ANALISI DI UNA SERIE TEMPORALE
• Analisi statistica elementare
Abbiamo costruito il grafico delle sst in funzione del tempo (dal 1880 al 1995).
Si puo' osservare una media di circa 26°C e una deviazione std di 1.5°C.
Creiamo un istogramma di dati che raggruppiamo in 30 bins.
Il grafico presenta una simmetria ma l'andamento non e' propriamente gaussiano e presenta un minimo relativo centrale.
Essendo la coda destra piu' pronunciata rispetto alla parte sinistra la distribuzione ha uno skewness positivo.
Aumentando il numero di bins si ha un effetto di “bocca sdentata”
Usando solo 15 bins invece si ha una perdita di dettagli.
La media dei dati che abbiamo ottenuto e' di 25.72 °C', la varianza 1.47°C e la deviazione std 1.21°C. Sono quindi abbastanza ragionevoli con quelli stimati.
Grafichiamo sst il funzione di t e indichiamo con il rosso il valor medio, con il verde ±1std e con il giallo ±2std.
• Autocorrelazione
Grafico del coefficiente di autocorrelazione in funzione dei lags
Non vi sono oscillazioni e si ha una “caduta” lineare dal valore 1 a lags 0 fino al valore 0 per lags massimo in valore assoluto.
Grafico del coefficiente di autocovarianza in funzione dei lags
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• Spettro di potenza
Grafico delle sst in funzione del tempo dal 1880 al 1900
Si osserva una periodicita' dominante annuale che ha ampiezza di circa 2 °C.
Togliamo la media ai dati e calcoliamo il periodogramma di tutta la serie.
Il picco dominante si trova a una frequenza di 0,08 mesi-1. La periodicita' annuale che prima avevamo osservato si ritrova nel picco piu' alto. Si riscontrano altri picchi a 0.02 0.03 e 0.017 mesi-1.
Grafico del periodogramma in scala log log per poter osservare i picchi piu' bassi.
Nel grafico log log sono piu' evidenti i picchi a basse frequenza mentre le ampieze sono piu' visibili in quello lineare.
Grafico semilogaritmico dello spettro di potenza.
Nel grafico semilogaritmico si osservano bene entrambi gli aspetti dei grafici precedenti.
Grafico con frequenza di campionamento annuale con l'asse delle ascisse rovesciato.
Si osserva che il picco massimo corrisponde al periodo di un anno.
Restringiamo il range di valori in ordinata per osservare meglio i picchi di ampiezza minore.
Il secondo picco piu' alto e' a 4 anni e ne osserviamo un altro a 3 anni.
L'andamento generale dello spettro non appare piatto.
• Intervalli di confidenza e di significativita' dei picchi.
Troviamo il livello di significativita' per lo spettro di NINO3 al 95% e 99.9% di confidenza con fondo di rumore bianco a varianza unitaria.
Grafico in cui si sovrappone il periodogramma ai livelli di significativita' e il rumore bianco
I picchi che superano la confidenza al 99.9% sono quelli di 1, 3, 4 anni.
Alla confidenza del 95% si aggiungono anche i picchi a 0.5, 1.2,6,13 anni.
Usiamo lo stesso grafico sovrapponendo il fondo di rumore rosso e considerando solamente la confidenza al 95%.
Nel test con rumore rosso i picchi con piu' anni restano esclusi. I picchi che passano il test sono quello di 1 anno e 6 mesi mentre quelli tra i 2 e 7 anni no.
• Whitening
Si graficano adesso le anomalie di temperatura, filtrando le sst in modo da escludere il ciclo annuale
La distribuzione ottenuta presenta un migliore andamento gaussiano rispetto all'istogramma relativo alle sst.
Si osserva un aumento del valore di skewness e la comparsa un massimo assoluto centrale.
La media delle anomalie e' di 0.012 °C, la deviazione std e' di 0.76°C.
Grafico coefficiente di autocorrelazione delle anomalie
A differenza di quello precedente si hanno oscillazioni attorno a ρ= 0 per valori di lags diversi da 0. Infatti in questo caso si tratta di anomalie che non tengono conto dei cambiamenti stagionali.
Grafico in cui si sovrappone il periodogramma delle anomalie ai livelli di significativita' al 95% e 99.9% di confidenza e il rumore bianco.
Si e' fissato un nuovo limite superiore dell'asse y in quanto e' aumentato il valore assoluto dei picchi spettrali.
I picchi tra i 2 e 7 anni superano il livello di confidenza mentre il ciclo annuale non si vede piu' essendo stato filtrato.
Infine si considerano i valori precedenti introducendo il fondo di rumore rosso.
Al livello di significativita' piu' basso nessun picco passa il test, mentre con la
significativita' del 5% si hanno alcuni picchi tra un 1 anno e 7 anni, in particolare tra 3 e 7 anni.
ANALISI SPETTRALE EVOLUTIVA: CWT
Si utilizzano le stesse anomalie di sst usate nell'analisi precedente su scala stagionale anziche' mensile, valutando una scala iniziale di 15 anni. Tale analisi viene eseguita mediante la trasformata continua di wavelet complessa di Morlet e in seguito si ripete con la wavelet complessa di Paul e reale DOG.
• wavelet complessa di Morlet
Si fissa il minimo fattore di scala di interesse a0 uguale a 2 e il parametro relativo alla wavelet di Morlet uguale a 6. L'intervallo di tempi considerato varia dal 1870 al 2000 e si generano itre seguenti grafici con i dati standardizzati:
1. Serie temporale di anomalie sst in funzione del tempo
2. Contour plot dello scalogramma in funzione del tempo in ascisse e del periodo di Fourier dimensionale in ordinate (anni)
3. Spettro globale di Wevlet in funzione del periodo di Fourier in anni
Osservando i grafici ottenuti si possono fare le seguenti osservazioni:
Gli intervalli ad elevata attivita' di El Nino vanno dal 1880 al 1920 e dal 1960 al 1990 mentre l'intervallo dal 1920 al 1960 pare essere relativamente calmo.
Il cono di influenza rappresenta l'ampiezza della zona “disturbata” e si osserva che tale zona cresce al diminuire del periodo considerato.
Osservando le mappe con linee di contorno si osserva nel periodo dai 2 ai 7 anni periodicita' maggiore e sembrano esserci modulazioni di periodo di 15 anni.
Confrontando lo scalogramma con la figura della varianza corrente notiamo che le bande relative al fenomeno del El Nino sono piu' evidenti e di facile lettura.
Tra il 1880 e 1915 si osserva un intervallo di periodicita' di 2 anni mentre nel periodod successivo dal 1915 al 1920 si ha uno shift della potenza significativa in quanto la periodicita' diventa di 4 anni.
Dal 1960 al 1975 si osserva un intervallo di periodicita' di 4 anni mentre nel periodo successivo si ha uno shift della potenza significativa a 2 anni.
Guardando lo spettro globale di wavelet il periodo che supera il test di confidenza sono proprio quelli dai 2 ai 7 anni.
• wavelet complessa di Paul
Si fissa il minimo fattore di scala di interesse a0 uguale a 2 e il parametro relativo alla wavelet di Paul uguale a 4. L'intervallo di tempi considerato e' lo stesso della wavelet di Morlet ma la wavelet di Paul e' piu' stretta nel tempo.
Questa caratteristica della wavelet di Paul ci consente una migliore
localizzazione nel tempo in modo da osservare meglio gli anni di maggiore intensita' dell'evento ma si osserva meno facilmente la sua periodicita' (poiche' peggiora la localizzazione in frequenza).
• wavelet reale DOG
Si fissa il minimo fattore di scala di interesse a0 uguale a 1 e il parametro relativo alla wavelet di Paul uguale a 2.
Presenta una struttura di scala piu' fine dovuta al fatto che i picchi positivi e negativi della serie si combinano in picchi piu' ristretti. Quindi nello scalogramma di DOG si ha maggiore estensione in frequenza e piu' stretta in tempo.
SPETTRO GLOBALE DI WAVELET
Si considerano le anomalie dei dati stagionali utilizzando una frequenza di campionamento di 4 anni-1. Grafichiamo il relativo periodogramma con fondo di rumore rosso e i livelli di signifcativita' del 5% e 0,01% con logaritmo in base 2 del periodo in anni sulle ascisse con asse delle ascisse rovesciate.
Si confronta tale periodogramma con quello ottenuto mediante l'analisi di Fourier sui dati mensili con frequenza di campionamento di 1 anno-1.
Confrontando i due periodogrammi si osserva che nel primo i picchi hanno ampiezza dimezzata rispetto a quelli del ciclo mensile.
Si vuole adesso confrontare lo spettro globale di Morlet complessa con lo spettro ottenuto da metodi di Fourier .
Si procede effettuando una media corrente su 5 campioni dello spettro di Fourier e si grafica il risultato, insieme allo spettro globale di wavelet con la sua curva globale di significativita'.
Confrontando le due curve si osserva che nello spettro globale di wavelet si ha un notevole smussamento dei picchi ad alta frequenza.
Il periodo significativo alla confidenza del 95% nello spettro globale di wavelet e' quello tra i 2 e 4 anni.
Rifacciamo lo stesso procedimento facendo la media corrente su 9 campioni.
Si osserva che il periodogramma al crescere dello smoothing tende allo spettro di wavelet.
