10 - Connessione

7

Analisi dell’associazione

tra caratteri

Analisi dell’associazione tra caratteri

•

Si ha dipendenza logica tra due caratteri quando si suppone a priori una relazione causa-effetto

•

Si ha interdipendenza logica tra due caratteri quando si suppone a priori un’interrelazione

•

Si ha indipendenza logica tra due

caratteri quando si suppone a priori che

non possa sussistere alcuna relazione

Analisi dell’associazione tra caratteri

A seconda degli obiettivi dell’indagine statistica si possono utilizzare diversi metodi per studiare l’associazione tra due caratteri.

La scelta e l’impiego di un metodo dipende

anche dal tipo di caratteri considerati.

Connessione

Dipendenza in media Correlazione

Analisi dell’associazione tra caratteri

Entrambi i caratteri qualitativi

Un carattere qualitativo e uno quantitativo

Entrambi i caratteri quantitativi

Sì Sì Sì

Sì

Sì Sì

No

No No

7a

La connessione

La connessione

L’analisi della connessione tra due caratteri può essere condotta quando si dispone della loro distribuzione bivariata.

Si tratta di un metodo adatto al caso di due

caratteri entrambi qualitativi, quindi può

essere utilizzato anche per tutte le altre

tipologie di caratteri, purchè i quantitativi

continui siano raggruppati in classi.

La connessione

L’analisi della connessione, si basa sul confronto fra la situazione osservata nella realtà e le seguenti due situazioni estreme:

•

connessione minima o nulla (indipendenza distributiva)

•

connessione massima

Connessione nulla

(indipendenza distributiva)

Il carattere A è indipendente in distribuzione dal carattere B (A non è connesso con B) se le distribuzioni di frequenze relative di A condizionate alle varie modalità di B sono tutte uguali.

Il carattere B è indipendente in distribuzione

dal carattere A (B non è connesso con A) se

le distribuzioni di frequenze relative di B

condizionate alle varie modalità di A sono

Connessione nulla

(indipendenza distributiva)

Esaminiamo la seguente tabella che riporta la distribuzione bivariata dei due caratteri

•

Grado di apprezzamento di un vino

•

Genere

rilevati su N=300 soggetti.

Connessione nulla

(indipendenza distributiva)

Genere

Apprezzamento Maschi Femmine Totale

Basso 20 30 50

Intermedio 60 90 150

Alto 40 60 100

Totale 120 180 300

Connessione nulla

(indipendenza distributiva)

Genere

Apprezzamento Maschi Femmine Totale

Basso 0.17 0.17 0.17

Intermedio 0.50 0.50 0.50

Alto 0.33 0.33 0.33

Totale 1.00 1.00 1.00

Valutiamo se l’Apprezzamento è indipendente

in distribuzione dal Genere calcolando le

distribuzioni di frequenze relative condizionate

Connessione nulla

(indipendenza distributiva)

Genere

Apprezzamento Maschi Femmine Totale

Basso 0.4 0.6 1.00

Intermedio 0.4 0.6 1.00

Alto 0.4 0.6 1.00

Totale 0.4 0.6 1.00

Valutiamo se il Genere è indipendente in

distribuzione dall’ Apprezzamento calcolando le

distribuzioni di frequenze relative condizionate

Connessione nulla

(indipendenza distributiva)

L’indipendenza distributiva è una relazione simmetrica: se A non è connesso con B, allora B non è connesso con A.

Quindi possiamo ragionare indifferente-

mente facendo riferimento all’indipen-

denza di A da B o a quella di B da A.

Connessione nulla

(indipendenza distributiva)

La condizione di indipendenza distributiva di A da B o si può anche scrivere come

cioè



|i

f

f

N n n

n

j

ij 





Connessione nulla

(indipendenza distributiva)

Allora possiamo dire che in caso di indipendenza distributiva tra i due caratteri, le frequenze assolute congiunte sono pari a

N n n

n





Connessione nulla

(indipendenza distributiva)

Verifichiamo questa proprietà sulla nostra tabella

Genere

Apprezzamento Maschi Femmine Totale

Basso 20 30 50

Intermedio 60 90 150

Alto 40 60 100

Totale 120 180 300

Connessione nulla

(indipendenza distributiva)

Genere

Apprezzamento Maschi Femmine Totale

Basso 20 30 50

Intermedio 60 90 150

Alto 40 60 100

Totale 120 180 300

300 20

50 120

N n

n

n



  



n

n

n N

Connessione nulla

(indipendenza distributiva)

Genere

Apprezzamento Maschi Femmine Totale

Basso 20 30 50

Intermedio 60 90 150

Alto 40 60 100

Totale 120 180 300

300 90

150 180

N n

n

n



  



n



n

n N

Connessione nulla

(indipendenza distributiva)

N n n n

ˆ





Poichè in genere la situazione di perfetta indipendenza distributiva è solo teorica, si usa rappresentare la relazione appena verificata in questo modo

e si dice che rappresenta la frequenza congiunta teorica attesa in caso di indipendenza distributiva.

n

ˆ

Connessione nulla

(indipendenza distributiva)

La relazione che consente di calcolare le frequenze teoriche attese in caso di indipendenza distributiva si può facilmente riesprimere in termini di frequenze relative

j i

ij

f f

fˆ 



Connessione massima

(perfetta dipendenza distributiva)

Il carattere A dipende perfettamente in distribuzione dal carattere B (massima connessione unilaterale di A rispetto a B) se ad ogni modalità di B è associata un’unica modalità di A.

Questo tipo di massima connessione si

può avere solo se A ha un numero di

modalità minore o uguale a quelle di B.

Connessione massima

(perfetta dipendenza distributiva)

A B b

b

b

Totale

a

10 20 0 30

a

0 0 30 30

Il carattere A dipende perfettamente in

distribuzione dal carattere B (massima

connessione unilaterale di A rispetto a B) se ad

ogni modalità di B è associata un’unica modalità

di A.

Connessione massima

(perfetta dipendenza distributiva)

A B b

b

b

Totale

a

10 20 0 30

a

0 0 30 30

Notiamo che per questa tabella non sussiste

anche la massima connessione unilaterale di B

rispetto ad A, che si avrebbe se ad ogni modalità

di A fosse associata un’unica modalità di B.

Connessione massima

(perfetta dipendenza distributiva)

In generale, se la tabella è rettangolare

(cioè A e B hanno un numero diverso di

modalità), si può avere massima

connessione unilaterale del carattere con

minori modalità rispetto all’altro, ma non

viceversa.

Connessione massima

(perfetta dipendenza distributiva)

La relazione di massima connessione può essere simmetrica, e in questo caso si parla di massima connessione bilaterale tra A e B, se la tabella è quadrata, cioè se A e B hanno lo stesso numero di modalità.

Tra i caratteri A e B esiste massima

connessione bilaterale se ad ogni modalità

di un carattere corrisponde un’unica

modalità dell’altro carattere e viceversa.

Connessione massima

(perfetta dipendenza distributiva)

Tra i caratteri A e B esiste massima connessione bilaterale se ad ogni modalità di un carattere corrisponde un’unica modalità dell’altro carattere e viceversa.

A B b

b

b

Totale

a

0 10 0 10

a

0 0 20 20

a

30 0 0 30

Analisi della connessione

Le due situazioni estreme ora esaminate sono in genere solo teoriche.

Normalmente una distribuzione bivariata

non evidenzia nè indipendenza

distributiva, nè massima connessione, ma

si collocherà in un punto intermedio tra

questi due estremi.

Analisi della connessione

Quindi per ogni data distribuzione vorremmo poter sapere dove si colloca, se più vicina ad una situazione di indipendenza distributiva o ad una situazione di massima connessione.

Vorremmo in altre parole, valutare il grado

di connessione tra due caratteri in base

alla loro distribuzione bivariata.

Analisi della connessione

Un’idea semplice consiste nel confrontare le frequenze congiunte osservate con quelle teoriche attese nel caso di perfetta indipendenza distributiva .

Otteniamo le cosiddette contingenze.

n

n

ˆ

ij ij

ij

n n ˆ

c  

n ˆ

c n ˆ

n ˆ

d n  



Contingenze assolute Contingenze relative

Analisi della connessione

Utilizzando le contingenze possiamo valutare se vi è attrazione (c

> 0) o repulsione (c

< 0) tra la modalita a

di A e la modalità b

di B.

ij ij

ij

n n ˆ

c  

n ˆ

c n ˆ

n ˆ

d n  



Contingenze assolute Contingenze relative

Analisi della connessione

La contingenza relativa può anche essere scritta come

quindi si interpreta come la variazione (incremento in caso di attrazione - c

> 0 - e decremento in caso di repulsione - c

< 0) che si osserva tra la frequenza teorica e

n 1 ˆ n n ˆ

n ˆ d n

ij ij ij

ij ij

ij

  



Analisi della connessione

E’ facile verificare che

quindi le contingenze possono essere calcolate anche a partire dalle frequenze relative.

ij ij ij

ij

fˆ

fˆ d f 



Analisi della connessione

Vediamo ora il nostro esempio iniziale.

Prima di tutto calcoliamo le frequenze teoriche attese in caso di indipendenza.

B

A Modesto Medio Elevato Totale

Piccola 45 36 21 102

Media 30 48 27 105

Grande 15 24 54 93

Analisi della connessione

B

A Modesto Medio Elevato Totale

Piccola 30.60 36.72 34.68 102

Media 31.50 37.80 35.70 105

Grande 27.90 33.48 31.62 93

300

105 108 

300

93

102 

Analisi della connessione

B

A Modesto Medio Elevato Totale

Piccola 30.60 36.72 34.68 102

Media 31.50 37.80 35.70 105

Grande 27.90 33.48 31.62 93

Poichè le frequenze teoriche sono diverse da

quelle osservate, tra i due caratteri esiste

connessione. Calcoliamo le contingenze.

Analisi della connessione

B

A Modesto Medio Elevato Totale

Piccola 14.40 -0.72 -13.68

Media -1.50 10.20 -8.70

Grande -12.90 -9.48 22.38 80

. 37

48  21  34 . 68

Analisi della connessione

A questo punto possiamo esaminare le singole coppie di modalità e valutare se fra di esse vi è attrazione o repulsione.

A questa analisi disaggregata delle

contingenze si può abbinare il calcolo di

un indice che consenta di valutare il grado

di connessione tra i due caratteri.

Indice di connessione normalizzato

dove k è il minore tra il numero di modalità di A e quello di B e l’indice X

è il cosiddetto indice di associazione di Pearson (1900)

) 1 k

( N

C X

 

 ^



2 ij 2 ij

n ˆ

) n ˆ n

X (

Indice di connessione normalizzato

L’indice X

può essere calcolato anche a partire dalle frequenze relative

 ^



ij ij 2 2 ij

fˆ

) fˆ f

N (

X

Indice di connessione normalizzato

L’indice C ha le seguenti proprietà:

•

vale 0 in caso di indipendenza

•

vale 1 in caso di massima connessione

•

in tutti gli altri casi assume un valore

compreso tra 0 e 1

Indice di connessione normalizzato

B

A Modesto Medio Elevato Totale

Piccola 14.40 -0.72 -13.68

Media -1.50 10.20 -8.70

Grande -12.90 -9.48 22.38

Calcoliamo l’indice C nella tabella del nostro esempio.

Eleviamo al quadrato le contingenze e dividiamole

per le frequenze teoriche per calcolare X

.

Indice di connessione normalizzato

B

A Modesto Medio Elevato Totale

Piccola 6.7765 0.0141 5.3963

Media 0.0714 2.7524 2.1202

Grande 5.9645 2.6843 15.8401

 

80 . 37

20 .

10

 

68 . 34

68 .

13



Indice di connessione normalizzato

B

A Modesto Medio Elevato Totale

Piccola 6.7765 0.0141 5.3963

Media 0.0714 2.7524 2.1202

Grande 5.9645 2.6843 15.8401

6198 .

n 41 ˆ

) n ˆ n

X

(

ij

2 ij

2 ij

 

 

Indice di connessione normalizzato

Otteniamo infine

che si interpreta dicendo che tra la Dimensione dell’azienda e il Grado di utilizzo delle tecnologie moderne vi è una connessione pari al 26.34% del massimo

2634 .

) 0 1 3

( 300

6198 .

41 )

1 k

( N

C X



 

 