La Figura 90 illustra la risposta in fluenza dei dosimetri SDD in funzione dell’energia, è immediato osservare come per energie superiori alle decine di MeV la risposta sia sottostimata.

È seguita una fase di collaudo con una sorgente neutronica Am-Be, resa disponibile presso il DIMNP, durante la quale è stata verificata la coincidenza tra il numero di bolle contate dal prototipo con quello visibile a occhio al termine dell’irraggiamento. In Figura 89 si riporta l’esito di alcuni irraggiamenti; è possibile osservare come, aumentando il numero di bolle, il suo conteggio da parte del prototipo sia sottostimato. Tale effetto è dovuto principalmente all’oscuramento reciproco delle cavità di vapore.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 10 20 30 40 50 60

Numero di irraggiamenti

Bolle contate

Prototipo Conteggio visivo

Figura 88. Confronto tra il numero di bolle contate dal dosimetro e quelle viste 'a occhio'.

Capitolo 6

Soluzione per l’aumento dello spettro della risposta:

simulazione e progetto.

La Figura 90 illustra la risposta in fluenza dei dosimetri SDD in funzione dell’energia, è immediato osservare come per energie superiori alle decine di MeV la risposta sia sottostimata.

Figura 89 Spettro di risposta in fluenza in funzione dell’energia.

Una possibile soluzione, che renderebbe il dosimetro utile in applicazioni negli acceleratori ad alta energia, è quella di introdurre uno strato di piombo attorno alla fiala, al fine di aumentare la risposta alle elevate energie, dove la dose reale è sottostimata.

Il Piombo naturale infatti va incontro a varie reazioni. Irraggiando un campione di piombo naturale (spessore 6 mm), posto a 20 m da un fascio neutronico sorgente di energia compresa tra 3.1 keV e 140 MeV, [27], si osservano transizioni alle seguenti energie corrispondenti a specifiche reazioni nucleari:

• Picco a 803.1 keV (transizione nel

Pb) dovuto al contributo delle reazioni

206

Pb(n,n’ γ),

Pb(n,2n γ) e

Pb(n,3n γ);

• Picco a 569.7 keV (transizione nel

Pb) dovuto al contributo delle reazioni

207

Pb(n,n’ γ) e

Pb(n,2n γ);

• Picco a 2614,5 keV in

Pb dovuto principalmente alla reazione

Pb(n,n’).

Ci si aspetta dunque che la capacità di moltiplicare i neutroni grazie a reazioni nucleari di tipo (n, xn) o di spallazione determini un aumento della componente neutronica ad energie comprese nell’intervallo 0.1-10 MeV e dunque rilevabile dal dosimetro.

Per confermare tale ipotesi è stato necessario simulare gli effetti delle interazioni tra lo strato di piombo ed i neutroni incidenti attraverso un codice di calcolo basato su un metodo computazionale di tipo Monte Carlo. Nello specifico, la simulazione è stata effettuata con il programma MCNPX

, codice descritto nella sezione successiva ed in grado di simulare il trasporto di quasi tutte le particelle in un ampio intervallo energetico (fino a 100 GeV).

6.1 Simulazione del trasporto netronico: il codice MCNPX.

Il codice MCNP, in continuo sviluppo nei Laboratori Nazionali di Los Alamos, dove è stato per la prima volta introdotto, è il più accreditato a livello internazionale per l’analisi del trasporto di neutroni e raggi gamma con metodo Monte Carlo. La versione MCNPX 2.5.0, utilizzata nella presente simulazione, è stata sviluppata a partire dal 1994, e distribuita nel 2005, dalla fusione dei codici MCNP4B e LAHET. Tale evoluzione ha comportato: l’estensione del codice MCNP a tutte le particelle ad energie fino a 100 GeV; miglioramenti dei modelli di simulazione; estensione energetica delle librerie di dati per le sezioni d’urto fino a 150 MeV e formulazione di nuove tecniche volte alla riduzione della varianza dei risultati di simulazione. In generale, il principio delle simulazioni di tipo Monte Carlo consiste nel seguire ciascuna particella, dalla generazione alla scomparsa, campionando, secondo delle determinate probabilità di accadimento, tutti gli eventi a cui va incontro.

Premettendo che è possibile campionare qualsiasi evento a cui la particella va incontro, un caso particolarmente esplicativo è quello riguardante le reazioni collisionali. Considerando infatti la reazione tra un neutrone ed un nucleo, ed assumendo che gli eventi possibili siano: l’assorbimento, lo scattering elastico e lo scattering anelastico, con sezioni d’urto microscopiche σ

_,

s,e

σ _e

,

σ

rispettivamente, e sezione d’urto totale, data dalla somma delle tre precedenti.

Associando idealmente una probabilità di accadimento a ciascun evento, coerente con i dati sperimentali relativi alla specifica reazione, essa può essere espressa come il rapporto tra la sezione d’urto relativa alla particolare reazione e la sezione d’urto totale:

t a

P

σ σ

= _(6.3)

t e s e

P

σ σ

,

= _(6.4)

, ,

s a s a

t

P σ

σ

= _{. (6.5)}

Si definiscono successivamente le probabilità cumulative , P

, P

e P

: P

P =

(6.6)

e s

a

P

P

P

= +

(6.7)

3 _{a s e}, _{s a},

1

P = P + P + P = (6.8)

Generando quindi un numero casuale M si può adottare il seguente criterio decisionale:

•

Se M ≤ P

, si ha assorbimento del neutrone;

•

Se P

≤ M ≤ P

, avviene un evento di scattering di tipo elastico;

•

Se P

≤ M ≤ 1 , la collisione termina con uno scattering anelastico.

I numeri generati dal codice MCNPX sono in realtà pseudo-casuali in quanto determinati attraverso un algoritmo, che calcola un numero “casuale” in funzione di quello precedente. Evidentemente tale procedura implica che, a partire da un medesimo valore iniziale, si ottenga sempre la stessa sequenza. Quando la storia di una particella termina, il primo numero “casuale” relativo alla particella successiva viene individuato saltando, a partire dal primo numero pseudo-casuale della storia precedente, S numeri della sequenza; il valore di S è detto Random Number Stride e nella versione attuale di MCNPX vale 152917. Se il totale di numeri pseudo-casuali richiesti da una storia fosse maggiore del valore di S, si potrebbe avere una correlazione nei risultati, in quanto parte della stessa sequenza di numeri viene riutilizzata nella storia immediatamente successiva. La probabilità di correlazione, nei casi pratici, è comunque molto bassa, poiché i numeri comuni verranno usati per campionare nella quasi totalità dei casi eventi differenti. Trattandosi inoltre di un algoritmo periodico di 2

≅ 7.037

10

, anche l’aumento del valore di S non risulta una buona soluzione al problema.

Il codice MCNPX, in quanto codice di tipo stocastico, è inevitabilmente affetto da errori sul valor medio delle grandezze stimate. Le tipologie di errore che si possono individuare sono due:

• Errore sistematico: scostamento del valor medio della grandezza stimata dal valore vero. Si tratta tipicamente di errori imputabili all’utente nella definizione della geometria, nella scelta dei materiali o nell’uso di tecniche volte alla riduzione della varianza della misura.

Tuttavia in rari casi anche il codice può essere causa di errori sistematici, insiti nelle librerie

di dati usate durante il calcolo. Una possibile soluzione consiste nel ricorrere a librerie di

tipo continuo.

Figura 90. Rappresentazione dell'errore sistematico tramite simbologia del bersaglio.

• Errore statistico: dispersione attorno al valor medio. Questo tipo di errore, indipendente dall’utente, può essere dovuto a diversi fattori: tipo di calcolo; risultati di misura richiesti;

tecniche di riduzione di varianza e numero di storie generate.

Figura 91. Rappresentazione dell'errore statistico tramite simbologia del bersaglio.

Dunque, una misura può essere molto precisa (bassa varianza attorno al valor medio) e tuttavia la

stima del risultato verificarsi poco accurata a causa della presenza di un errore sistematico. Un

aumento del numero di storie generate diminuisce la dispersione attorno al valor medio e di

conseguenza l’errore statistico. Tuttavia quando la misura richiesta ha una bassa probabilità di

accadimento, il semplice aumento del numero di storie potrebbe non essere sufficiente per ottenere

un risultato adeguato. Risultano dunque fondamentali le tecniche di riduzione della varianza (TRV),

che permettono di decrementare, a parità di tempo computazionale, l’errore relativo o ridurre il

tempo computazionale per ottenere il risultato a pari varianza. Per diminuire la varianza il codice

permette di agire in due modi differenti: semplificando il modello oppure utilizzando simulazioni

non analogiche. Nel primo caso, la semplificazione della geometria di regioni non particolarmente

rilevanti per la grandezza da misurare o la considerazione solo di range energetici e tipi di particelle

d’interesse riducono notevolmente il tempo computazionale. Il secondo approccio permette di

conseguire il medesimo obiettivo rendendo alcuni eventi più probabili di altri, attraverso il controllo

della popolazione, la variazione della frequenza di campionamento e l’introduzione di calcoli

parzialmente deterministici. L’applicazione delle tecniche TRV è successiva all’assegnamento di un

peso W uguale a 1 ad ogni particella al momento dell’emissione dalla sorgente. Gli espedienti che

l’utente può decidere di utilizzare sono i seguenti:

• Energy, Time and Weight Cutoff
permette di specificare un’energia, un tempo o un peso al di sotto delle quali la particella è terminata;

• Splitting o Roulette Russa
in base ad importanze assegnate dall’utente alle celle che costituiscono il sistema, la particella subisce uno splitting quando passa da una cella ad importanza minore ad una con importanza maggiore, una roulette russa viceversa. Nel primo caso la particella è scissa in n particelle di peso n-esimo rispetto alla prima e nel secondo la particella originaria può, con probabilità dettate dal rapporto tra l’importanza delle due celle di transizione, essere uccisa o sopravvivere con peso minore;

• Weight Windows
tale tecnica consente di definire per ciascuna cella un intervallo di pesi ammissibili. L’utente definisce un peso minimo W

e due parametri C

e C

. Il codice calcola il peso massimo come W

=W

*C

ed un cosiddetto peso di sopravvivenza W

=W

*C

. Se il peso della particella è inferiore a W

viene effettuata la roulette russa; se altrimenti il peso è maggiore di W

la particella subisce splitting e se infine W è compreso tra W

e W

, la particella passa indisturbata;

• Weight cutoff
consente di fissare un valore limite di peso di una particella, al di sotto del quale essa con una certa probabilità verrà terminata oppure continuerà con un peso incrementato ad un valore superiore a quello minimo ammesso;

• Forced Collision
permette di forzare la collisione di neutroni e fotoni all’interno di una cella e non è compatibile con il metodo Weight Window;

• Exponential Transform
per ciascuna particella che entra in una cella si possono definire alcuni parametri che controllano l’evoluzione della particella verso una direzione preferenziale.

Il codice MCNPX permette in ogni istante di valutare quantitativamente la varianza, infatti l’errore relativo R è riportato dal codice a fianco di ciascun risultato, ed è definito come rapporto tra la deviazione standard S ed il valor medio del risultato calcolato. In linea generale un risultato si può

ritenere significativo quando l’errore corrispondente risulta essere inferiore al 5%-10%.

Il codice effettua al suo interno anche dei controlli per verificare l’attendibilità dei risultati. Uno specifico test è effettuato al fine di verificare se la dipendenza dell’errore statistico dal numero di storie N è del tipo

N

1 , indice di una distribuzione gaussiana dei valori misurati e dunque della

natura casuale dell’errore.

Un altro è l’utilizzo della variabile detta Figura di Merito (FOM), definita come:

T FOM R

⋅

=

1 (6.9)

dove R è l’errore relativo e T il tempo di calcolo. Se, in accordo con quanto previsto dal teorema del limite centrale, R risulta essere proporzionale a

N

1 , dal momento che invece il tempo di calcolo T

è direttamente proporzionale al numero delle storie generate, si ricava che tale grandezza dovrebbe assumere un valore approssimativamente costante. Avere un FOM che varia casualmente entro un intervallo pari a circa due volte l’errore relativo ed il cui valor medio risulta praticamente costante è un indice di buona affidabilità dei risultati ottenuti, [25]. La struttura di un file di input è illustrata nella sezione successiva.

6.2 Progetto della configurazione:definizione della geometria.

Un file di input ha una struttura a cui bisogna obbligatoriamente attenersi affinché il codice riesca ad interpretare correttamente i dati del problema:

Titolo del problema (una riga) [Blocco 1] Definizione delle celle

Delimitatore riga bianca [Blocco 2] Definizione delle superfici

Delimitatore riga bianca [Blocco 3] Dati

Riga bianca di terminazione {opzionale}

I primi due Blocchi sono relativi alla definizione della geometria del problema, che può essere comunque complessa. Nel Blocco 1 di definizione delle celle, una qualunque struttura spaziale viene individuata mediante operatori booleani di unione e intersezione delle superfici che le delimitano. Il Blocco 2 prevede invece la definizione delle superfici, per le quali il codice ha già definite al suo interno le equazioni, cosicché è sufficiente fornire un’ opportuna etichetta e solo alcuni valori per caratterizzarle. Per una sfera, ad esempio, basterà indicare le coordinate del centro ed il suo raggio, mentre per un piano ortogonale ad un asse sarà la distanza dall’origine, misurata lungo quest’asse, il suo valore identificativo.

Si riporta, come esempio, la definizione della cella relativa al tappo in nylon, con riferimento alla Figura 93.

c SDD dosimeter

c Computational cells

19 3 -1.14 (-4 -6 11)(13:12) $nylon…

...

c Surfaces ...

4 cz 0.85 $superficie cilindrica con asse lungo z e raggio 0.85 cm centrata in (0,0,0)

...

6 pz 4.1 $superficie piana perpendicolare all’asse z di quota 4.1 cm ...

11 pz 3.2 12 pz 3.82 ...

13 cz 0.57 ...

Si osserva come ogni superficie divida lo spazio in due parti: una positiva ed una negativa. Per definizione la parte positiva è quella che contiene quei punti che, se sostituiti nell’equazione corrispondente alla superficie stessa, forniscono un valore positivo. Per descrivere una cella, è necessario combinare opportunamente tramite unioni ed intersezioni i semispazi individuati dalle diverse superfici, così da identificare la porzione di spazio contenuta nella cella stessa.

L’intersezione di due semispazi si ottiene semplicemente scrivendo, una di seguito all’altra, le etichette, con segno, relative alle due superfici che identificano i semispazi stessi, l’unione invece si ha ponendo tra le due etichette il simbolo ‘:’. Come è possibile inoltre osservare, i commenti possono essere introdotti con il carattere ‘$’ oppure ‘c ’.

Figura 92. Schematizzazione della geometria del problema.

Per ciascuna cella sono definiti anche due parametri relativi al materiale di riempimento: un numero identificativo che fa riferimento al Blocco 3, in cui sono elencati i materiali usati ed un secondo che esprime la densità del materiale in g/cm

.

Nel Blocco 3 sono dunque definiti i materiali utilizzati, specificandone, oltre ad un numero identificativo di riferimento per l’intero file di input, anche la composizione isotopica e le librerie di sezioni d’urto da utilizzare per la simulazione. A supporto dei calcoli, infatti, sono disponibili librerie di dati sia continue che discrete nella variabile energia, contenenti le densità di probabilità di tutti gli eventi possibili. Sono inoltre specificati nel Blocco 3 i tally, ovvero le stime che il codice compie su determinate grandezze scelte dall’utente, e tutte le altre Cards relative alle opzioni dei modelli di simulazione, alle modalità di run e alle tecniche di riduzione della varianza. I possibili tally, riportati in Tabella 1, sono sempre normalizzati rispetto al numero di particelle sorgente, cosicché, conoscendo il valore reale (particelle/s) dell’intensità della sorgente, si può risalire immediatamente agli effettivi valori di ciascuno di essi.

Tabella 9. Tally forniti dal codice MCNPX (a dicitura <pl> indica che il tally si applica a tutte le particelle che il codice è in grado di simulare: barioni, leptoni e mesoni, [31])

ETICHETTE DESCRIZIONE UDM

F1:<pl> Corrente di particelle 1

F2:<pl> Flusso mediato su una superficie 1/cm

F4:<pl> Flusso mediato su una cella 1/cm

F5a:N o F5a:P Flusso per un rivelatore puntiforme

o ad anello

1/cm

F6:<pl> Energia depositata in una cella MeV/g +F6 Riscaldamento dopo la collisione MeV/g F7:N Energia di fissione depositata in

una cella

MeV/g

F8:<pl> Distribuzione energetica degli impulsi in un rivelatore

Numero di impulsi

+F8:<pl> Deposizione Carica

All’interno del Blocco 3 è anche definita la sorgente, per la quale sono previsti molti parametri, tra

cui energia e posizione. È infine possibile specificare la terminazione del calcolo sia specificandone

il tempo o il numero massimo di particelle generate dalla sorgente, come è stato fatto nel presente

caso.

nps 5e6 $si campionano 5*10⁶ particelle

6.3 Cenni alla fisica delle interazioni alle alte energie: modelli disponibili.

Il codice MCNPX offre inoltre la possibilità di scegliere uno di quattro modelli di simulazione delle interazioni alla alte energie (Bertini, Isabel, CEM2K, e INCL4/ABLA) oppure di utilizzarli in combinazione, scegliendo la tipologia di particelle e gli intervalli energetici in cui prediligere l’impiego di un modello piuttosto che di un altro. Tali modelli sono intrinsecamente di tipo Monte Carlo, essi infatti, essendo pensati per simulazioni numeriche, non sono completamente descrivibili analiticamente, se non con pesanti approssimazioni. Per comprendere le differenze tra di loro è opportuno tener presente che, per energie superiori alle centinaia di MeV, la natura e, di conseguenza, le sezioni d’urto relative alle reazioni tra nucleoni mutano notevolmente.

Per energie inferiori all'energia di soglia della produzione di un pione (≈ 290 MeV per un nucleone libero), le interazioni adrone

-nucleone sono principalmente reazioni di diffusione elastica. Per energie superiori, la componente anelastica diviene progressivamente più importante, con conseguente produzione di particelle (canali non-elastici). Nella sua configurazione attuale, per energie adroniche nell’intervallo di energie da ≈ 20 MeV a ≈ 2.5 GeV, il codice MCNPX utilizza i tre modelli sopra citati che combinano un modello di cascata intranucleare (Intra Nuclear Cascade - INC) ed un modello di preequilibrio. I modelli INC, sviluppati a partire dagli anni '40, descrivono le interazioni nucleari ad alta energia in termini di collisioni adroni-nucleoni nel nucleo.

L’assunzione che è alla base dell’intra nuclear cascade è che è possibile modellizzare le interazioni che avvengono tra adroni incidenti di elevata energia e il nucleo di un materiale bersaglio come semplici interazioni particella-particella che avvengono all’interno del nucleo. Tale assunzione trova giustificazione nel fatto che le lunghezza d’onda della particella incidente e dei prodotti di reazione sono inferiori della distanza inter-nucleonica (≈ 10

cm). Su questa base è possibile effettuare un’analisi quantitativa della reazione seguendo le interazioni di ogni singola particella. Si è così in grado di calcolare il punto preciso ove avviene la collisione, il tipo di collisione, il momento del nucleone bersaglio e gli angoli di scattering mediante tecniche di campionamento statistico, [28, 29]. Il nucleo bersaglio è modellizzato come un gas di Fermi; tale

25 Per adrone si intende una particella subatomica formata da fermioni (es. quark e antiquark) e bosoni (es.

gluoni). La famiglia degli adroni è ulteriormente suddivisa in tre sottogruppi: barioni (protoni e i neutroni); barioni esotici; mesoni (pioni e kaoni).

modello trascura l’interazione tra i nucleoni e ne rappresenta il potenziale come una buca (Figura 94), mentre si assume che il potenziale pionico sia nullo.

Figura 93. Modello di Fermi del potenziale nucleare per protoni e neutroni, con B’ energia di legame, EFp energia di Fermi per i protoni ed EFn per i neutroni.

Si ricorda infatti che i pioni

sono generati in urti nucleone-nucleone secondo la reazione:

n + n
2n + π.

Secondo l’INC, una particella incidente su un nucleo interagisce con i singoli nucleoni secondo probabilità dettate dalle sezioni d’urto n-n, p-p, p-n e n-p in un potenziale che descrive la densità nucleare in funzione del raggio. A questa fase, in accordo al modello di pre-equilibrio multistadio, segue la diseccitazione del nucleo residuo, durante la quale si assiste ad emissione di neutroni, protoni, deuteroni

, tritoni

o particelle α. Il nucleo residuo può successivamente subire evaporazione, emettendo neutroni e ioni leggeri, o fissione. Energie tipiche per lo stadio di evaporazione si aggirano attorno a qualche MeV. Nello stadio finale il nucleo eccitato decade emettendo raggi γ. La Figura 95 schematizza il processo

26 Pione è la forma abbreviata del nome mesone Pi, esiste in tre forme: pi-zero (π0), pi-più (π+) e pi-meno (π-): il mesone π+ e π- hanno massa di 139.6 MeV/c² e una vita media di 2.6×10⁻⁸ s; il mesone π0 ha invece massa di

135 MeV/c² e una vita media di 8.4×10⁻¹⁷ s.

27 Nucleo dell’atomo di deuterio.

28 Nucleo di un atomo di trizio.

Neutrone di alta energia π INC n

d α

n p

Pre-equilibrio

Evaporazione Fissione

n p

d α

t n

p

α d

t

γ

γ Diseccitazione

p

Figura 94.Processo di intra nuclear cascade

Tale modello necessita di alcune assunzioni:

• I neutroni si propagano come particelle libere all’interno del nucleo, con una probabilità di interazione data dalla sezione d’urto nello spazio libero;

• Il moto delle particelle è descritto secondo la formulazione classica, può essere soggetto ad un potenziale nucleare medio, che deve essere sommato all’energia cinetica della particella libera qualora questa attraversi il nucleo;

• L’effetto del potenziale nucleare medio sul moto delle particelle può essere nullo o determinare traiettorie curve in un approccio semiclassico, secondo il principio di conservazione dell’energia e del momento;

• Le interazioni si verificano nel Centro di Massa del sistema neutrone-nucleone, come se ci si trovasse nello spazio libero;

• Le interazioni sono incoerenti e totalmente incorrelate. Non sono descritti fenomeni multicorpo, ad eccezione dell’assorbimento dei pioni;

• Gli unici effetti quantistici considerati sono quelli relativi al principio di esclusione di Pauli;

• I prodotti di reazione sono considerati al pari di particelle primarie, con la sola differenza che la loro traiettoria ha inizio all’interno del nucleo.

Un codice che descriva l’INC, pre-equilibrio ed evaporazione segue i seguenti passi:

1. Descrizione del nucleo bersaglio: tipicamente descritta da sfere concentriche a diversi livelli di densità ed energia di Fermi;

2. Sezione d’urto geometrica pari a πR

, con R corrispondente al raggio nucleare o al parametro di massimo impatto;

3. Selezione dei parametri d’impatto con una probabilità costante su tutta la sezione d’urto geometrica;

4. Selezione del punto d’interazione e del percorso del neutrone incidente attraverso il nucleo.

Essa viene effettuata considerando le sezioni d’urto neutrone incidente – nucleone e possibilmente il campo nucleare medio, considerando anche il campo Coulombiano;

5. Simulazione dell’interazione adottando modelli tipo interazione libera neutrone- nucleone e considerando il valore dell’energia di Fermi locale e il principio di esclusione di Pauli;

6. Modellizzazione del trasporto dei prodotti di reazione all’interno del nucleo fino a che non si verifica nuova interazione, fuoriuscita degli stessi o assorbimento da parte del nucleo al di sotto di una soglia (energy cut-off);

7. Stadio di pre-equilibrio, che garantisce la transizione tra la prima fase della reazione e la termalizzazione finale (opzionale, incluso nei modelli più recenti). Il processo di pre- equilibrio si svolge in una catena di passi successivi, in ciascuno dei quali nel nucleo avvengono interazioni successive nucleone-nucleone, aumentando di volta in volta il numero di eccitoni

di due unità. L’equilibrio è raggiunto al termine di tale processo, ovvero quando il numero di eccitoni n è sufficientemente elevato ( n = 2 gE , con E energia di eccitazione e g livello di densità relativo alla singola particella);

8. Stadio di evaporazione alla conclusione del pre-equilibrio o quando tutte le particelle raggiungono la soglia richiesta;

9. Stadio di diseccitazione finale, tramite emissione fotonica, quando l’energia di eccitazione è inferiore alla soglia di emissione di ulteriori particelle.

Per energie superiori ai 2.5 GeV, [30] il codice MCNPX adotta una versione precedente di un altro codice Monte Carlo per la simulazione del trasporto di particelle: FLUKA (FLUctuating KAskad);

pensato per le esigenze della fisica di disporre di simulazioni molto accurate di sciami di particelle.

In particolare, le interazioni anelastiche adrone-nucleone sono trattate secondo il Modello Duale a Partoni (Dual Parton Model), [30].

Sono state effettuate simulazioni con i modelli messi a disposizione dal codice e, sulla base degli esiti di simulazione e di un’analisi bibliografica delle differenze tra essi, si è scelto di basare la

29 Particella con energia superiore al livello di Fermi o lacuna ad energia inferiore.

scelta dello spessore ottimale dello strato di piombo con cui circondare la fiala effettuando le simulazioni con il modello CEM2K. Il processo di interazione tra nucleone incidente e nucleo, basato sull’intranuclear cascade, è ripreso da tutti i modelli, con alcune varianti che sono analizzate di seguito.

Il modello Bertini (1962) è stato il primo, in ordine temporale, ad essere stato sviluppato, e prende il nome dal suo ideatore: Hugo W. Bertini. Il modello nucleare ad esso associato prevede un nucleo costituito da tre sfere concentriche, il cui raggio è determinato dalle distanze alle quali la funzione di distribuzione di carica assume rispettivamente i valori: 0.9, 0.2 e 0.01. La densità protonica in ogni regione è posta eguale al valor medio della distribuzione di carica nella medesima regione; il rapporto tra densità protonica e neutronica resta invece costante ed eguale a quello del nucleo. Considerando inoltre un’energia di legame del nucleone meno legato pari a 7 MeV, il potenziale di ciascun nucleone è calcolato sommando questo valore all’energia di Fermi. Il potenziale dei pioni è invece considerato eguale a quello dei nucleoni con cui è avvenuta l’interazione, [31].

Il modello ISABEL, simile al Bertini per quanto riguarda la successione degli stadi di reazione, presenta alcune differenze nel modello atomico. Infatti il nucleo è modellizzato come 17 sfere concentriche di densità determinata come nel modello precedente.

Il modello CEM2K differisce dai precedenti non solo per la modellizzazione del nucleo, ma anche per la diversa durata degli stadi successivi di Intra-nuclear cascade, pre-equilibrio ed evaporazione. È stato infatti osservato che sussiste discordanza tra i dati della distribuzione isotopica di alcuni elementi generati in seguito ad un bombardamento con protoni di opportuna energia, calcolate con i modelli Isabel e Bertini, e quelli sperimentali misurati dal GSI

, [32]. In particolare i modelli sovrastimano la produzione di isotopi pesanti, con una differenza progressivamente maggiore al diminuire del numero di massa. Da tale esito di simulazione si comprende che è sottostimata la produzione neutronica, che avviene principalmente in fase di evaporazione. Gli approcci possibili per risolvere tale incongruenza con i dati sperimentali sono due:

• Diminuzione della durata della fase di pre-equilibrio affinché sia disponibile con energia di eccitazione durante la fase di evaporazione;

• Allungamento della fase di INC tale da diminuire l’energia di eccitazione disponibile alla transizione nella fase di preequilibrio con conseguente emissione di un minor numero di particelle di preequilibrio; lasciando dunque più energia di eccitazione per lo stadio di evaporazione.

30 Gesellschaft für Schwerionenforschung, Società di ricerca in ioni pesanti, Darmstadt – Germania.

Per lo sviluppo del modello CEM2K sono stati adottati entrambi i metodi ora descritti, allungando la fase di INC e considerando, in fase di pre-equilibrio, solo le transizioni che determinano l’aumento del numero di eccitoni trascurando invece quelle che lo lasciano invariato o lo decrementano. In tal modo si riesce a diminuire la durata della fase di pre-equilibrio e il numero di particelle emesse. Con questi accorgimenti, il modello CEM2K, implementato nel codice MCNPX2.5.0 riesce a rappresentare in modo fedele i dati sperimentali, [32].

Al fine di confrontare i tre modelli precedentemente descritti, sono eseguite delle simulazioni dove la fiala contenente il gel era inglobata in un cilindro di Pb avente uno spessore di 0.25 cm. Dalla Figura 96, esito del confronto delle simulazioni, è possibile osservare che nel modello CEM2K, rispetto agli altri due, non è presente la depressione in corrispondenza dell’intervallo energetico tra 10 e 40 MeV. Ciò dimostra l’allungamento della fase di Intra-Nuclear- Cascade e la quasi totale riduzione della fase di pre-equilibrio, limitata all’energia di 10 MeV.

Figura 95. Flusso (attraverso la superficie cilindrica tra il Piombo e la fiala) normalizzato per il numero di particelle in funzione dell’energia per i tre modelli in analisi

.

Per questi motivi la simulazione è stata condotta con il modello CEM2K, che risulta inoltre

essere il più aggiornato dei tre, [32]. Sono stati studiati tre fasci di neutroni monoenergetici (19, 100

e 1000 MeV) e tre diversi spessori del guscio (0.25, 0.5 e 0.75 cm). Le Figure 96, 97 e 98 mostrano

che, per tutti i valori energetici, già uno spessore di 0.25 cm risulta sufficiente ad ottenere l’effetto

desiderato di creazione di uno spettro neutronico distribuito tra 0.01 MeV e l’energia di sorgente

(19, 100 e 1000 MeV nei tre casi).

Figura 96. Flusso (attraverso la superficie cilindrica tra il Piombo e la fiala) normalizzato per il numero di particelle in funzione dell’energia per i tre spessori di Pb di 0.25, 0.5 e 0.75 cm ed un fascio di 100 MeV

.

Figura 97. Flusso (attraverso la superficie cilindrica tra il Piombo e la fiala) normalizzato per il numero di particelle in funzione dell’energia per i tre spessori di Pb di 0.25, 0.5 e 0.75 cm ed un fascio di 19 MeV

.

Figura 98. Flusso (attraverso la superficie cilindrica tra il Piombo e la fiala) normalizzato per il numero di particelle in funzione dell’energia per i tre spessori di Pb di 0.25, 0.5 e 0.75 cm ed un fascio di 1000 MeV.

Sono state analizzate le differenze di soli tre dei quattro modelli disponibili, poiché il

modello INCL4 (IntraNuclear Cascade Liege - Cugnon) / ABLA (Deexcitation - Schmidt(GSI)),

volto principalmente al miglioramento della descrizione dei fenomeni quantistici e di spallazione,

presenta un accordo con i dati sperimentali peggiore del modello CEM2K nelle stesse condizioni

(valori di sezioni d’urto relativi alla produzione di isotopi successiva alla reazione tra protoni di

energia 1 GeV e il

Pb), [33].