Calcolo degli integrali per la matrice d’accoppiamento C

Appendice A

Calcolo degli integrali per la matrice d’accoppiamento C

In questo paragrafo si dimostra come sia mantenuta l’ortonormalità tra i modi in aria e quelli nel dielettrico. In analogia a quanto mostrato nel Cap. 3, le costanti di propagazione traverse e le sue proiezioni sugli assi cartesiani risultano uguali nei due mezzi. Calcoliamo adesso l’integrale

∫∫ ^ _ ^{ ⋅ } _ ^

SC

TE TE

i

E dS

e

^*

₍₁₎

dove con le lettere minuscole sono rappresentati i coefficienti modali nel dielettrico e con le lettere maiuscole quelli in aria. Sostituendo nella (1) le formule date per i due coefficienti si ottiene

∫∫  





 





 





 





 





 



 −

 ⋅







 





 





 



 −

^{− −}

C

yj xj

j j

j yi j

xi i

i

i i S

y jk x jk y t x x t y y

x jk jk y t x x t y h

h

dS e

e k i i k k e k

e k i i k k k b

a ˆ ˆ ˆ ˆ

sin 1

α ⁽²⁾

svolgendo il prodotto vettoriale si ottiene

( )

∫∫

^{− − − −}

 





 



 +

C

yj yi xj

xi

j i

j i

j i

j i

S

y k k j x k k j t

t x x t t

y y h

h

dS e

k e k

k k k k

k k b

a

) ( ) (

sin 1

α ⁽³⁾

concentriamo l’attenzione sull’integrale ed osserviamo che, facendo riferimento alla (2.3.3) e

alla (4.3.1), le differenze ad esponente diventano

( )

( ) (

i j

)

h j i h

y y

j i h x x

n a n

m b m

k k

n a n

k k

j i

j i

−

−

−

=

−

−

=

−

α π α

π π

tan 2 sin

2 2

(4)

Ricordando che si può operare la separazione delle variabili l’integrale può essere espresso come

∫

∫

^{− π − sinα − πα − − πα −}

0

)]

tan ( ) 2 sin ( [ 2

0

)

2 ( _h

j i h j i h

h i j

h

b n n y

m a b m

a n n x j

ja

dy e

dx

e (5)

I due integrali possono essere risolti separatamente e, considerando in particolare il primo, si ottiene che

 

 =

∫ ^e

^{− −}

^dx = ^a

^h

_altrimenti ^{se n}

ⁱ

ⁿ

^j

a n n x

ja

h i j

h 0

0

) 2π(

(6)

Utilizzando la relazione imposta dal primo integrale anche nel secondo si ottiene

 

 =

∫ ^e

^{− −}

^dx = ^b

^h

_altrimenti ^{se m}

ⁱ

^m

^j

b m m x

jb

h i j

h

0

sin

sin

0

) sin (

2

α

α

α π

(7)

I risultati, non solo i impongono l’uguaglianza tra gli indici di modo m

_i

= m

_j

e n

_i

= n

_j

impongono, ma anche, data la corrispondenza biunivoca tra gli indici di modo ed il modo i-esimo, che si tratti di coefficienti relativi a modi corrispondenti. La dichiarazione precedente è equivalente, data anche l’uguaglianza delle costanti di propagazione traverse, ad imporre nelle relazioni precedenti i = . In questo modo si ottiene che la (3) diventa j

1 sin sin

1

2 2 2

2

 =







 



 + α

α

_t ^{h h}

x t y h

h

b k a

k k k b

a

i

i

i

i

(8)

Nella relazione precedente è stata usata la definizione k

_t

= k

_x²

+ k

_y²

Appendice B

Calcolo matematico della GSM aria-dielettrico

Data la non particolare difficoltà del calcolo della GSM, si è pensato di farla una volta per tutte senza farle calcolare per ogni step in frequenza al programma snellendo così la procedura .

Si ricorda che le matrici delle potenze e quella d’accoppiamento sono diagonali . Riportiamo di seguito le formule di connessione per comodità

( ) ( )

( )

( )

( )

 



 





⋅

−

=

⋅ +

⋅

⋅

=

−

⋅

=

−

⋅

⋅

⋅ +

=

−

−

12 2 22

1 1 2 1 12

11 2

21

2 1 1 2 1 11

2

S M I S

M I M M S

S I M S

I M M M

M I S

con

( ) ( ) ^P

^A_D

^C

^H

M

C P M

⋅

=

⋅

=

−

−

* 1 2

1

1

Per tutta la trattazione successiva, per ogni matrice sono calcolati solo gli elementi della diagonale di posto generico, relativi ai due modi TE e TM

 

 



= 

^* _*

0

0

TM A i TE A i

Y

C Y (1)

 

 



= 

^* _*

0

0

TM A i TE A i

A

Y

P Y (2)

 

 



= 

^* _*

0

0

TM D i TE D i

D

Y

P Y (3)

Passando al calcolo delle matrici M

₁

, M

₂

si ottiene

 

 



=  1 0

0 1 M

1



 









 







=

TM D i

TM A i TE D i

TE A i

Y Y Y

Y M

0

0

2

Adesso è possibile calcolare le componenti della matrice S

S11



 









 







−

−

⋅



 









 







+ +

=

−

TM D i

TM D i TM A i TE

D i

TE D i TE A i

TM D i

TM A i TM D i TE

D i

TE A i TE D i

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

S

0

0 0

0

1

11



 









 







+

− +

−

=

TM D i TM A i

TM D i TM A i TE D i TE A i

TE D i TE A i

Y Y

Y Y

Y Y

Y Y

S

0

0

11

S21



 









 







+

⋅ +



 









 







=

TM D i TM A i

TM D i TE

D i TE A i

TE D i

TM D i

TM A i TE D i

TE A i

Y Y

Y Y

Y Y

Y Y Y

Y

S 2

0 2 0 0

0

21



 









 







+

= +

TM D i TM A i

TM A i TE

D i TE A i

TE A i

Y Y

Y Y

Y Y

S 2

0 2 0

21

S12

 

 



⋅ 



 









 







+ +

⋅

=

−

1 0

0 1 0

0 2

1

12

TM D i

TM A i TM D i TE

D i

TE A i TE D i

Y Y Y

Y Y Y

S



 









 







+

= +

TM D i TM A i

TM D i TE

D i TE A i

TE D i

Y Y

Y Y

Y Y

S 2

0 2 0

12

S22



 









 







+

⋅ +



 









 







 −



 



= 

TM D i TM A i

TM D i TE

D i TE A i

TE D i

TM D i

TM A i TE D i

TE A i

Y Y

Y Y

Y Y

Y Y Y

Y

S 2

0 2 0 0

0 1

0 0 1

22



 









 







+

− +

−

=

TM D i TM A i

TM A i TM D i TE D i TE A i

TE A i TE D i

Y Y

Y Y

Y Y

Y Y

S

0

0

22

Bisogna adesso normalizzare alle portanze incidenti secondo la formula già citata

D jj D ii A

jj D ii

D jj A ii A

jj A ii

P P S S P P S S

P P S S P P S S

ij ij ij

ij

ij ij ij

ij

22 22 21

21

12 12 11

11

' '

' '

=

=

=

=

Si ottiene la forma finale della GSM

22 22 11

11

'

' S S S

S = =

 

 

 





 

 

 





+

= +

*

*

*

*

21

2

0 2 0

TM A i

TM D i TM D i TM A i

TM A i TE

A i

TE D i TE D i TE A i

TE A i

Y Y Y Y

Y Y

Y Y Y

Y S

 

 

 





 

 

 





+

= +

*

*

*

*

12

2

0 2 0

TM D i

TM A i TM D i TM A i

TM D i TE

D i

TE A i TE D i TE A i

TE D i

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

Y S

Si vuole adesso ricordare che le ammettenze sono date da

0 0 0

0

η

_zi^A

η

TM A i A

TE zi A

i

k

Y k mentre k

Y = k =

0 0 0

0

η

ε µ

η

_r ^iDTM _zi^{D r}

D zi TE

D

i

k

Y k mentre k

Y = k =

S’11



 









 







+

− +

−

=

A zi r D zi

A zi r D zi D zi A zi r

D zi A zi r

k k

k k

k k

k k S

ε ε µ

µ 0

0 '

₁₁

S’22= - S’11



 









 







+ +

− +

+

−

=

A zi r D zi

A zi r D zi D

zi A zi r

D zi A zi r

k k

k k k

k k k S

ε ε µ

µ 0

0 '

₂₂

S’12

 

 







 

 







+

= +

*

*

*

*

12

2

0 2 0 '

A zi r

D zi A zi r D zi

A zi r D

zi A zi r D zi A zi r

D zi

k k k

k k k

k k

k k S

ε ε

ε µ

µ

S’21

 

 







 

 







+

= +

*

*

*

*

21

2

0 2 0 '

D zi A zi r D zi A zi r

D zi A

zi r

D zi D zi A zi r

A zi r

k k k

k k k

k k k

k

S ε

ε µ

µ µ

La matrice T atta a traslare i piani di riferimento della matrice S diventa

 

 



= 

_−jk^D_t

e

zi

T 0

0 1

si noti che la matrice T è quadrata con dimensione 2*n, con n numero di modi selezionati, e

che t è lo spessore del dielettrico

Appendice C

Approccio alternativo alla determinazione delle matrici locali

In quest’appendice è presentata una formulazione delle matrici locali alternativa a quella introdotta in precedenza.

Esplicitando la dipendenza delle funzioni interpolanti di Lagrange dalle coordinate cartesiane si ottiene:

( )

1

i

2

i i i

L a b x c y

= A + + (1)

dove

i j k k j

i j k

i k j

a x y x y

b y y

c x x

= −

= −

= −

(2)

Con la sostituzione precedente, il gradiente trasverso di L risulta:

_i

$ $

( )

1

i

2

i i

L b x c y

τ

A

∇ uur = +

(3)

Riscrivendo le funzioni di Whitney in accordo con la notazione introdotta nelle (1), (2) si ottiene:

( ) ^$ ( ) ^$

4

2 m

m m m m m

W l A B y x C D x y

A  

=  + + + 

uuur (4)

dove:

m i j j i

m i j j i

m i j j i

m i j j i m

A a b a b B c b c b C a b a c

D b c b c B

= −

= −

= −

= − = −

(5)

Operando in modo analogo a quanto fatto nel paragrafo 2.3 si determinano le nuove espressioni che consentono di ricavare le matrici locali. In Tab. 1 sono riassunte le espressioni delle funzioni di Whitney e di Lagrange in coordinate cartesiane.

( ) ( ^{$ $} )

¹

^{( ) $ ( ) $}

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1

1 1

, ,

2 2 4

L a b x c y L b x c y W l A B y x C D x y

A

^τ

A A  

= + + ∇ = + =  + + + 

uur uur

( ) ( ^{$ $} )

¹

^{( ) $ ( ) $}

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1

1 , 1 ,

2 2 4

L a b x c y L b x c y W l A B y x C D x y

A

^τ

A A  

= + + ∇ uur = + uur =  + + + 

( ) ( ^{$ $} )

¹

^{( ) $ ( ) $}

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1

1 1

, ,

2 2 4

L a b x c y L b x c y W l A B y x C D x y

A

^τ

A A  

= + + ∇ = + =  + + + 

uur uur

Tab 1 Espressioni esplicite delle funzioni di Lagrange e Whitney espresse in coordinate cartesiane

Matrice A

Si determini dapprima l’espressione del rotore della funzione di Whitney associata al generico spigolo m-esimo:

( )

2 2

4 2

m m

m m m m

l l

W D B D

A A

∇ × uur uuur

τ

= − =

(6)

si consideri quindi il prodotto di due rotori delle funzioni generiche (m e n)

( ^{∇ ×} uur uuur uur uur

^τ

^W

^m

)( ^{∇ ×}

^τ

^W

ⁿ

) ⁼ ₄ ^{l l}

^{m n}

_A

⁴

^{D D}

^{m n}

(7)

Per determinare il prodotto scalare tra le funzioni di Whitney si opera in modo analogo:

( ) ( )

( )

4

2 2

16

m n

m n m n m n m n m n

m n m n n m n m

W W l l A A C C C D D C x

A

A B B A y B B y D D x

⋅ = + + + +

+ + + +

uuur uur

(8)

Per ottenere gli elementi della matrice rimane da effettuare l’integrazione sul dominio triangolare. L’integrale del primo addendo è di facile soluzione poiché l’integrando è costante rispetto alla variabile d’integrazione. Per il secondo addendo è possibile scrivere l’espressione in modo compatto tenendo in conto che A

i

, B

i

, C

i

, e D

i

con i=m,n ,sono delle costanti.

(

1 2 3 4 5

)

16

3 m n

m n

T

W W d l l I I I I I

⋅ Ω = A + + + +

∫∫ ^{uuur uur (9)}

dove

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1

2

3

2 4

2 5

, 1

, 1

, 1

, 1

, 1

m n m n

T

m n m n

T

m n m n

T

m n T

m n

T

I m n A A C C dxdy

A

I m n C D D C x dxdy

A

I m n A B B A y dxdy

A

I m n B B y dxdy

A

I m n D D x dxdy

A

= +

= +

= +

=

=

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

(10)

Gli integrali nella (10) sono risolvibili in forma chiusa:

( )

( )

1 2 3

1 2 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3

3

3 12 9

12 9

T

T

T

T

T

dxdy A

x x x

X x dxdy A Ax

y y y

Y y dxdy A Ay

X x dxdy A x x x x

Y y dxdy A y y y y

=

+ +

 

= =     =

+ +

 

= =     =

= = + + +

= = + + +

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

(11)

In conclusione l’elemento generico m,n della matrice A locale risulta:

( )

3 0² 3

(

1 2 3 4

)

, 1

4 16

m n m n

m n r

r

l l l l

A m n D D k I I I I

A ε A

= µ − + + + (12)

Matrice B

Ricordando che la matrice B è definita come il secondo addendo della A moltiplicato per un opportuno termine, si ottiene:

( )

3

(

1 2 3 4

)

, 1

16

m n r

B m n l l I I I I

µ A

= + + + (13)

Matrice C

^T

Partendo dalla definizione del generico elemento della matrice C

^T

fornito nel Cap. 2, si ottiene:

( ) ^$ ( ) ^$ ( ^{$ $} )

( ) ( )

2

3

1

4 2

8

m

m j m m m m j j

m

j m m j m m

W L l A B y x C D x y b x c y

A A

l b A B y c C D x

A

τ

 

⋅∇ =  + + +  ⋅ + =

 

=  + + + 

uuur uur

(14)

Effettuando l’operazione d’integrazione sul dominio triangolare e sfruttando gli integrali della (11) si ha:

( ^, ) ₁₆

²

( ) ( )

T m

j m m j m m

r

C m j l b A B Ay c C D Ax

µ A ^{ }

=  + + +  (15)

Matrice C

Per la matrice C non occorrono ulteriori calcoli in quanto è la trasposta della precedente.

Matrice D

Esplicitando l’espressione della funzione di Whitney, l’integrando del primo addendo della definizione data nel Cap. 2, si ottiene:

$ $

( ) ( ^{$ $} )

²

^{( )}

1 1 1

2 2 4

i j i i j j i j i j

L L b x c y b x c y b b c c

A A A

τ τ

∇ uur ⋅∇ uur = + ⋅ + = +

(16)

Per il secondo addendo valgono le considerazioni fatte nel paragrafo 2.3. La matrice D locale risulta pertanto:

( ) ^, ₄ ¹ (

^{i j i j}

)

^{02 r}

^{( ) ,}

r

D i j b b c c k LL i j

A ε

= µ + − (17)

Dove la matrice LL è quella definita in precedenza

CONCLUSIONI

Oggetto del presente lavoro di tesi, è stato lo sviluppo di un metodo ibrido Mode Matching (MM) – Finite Element Method (FEM) pensato per lo studio di schermi spessi in cui le aperture possono essere di forma arbitraria e con riempimenti non omogenei, illuminata da un’onda piana incidente con angolo qualsiasi. E’ stato inoltre dimostrato come il metodo sia in grado di produrre risultati validi anche nel caso di schermi induttivi sottili. Questo ci permette di allargare il dominio delle geometrie analizzabili anche a tutte le configurazioni capacitive in aria (ovvero su substrato dielettrico con costanti dielettriche relative unitarie).

Sotto le condizioni di schermo induttivo spesso, l’apertura praticata nello schermo è stata considerata come un tratto di guida d’onda di forma arbitraria.

Il metodo ricava la matrice di scattering generalizzata (Generalized Scattering Matrix-GSM) riferita allo spazio libero rispettivamente nella zona di “luce” (la parte di spazio libero dalla quale giunge l’onda che illumina lo schermo) e nella zona “d’ombra” (la parte di spazio libero opposta rispetto allo schermo).

La GSM totale è stata ottenuta come connessione in cascata della matrice di scattering generalizzata della discontinuità aria-apertura, riferita a metà dello schermo, e della matrice di scattering generalizzata relativa alla discontinuità apertura-aria, riferita all’altra metà dello schermo. Le GSM di cui sopra sono state ricavate, tramite opportune operazioni sulle matrici, dalla sola GSM della prima discontinuità aria-apertura. Quest’ultima è stata ottenuta mediante Mode Matching formulato in termini d’onde dirette e riflesse. Si è resa quindi necessaria la conoscenza delle espansioni modali del campo elettromagnetico nella regione di spazio libero ed all’interno del tratto guidato dell’apertura; in particolare, le prime, sono state ottenute utilizzando un set completo di funzioni modali di Floquet, mentre le ultime sono state ottenute utilizzando un insieme completo di funzioni modali in guida.

Lo schema ibrido proposto ha combinato il MM ed il FEM al fine di poter coniugare i vantaggi dei due metodi: l’accuratezza del MM e la flessibilità del FEM che, nella formulazione “full wave” proposta, consente di analizzare anche schermi con riempimenti disomogenei.

La tesi è stata organizzata nella seguente maniera: dopo una breve introduzione sulle FSS, è

stata focalizzata l’attenzione sulla formulazione della tecnica ibrida MM-FEM e

sull’espansione modale di Floquet. Di seguito è stata riassunta la procedura di analisi di uno

E’ stato inoltre presentato il procedimento che estende la trattazione di FSS analizzabili con il metodo ibrido MM-FEM al caso di schermi in cui sia presente uno spessore dielettrico su una o su entrambe le facce dello schermo metallico.

Soni infine riportate alcuni risultati numerici per dimostrare l’accuratezza del metodo

presentato.

Bibliografia

[1] J.F.Lee, D.K. Sun and Z.J.Cendes - Full-Wave Analysis of Dielectric Waveguide Using Tangential Vector Finite Elements – Microwave Theory and Technique, IEEE Transaction on, pp 1262 e succ August 1991

[2] J.F.Lee - Finite Elements Analysis of Lossy Dielectric Waveguides – Microwave Theory and Technique, IEEE Transaction on, pp 1025 e succ August 1994

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