds.

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1 Normandy Bridge(Projet Détaillé) 2 Great Belt East Bridge 3 Sunshine Skyway Bridge

2

1

3

-12 -8 -4 0 4 8 12

-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6

Cd

Angolo di incidenza ^-12 ^-8 ^-4 ⁰ ⁴ ⁸ ¹²

-0,8 -0,4 0,0 0,4

C

Angolo di incidenza 2

1 3

-12 -8 -4 0 4 8 12

-0,30 -0,15 0,00 0,15 0,30

Cm

Angolo di incidenza 2

1

3

Fig. 2.3:Coefficienti aerodinamici medi al variare dell’angolo di incidenza per alcune tipiche sezioni da ponte ([2.9], [2.27],[2.50]).

La figura 2.3 mostra, per tipiche sezioni da ponte non profilate ed al variare di α, gli andamenti dei coefficienti aerodinamici medi nell’ipotesi di corrente incidente laminare⁴.

Nella figura 2.4 è messa poi a confronto la dipendenza dal numero di Reynolds del coefficiente medio di drag per un profilo circolare ed uno quadrato. È immediato notare la maggiore variabilità con Re nel caso di sezione profilata, giustificabile, in virtù di quanto si accennava in precedenza, attraverso la considerazione di una instabilizzazione viscosa dello strato limite piuttosto che geometrica, tipica invece dei corpi non profilati.

Le aliquote fluttuanti delle azioni del vento sulla struttura, visto il carattere laminare del flusso incidente, dipendono soltanto dai fenomeni di scia generati a valle di S ed in particolare dal fenomeno del vortex-shedding. Introdotti allora i coefficienti adimensionali di scia ˜C_kw(α, t) (k = d, `, m) si pone:

4E il caso di osservare che i dati riportati in figura 2.3 sono espressi secondo una convenzione` differente da quella sin qui adottata e che si adotter`a nel seguito. In particolare, le forze aerodinamiche e conseguentemente i relativi coefficienti adimensionali non sono riferiti al sistema locale per S (individuato dagli assi x ed y in figura 2.2) ma si riferiscono al sistema cartesiano globale ad assi xo, yo (cf. figura 2.2).

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10⁵ 10⁶ 0,4

0,8 1,2 1,6 2,0 2,4

C_d

Re

Fig. 2.4:Coefficiente di resistenza medio al variare di Re per una sezione quadrata ed una circolare ([2.39], [2.53]).

F˜_xL(α, t) = 1

2ρU²B ˜C_dw(α, t) F˜_yL(α, t) = 1

2ρU²B ˜C_`w(α, t) (2.7) M˜_θL(α, t) = 1

2ρU²B²C˜mw(α, t)

Nel range di valori del numero di Reynolds per cui si manifesta una condizione di distacco di vortici dal profilo, sempre in virtù della supposta laminarità della corrente incidente, si può assumere [2.41] che la variabilità dei coefficienti di scia avvenga secondo leggi di tipo sinusoidale, le cui ampiezze ˜C_kL(α) (k = d, `, m) siano dipendenti dalla geometria di S oltre che dall’angolo di incidenza α:

C˜_dw(α, t) = C˜_dL(α) sin(2πn_xwt)

C˜_`w(α, t) = C˜_`L(α) sin(2πn_ywt) (2.8) C˜mw(α, t) = C˜_mL(α) sin(2πn_θwt)

Sperimentalmente si osserva che, in generale, l’aliquota fluttuante della forza aerodinamica nella direzione della corrente `e trascurabile rispetto a quella in direzione ortogonale, i.e. ˜C_dw ¿ ˜C_`w, e che la frequenza di oscillazione dell’azione lungo x `e pari al doppio della frequenza di distacco di vortici, i.e. n_xw = 2n_w, mentre n_yw e n_θw sono praticamente coincidenti con n_w, i.e. n_yw= n_θw = n_w.

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2.3.2 Corrente incidente turbolenta

E noto che il campo di velocità di una corrente a carattere turbolento´ ⁵ presenta fluttuazioni istantanee rispetto alla condizione di moto medio. In altri termini, la velocità del flusso incidente può porsi nella forma:

V_T(t) = [U + ˜u(t)]i + ˜v(t)j (2.9) avendo indicato con U la velocit`a media del flusso e con (˜·) le corrispondenti aliquote fluttuanti, assunte a media nulla nel tempo. I versori i e j sono al solito relativi al riferimento cartesiano (O, x, y), definito considerando l’asse delle x disteso lungo la direzione media del vento (figura 2.5). D’altra parte, `e possibile introdurre un riferimento istantaneo (O, ˜x, ˜y), definito in modo tale che l’asse ˜x sia disteso ad ogni tempo t lungo la direzione istantanea del flusso, i.e. come V_T(t).

L’angolo di incidenza istantaneo γ_T(t) `e definito allora in funzione dell’angolo di incidenza α della corrente media e della sua variazione istantanea δ_T(t) (cf. figura 2.5):

γ_T(t) = α + δ_T(t) = α + arctan

· v(t)˜ U + ˜u(t)

¸

(2.10) Pertanto, la forza F_T(α, t) che il vento esercita sulla struttura nel caso di corrente turbolenta, pu`o scomporsi equivalentemente rispetto al riferimento medio (O, x, y) oppure rispetto a quello istantaneo (O, ˜x, ˜y):

F_T(α, t) = F_xT(α, t)i + F_yT(α, t)j = F_dT(α, t)˜i(t) + F_`T(α, t)˜j(t) (2.11) e ciascuna componente di F_T(α, t), cos`ı come il momento torcente M_θT(α, t), possono pensarsi somma di un’aliquota media (¯·) e di una fluttuante nel tempo (˜·).

Analogamente a quanto fatto nel caso di flusso incidente laminare si introducono per una corrente incidente turbolenta i coefficienti aerodinamici adimensionali medi di resistenza, portanza e momento, dipendenti dall’angolo di incidenza del flusso medio, dalla geometria di S e dall’intensit`a della turbolenza incidente:

C_dT(α) = F¯_xT(α)

1

2ρU²B C_`T(α) = F¯_yT(α)

1

2ρU²B C_mT(α) = M¯_θT(α)

1

2ρU²B² (2.12) Come gi`a accennato, le fluttuazioni nel tempo delle azioni aerodinamiche agenti sulla struttura sono connesse a due effetti sostanziali. Il primo `e relativo alla

5Tale evenienza occorre in presenza di vento fortemente rafficato o qualora la struttura sia all’interno della scia generata da un altro ostacolo posizionato sopra vento.

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F_T

x y

x y_o

x_o a U

F_yT

F_xT

M_qT FT

y

u

v V

g_T T

d_T

F_dT

O

Fig. 2.5:Corrente incidente turbolenta: definizione dei sistemi di riferimento e delle grandezze caratteristiche.

turbolenza del flusso incidente (azioni di buffeting), mentre l’altro, esplicito nella formazione e nel distacco di vortici dal profilo, dipende dalla turbolenza generata dal corpo, visto come ostacolo al flusso medesimo. Pertanto, indicate con l’apice

’∗’ le azioni che non tengono in conto gli eventuali fenomeni di vortex-shedding, è possibile generalizzare le definizioni (2.12) al caso di variazioni istantanee dell’angolo d’incidenza del flusso assumendo che le componenti fluttuanti di velocità siano piccole rispetto ad U e debolmente variabili con il tempo. Conseguentemente, sotto questa ipotesi, si può assumere una variabilità quasi-stazionaria dell’angolo di incidenza istantaneo (quasi-steady theory) e quindi si possono ritenere valide le seguenti relazioni:

F_dT^∗ (α, t) = 1

2ρV_T²(t)BCdT(γT(α, t)) F_`T^∗ (α, t) = 1

2ρV_T²(t)BC_`T(γ_T(α, t)) (2.13) M_θT^∗ (α, t) = 1

2ρV_T²(t)B²C_mT(γ_T(α, t))

dove le componenti di forza si intendono riferite al sistema cartesiano istantaneo (O, ˜x, ˜y)⁶. Nel sistema di riferimento medio (O, x, y) si ricava banalmente (cf. figura 2.5):

F_xT^∗ = F_dT^∗ cos δ_T − F`T^∗ sin δ_T

F_yT^∗ = F_dT^∗ sin δ_T + F_`T^∗ cos δ_T (2.14)

6Nelle (2.13), valendo la (2.10), si `e messo in evidenza che, fissata la condizione di turbolenza per la corrente incidente, la dipendenza da γT pu`o essere intesa come dipendenza da α e da t.

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potendo porre, sempre nelle ipotesi di validit`a della quasi-steady theory F_xT^∗ (t) = 1

2ρV_T²(t)BC_xT(γ_T) F_yT^∗ (t) = 1

2ρV_T²(t)BCyT(γT) (2.15) dove

C_xT(γ_T) = C_dT(γ_T) cos δ_T(t) − C`T(γ_T) sin δ_T(t)

C_yT(γ_T) = C_dT(γ_T) sin δ_T(t) + C_`T(γ_T) cos δ_T(t) (2.16) Fissata la geometria di S le funzioni CxT, C_yT e C_mT possono svilupparsi in serie in un intorno di γT = α:

C_xT(α, t) = C_d+ δ_T(C_d⁰ − C`) +δ²_T

2 (C_d⁰⁰− Cd− 2C`⁰) + o(δ_T²) C_yT(α, t) = C_`+ δ_T(C_d+ C_`⁰) +δ_T²

2 (2C_d⁰ + C_`⁰⁰− C`) + o(δ²_T) (2.17) C_mT(α, t) = C_m+ δ_TC_m⁰ +δ²_T

2 C_m⁰⁰ + o(δ²_T) avendo posto C_k = C_kT(α); C_k⁰ = ^dC_dγ^kT

T

¯¯

¯γT=α; C_k⁰⁰= ^d²_dγ^C2^kT T

¯¯

¯γT=α (k = d, `, m).

La variazione istantanea dell’angolo di incidenza pu`o analogamente svilupparsi in serie di Mc Laurin come (cf. equazione (2.10)):

δ_T(t) = v(t)˜

U + ˜u(t) − v˜³(t)

3[U + ˜u(t)]³ + o

"µ

˜ v(t) U + ˜u(t)

¶4#

(2.18) Sostituendo i precedenti sviluppi nelle (2.15) e nella terza delle (2.13) si ricava:

F_xT^∗ (α, t) = 1

2ρU²BC_d+ ρU ˜uBC_d+1

2ρU ˜vB(C_d⁰ − C`) + R^o_xT F_yT^∗ (α, t) = 1

2ρU²BC_`+ ρU ˜uBC_`+1

2ρU ˜vB(C_d+ C_`⁰) + R^o_yT (2.19) M_θT^∗ (α, t) = 1

2ρU²B²Cm+ ρU ˜uB²Cm+1

2ρU ˜vB²C_m⁰ + R^o_θT

essendo i termini Rô_·T(α, t) residui che possono ritenersi trascurabili quando δ_T è piccolo o equivalentemente quando si ha una condizione di debole turbolenza del flusso incidente, i.e. quando le componenti fluttuanti della velocità sono piccole rispetto alla condizione di moto medio.

In particolare, risulta:

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2R^o_xT/ρB = C_d(˜u²+ ˜v²) + (C_d⁰ − C`)

·

˜

u˜v + 2˜v³ 3(U + ˜u)

¸ +1

2(C_d⁰⁰− Cd

−2C`⁰)˜v²+ (C_d⁰⁰⁰− 3Cd⁰ − 3C`⁰⁰+ C_`) v˜³

6(U + ˜u)+ ...

2R^o_yT/ρB = C_`(˜u²+ ˜v²) + (C_d+ C_`⁰)

·

˜

u˜v + 2˜v³ 3(U + ˜u)

¸ +1

2(C_`⁰⁰− C`

+2C_d⁰)˜v²+ (C_`⁰⁰⁰− 3C`⁰+ 3C_d⁰⁰− Cd) v˜³

6(U + ˜u)+ ... (2.20) 2R^o_θT/ρB² = Cm(˜u²+ ˜v²) + C_m⁰

·

˜

u˜v + 2˜v³ 3(U + ˜u)

¸ +1

2C_m⁰⁰v˜² +C_m⁰⁰⁰ v˜³

6(U + ˜u)+ ...

Quanto detto consente di rappresentare in modo soddisfacente le azioni del vento sulla struttura nell’ipotesi di assenza di condizioni di vortex-shedding.

Qualora invece si abbia distacco di vortici nella scia di S `e necessario verificare se il contenuto in frequenza del fenomeno di vortex-shedding interagisca o meno con quello della turbolenza presente nella corrente incidente.

Nel caso di distacco di vortici con contenuto in frequenza ben al di fuori da quello relativo alla turbolenza incidente, le densit`a spettrali della generica azione del vento connesse alle fluttuazioni turbolente ed a quelle da vortex-shedding si rappre- sentano qualitativamente come riportato in figura 2.6. Pertanto, sotto dette ipotesi, le fluttuazioni turbolente e quelle da vortex-shedding possono ritenersi con buona approssimazione indipendenti e quindi sovrapponibili, i.e.

F_kT(α, t) = F_kT^∗ (α, t) + ˜F_kw(α, t) _k=x,y

M_θT(α, t) = M_θT^∗ (α, t) + ˜M_θw(α, t) (2.21) essendo al solito le grandezze (·^∗) rappresentative dei soli effetti connessi alla turbolenza del flusso incidente e quelle (˜·)w relative ai fenomeni di scia. In particolare, analogamente a quanto fatto nel caso di flusso incidente laminare, le azioni di scia possono rappresentarsi come indicato nelle (2.7), i.e. attraverso l’introduzione di coefficienti adimensionali di scia. Detti coefficienti, nel caso di distacco di vortici con corrente incidente laminare, si sono rappresentati (cf. eq. (2.8)) mediante leggi di tipo sinusoidale e quindi caratterizzando il contenuto in frequenza delle corrispondenti azioni mediante una sola frequenza rappresentativa. D’altra parte, nel caso di flusso incidente turbolento si osserva che il contenuto in frequenza legato alle flut-

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6 9

(k = x, y, q)

n_kw

vortex-shedding turbolenza

DensitàSpettrale

Frequenza

Fig. 2.6:Andamento qualitativo delle densit`a spettrali per le fluttuazioni della generica azione del vento sulla struttura dovute rispettivamente alla turbolenza presente nella corrente incidente ed al fenomeno del vortex-shedding. Caso in cui il contenuto in frequenza relativo al distacco di vortici `e ben al di fuori di quello connesso alla turbolenza incidente.

tuazioni da distacco di vortici si arricchisce al crescere dell’intensit`a della turbolenza presente nella corrente (figura 2.7)⁷.

Conseguentemente, nel caso di corrente incidente turbolenta, una rappresentazione mediante leggi sinusoidali dei coefficienti di scia non `e pi`u ammissibile se non nello spirito di considerazioni di prima approssimazione.

In definitiva, nel caso in cui n_w sia sufficientemente grande rispetto al contenuto in frequenza della turbolenza atmosferica, in ragione delle relazioni (2.7), (2.19) e (2.21), si pone:

F(α, t) = ¯F(α) + ˜F_u_˜(α, t) + ˜F_˜_v(α, t) + ˜F_w(α, t) + R^o_T(α, t) (2.22) essendo F(α, t) il vettore delle forze generalizzate aerodinamiche

F(α, t) =







F_xT(α, t) F_yT(α, t) M_θT(α, t)





 (2.23)

ed avendo indicato con ¯F(α), ˜F_·(α, t) e R^o_T(α, t) rispettivamente il valore medio⁸di

7Cos`ı come nel caso di flusso incidente laminare anche nel caso di flusso turbolento pu`o osservarsi sperimentalmente che ˜Cdw<< ˜C`w. In particolare, nella maggioranza dei casi risulta ˜Cdw' 0.

8E il caso di osservare che per come `e stato introdotto, a rigore, il vettore ¯` F(α) non rappresenta esattamente la media delle forze aerodinamiche F(α, t). Esso caratterizza infatti le aliquote costanti di F(α, t) riferite alla velocit`a media della corrente U ed approssima l’effettivo vettore medio di forza nel caso in cui si ritengano trascurabili i contributi medi nel tempo dei termini quadratici in ˜u e ˜v

(14)

(k = x, y, q)

nkw

grande turbolenza piccola turbolenza

flusso laminare

DensitàSpettrale

Frequenza

Fig. 2.7:Andamento qualitativo della densit`a spettrale per le fluttuazioni della generica azione del vento sulla struttura dovute a vortex-shedding al variare dell’intensit`a della turbolenza presente nella corrente incidente.

F(α, t), le aliquote di fluttuazione a media nulla intorno a ¯Fed il termine residuale R^o_T(α, t) = ©

Rô_xT Rô_yT Rô_θT ªT

, trascurabile per piccole intensit`a di turbolenza della corrente incidente. In dettaglio, si pone:

F(α) =¯ 1

2ρU²Bn

C_d, C_`, BC_m oT

(2.24) F˜_u_˜(α, t) = ρU B ˜u(t)n

C_d, C_`, BCm

oT

(2.25) F˜_˜_v(α, t) = 1

2ρU B˜v(t)n

C_d⁰ − C`, C_d+ C_`⁰, BC_m⁰ oT

(2.26) F˜_w(α, t) = 1

2ρU²Bn

C˜_dw(t), C˜_`w(t), B ˜C_mw(t) oT

(2.27) D’altra parte, nel caso in cui il distacco di vortici nella scia di S avvenga con un contenuto in frequenza interagente con quello caratteristico della turbolenza del flusso incidente, si osserva che, al di sopra della frequenza principale di vortex- shedding n_w, il contenuto in frequenza globale tende ad essere eliso (figura 2.8).

Pertanto, a seguito della presenza di condizioni di interazione fra i due fenomeni, non `e pi`u possibile sovrapporre semplicemente i relativi effetti e l’approccio quasi- stazionario non fornisce una soddisfacente rappresentazione delle azioni che il vento esercita sulla struttura.

Analogamente, se l’intensità della turbolenza non è piccola e quindi se la variabi- lità e l’ampiezza di ˜u(t) e ˜v(t) con il tempo sono molto pronunciate, la teoria quasi-

rispetto ad U².

(15)

3 4 5 6 7 (k = x, y, q)

n_kw

DensitàSpettrale

Frequenza

Fig. 2.8:Andamento qualitativo delle densit`a spettrali per le fluttuazioni della generica azione del vento sulla struttura dovute rispettivamente alla turbolenza presente nella corrente incidente ed al fenomeno di vortex-shedding. Caso in cui il contenuto in frequenza relativo al distacco di vortici interagisce con quello connesso alla turbolenza incidente.

stazionaria non `e direttamente applicabile, ma `e necessario ricorrere ad approcci differenti.

Profilo alare sottile soggetto a raffiche di vento

Il primo modello inerente l’analisi delle azioni prodotte dalla turbolenza incidente si riferisce al caso di un profilo alare sottile soggetto a raffiche di vento e fu proposto da Küssner [2.20] in ambito aeronautico. Essendo trascurabile in tale contesto l’effetto delle fluttuazioni orizzontali della velocità, l’analisi è fondamentalmente incentrata sull’effetto delle raffiche verticali.

Küssner considerò il caso di un’ala sottile che si muove in aria calma di moto ret- tilineo uniforme con velocità U ed angolo di attacco nullo, investita istantaneamente da una raffica verticale infinitamente estesa di velocità ˜v_o (figura 2.9). Tenuto conto

U

B = 2b

vo

Fig. 2.9: Profilo alare sottile soggetto a raffica verticale: convenzioni.

(16)

s = Ut/b y(s)

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0

-1 0 2.0 4.0 6.0 8.0

Fig. 2.10: Funzione di K¨ussner al variare del tempo adimensionale s [2.35].

che sotto le ipotesi dette da un’analisi teorica risulta [2.14] C_`(0) = 0 e C_`⁰(0) = 2π, egli ricav`o che la forza di portanza per unit`a di lunghezza conseguente alla raffica indiciale verticale evolve nel tempo secondo la relazione:

F_yT(s) = 1

2ρU²2b(2π)˜v_o

Uψ(s) (2.28)

essendo B = 2b la corda del profilo, s = U t/b il tempo adimensionale e ψ(s) una funzione indiciale detta funzione di K¨ussner. Quest’ultima `e approssimata dalla relazione [2.17]:

ψ(s) ∼= 1− 0.500e^−0.130s− 0.500e^−1.000s (2.29) oppure

ψ(s) ∼= s²+ s

s²+ 2.82s + 0.8 (2.30)

Le approssimazioni (2.29) e (2.30) sono appropriate per s ∼= 0. Qualora s sia fortemente diverso da zero pu`o invece convenientemente essere adottata la relazione:

ψ(s) ∼= 1− 0.328e^−0.075s− 0.582e^−0.6s (2.31) La figura 2.10 mostra, al variare del tempo adimensionale, l’andamento della funzione di Küssner nel caso di un profilo alare sottile. Si osserva che, a parte la fase transitoria iniziale, la forza aerodinamica verticale si porta in modo asintotico, al crescere di s, sul valore ¹₂ρU²2b(2π)^v^˜_Uô. In altri termini, per s → ∞ la forza F_yT assume il valore corrispondente all’angolo di incidenza stazionario α = ^v^˜_Uô. Per piccoli valori di ˜vo rispetto a U il rapporto ^v^˜_Uô rappresenta infatti l’effettivo angolo sotto il quale, a seguito del moto relativo fra il fluido ed il profilo, la corrente investe l’ala.

(17)

0 0.25 0.50 0.75 1.00 -0.25

4.0 4.5

5 -0.25

6 7 8 9 10 3.5

3.0

2.5 2.0 1.8

1.6 1.4

1.2 1.0

0.8

0.6

0.4 0.2 0.10 0.04 0.5

valori di k

k = 0 Immaginaria

Parte Reale

Fig. 2.11:Andamento della funzione complessa di Sears al variare della frequenza ridotta k della raffica [2.35].

Per una raffica caratterizzata da una distribuzione di velocit`a verticale arbitraria

˜

v(s) la forza di portanza agente sul profilo che avanza all’interno della raffica stessa si ricava per applicazione del principio di sovrapposizione di Duhamel [2.44]:

F_yT(s)

1

2ρU²(2b) = 2π U

Z _∞

0

v(s − σ)ψ˜ ⁰(σ)dσ = 2π U

Z _∞

0

˜

v⁰(s − σ)ψ(σ)dσ

= 2π U

Z s

−∞

˜ v(σ)dψ

ds(s − σ)dσ (2.32)

avendo indicato (·)⁰= ^d(·)_ds .

Sotto le medesime ipotesi e considerando il caso di una raffica con distribuzione di velocità armonica del tipo ˜v(s) = ˜v_oeîks, Sears dimostrò che la corrispondente forza di portanza fluttuante può porsi nella forma [2.40]:

F_yT(s)

1

2ρU²(2b) = 2π˜v_o

U Θ(k)e^iks (2.33)

dove si `e indicata con i l’unit`a immaginaria, con k = bω/U la pulsazione adimensionale della raffica (o frequenza ridotta) definita rispetto alla semicorda b del profilo e con Θ(k) la funzione complessa di Sears rappresentata in figura 2.11.

E immediato verificare che la funzione di K¨` ussner e quella di Sears sono in relazione fra loro per il tramite della trasformata di Fourier⁹:

9[2.51] Si ricorda che la trasformata di Fourier della funzione f (s) del tempo adimensionale s si esprime nel dominio della frequenza ridotta k come:

f (k) = Z ∞

0

f (σ)e^−ikσdσ

(18)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

k/p c²v

0.1 0.2 0.3 0.4

Valori sperimentali(Jankauskas, 1983)

|Q(k)|² 1/(1+5k)

Fig. 2.12:Ammettenza aerodinamica per profili alari sottili [2.35].

Θ(k) = ik Z _∞

0

ψ(σ)e^−ikσdσ = Z _∞

0

e^−ikσdψ

ds(σ)dσ (2.34)

Poichè in generale i dati connessi al contenuto di turbolenza nel vento sono specificati in forma spettrale, è utile considerare la rappresentazione spettrale della (2.33). In particolare, la densità spettrale della forza fluttuante di portanza è:

S_F_yT(k) = (2πρU b)²S_˜_v(k)χ²_v_˜(k) (2.35) dove con S_˜_v si `e indicata la densit`a spettrale della funzione ˜v(s)¹⁰ e con χ²_v_˜(k) =

|Θ(k)|² la cosiddetta ammettenza aerodinamica riportata in figura 2.12 e della quale una valutazione approssimata `e stata proposta da Jancauskas [2.16]:

χ²_v_˜= 1

1 + 5k (2.36)

Vale inoltre la seguente propriet`a di convoluzione nel tempo. Se f1(s) ed f2(s) sono funzioni trasformabili secondo Fourier ed f1(k), f2(k) sono le rispettive trasformate, si ha che la trasformata di Fourier della funzione F (s) =Rs

−∞f1(s)f2(s − σ)dσ risulta:

F (k) = f1(k)f2(k)

10[2.41] Assegnato il segnale random z(s) a media nulla la densit`a spettrale (o auto-spettro) di z(s), funzione della frequenza ridotta k, pu`o definirsi in modo alternativo rispetto alla (1.13) come:

Sz(k) = lim

T →∞

2

Tz(k)z^∗(k) avendo indicato con z^∗(k) la funzione complessa coniugata di z(k).