ESTRAZIONE DI RADICE
La radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza e quando si calcola non si dice “fare la radice”, ma si dice “estrarre la radice”.
Le particolarità della radice sono:
• l’esponente della potenza è l’indice della radice che può essere: quadrata (=2); cubica (=3);
quarta (=4).
• la base della potenza è il radicale, ovvero il risultato dell’operazione di radice
• il risultato della potenza è il radicando, ovvero il numero da cui estrarre la radice
Noi studieremo solo le radici quadrate, cioè quelle con indice 2 che per tale motive viene sottointeso
LA RADICE QUADRATA
La radice quadrata di un numero è un numero (radicale) che elevato alla seconda ci da come risultato il radicando
Es:
€
16 = 4 perché
€
42 = 16
Le radici quadrate possono essere:
• PERFETTE - Il radicale (risultato) è un numero intero o decimale finito
• APPROSSIMATE - Il radicale (risultato) è un numero decimale periodico o illimitato non periodico (irrazionale)
METODI DI CALCOLO
1. C
ALCOLO A MENTENUMERI INFERIORI A 100 O 121
Il risultato di una radice perfetta o approssimata può essere ipotizzato cercando di associare i numeri ai propri quadrati perfetti:
Es.
49 〈 59〈 64
cioè il risultato è un numero compreso tra 7 < x < 8 Il risultato viene calcolato con una media aritmetica dello scarto tra i due numeri.Es
23
---à = 4,8 perché la radice di 25 è 52. C
ALCOLO CON L’
USO DELLE TAVOLENUMERI INFERIORI A 1000
Si cerca il radicando nella colonna di n, la sua radice (radicale) sarà il numero sulla stessa riga ma nella colonna di n che, se non è perfetto, dovrà essere approssimato per eccesso o difetto.
Es: 110 = 10, 4881 = 10, 49
NUMERI SUPERIORI A 1000 FINO A 1000000
Si cerca il radicando nella colonna di n2. Si trova la radice in n.
• NUMERI INTERI
Es: 82944 = cerco82944 = trovo82944 = 288
Se devono essere approssimati ai decimali, si deve aggiungere la virgola al radicando e un numero doppio di zeri in base a quante cifre decimali richiede la radice.
Es: 10430,1= 1043,000,1= cerco 104300 = trovo 104329 = 323 = 32, 3
• DECIMALI LIMITATI PERFETTI - si deve riposizionare la virgola successivamente al calcolo, in modo tale che le cifre decimali nel risultato siano la metà di quelle sotto radice. Per cui sotto radice avremo sempre un numero pari di cifre decimali (2 decimali nel radicando danno 1 decimale nel radicale)
Es: 1246, 09 = cerco124609 = trovo124609 = 353 = 35, 3
• DECIMALI LIMITATI APPROSSIMATI - si devono aggiungere un numero doppio di cifre dopo la virgola in base all’approssimazione richiesta, utilizzando gli zeri nei posti mancanti.
Es: 344, 70,1= 344, 70 = cerco 34470 = trovo 34596 = 186 = 18, 6
Con le proprietà delle radici - Si trasforma il decimale nella frazione generatrice corrispondente e si trovano le radici separate del numeratore e del denominatore.
Es:
€
8,90,1= 8,90 = 890 100 =29
10= 2,9 oppure
€
32,70,01= 32,7000 = 327000 10000 =572
100= 5,72
• PERIODICI - si deve aggiungere un numero doppio di cifre dopo la virgola in base all’approssimazione richiesta, utilizzando le cifre del periodo.
Es: 278, 80,1= 278, 88 = cerco 27888 = trovo 27889 = 167 = 16, 7
3. S
COMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI RADICI PERFETTEü Scomporre il radicando in fattori primi;
ü Separo ciascun fattore sotto la propria radice (applicando le proprietà delle radici moltiplicate tra loro);
ü Divido a metà tutti gli esponenti e tolgo il segno di radice:
Es:
€
400 = 24× 52 = 22× 5 = 20
RADICI APPROSSIMATE
ü Scomporre il radicando in fattori primi;
ü Separo ciascun fattore sotto la propria radice (applicando le proprietà delle radici moltiplicate tra loro);
ü I fattori con esponente pari vengono dimezzati; PIPUB
ü I fattori con esponente dispari vengono scomposti con le proprietà inverse delle potenze di uguale base, lasciando sotto radice i fattori con esponente uguale a 1.
Es:
€
36000 = 25× 32× 53= 24× 21× 32× 52× 51 = 22× 2 × 3 × 5 × 5 = 4 × 3 × 5 × 2 × 5 = 60 10
OPERAZIONI CON LE RADICI
Tra le radici è possibile anche effettuare delle operazioni. Ogni radice ha delle caratteristiche da tenere in considerazione per operare:
Tra il coefficiente e la radice è sottointesa una moltiplicazione
• SOMMA E SOTTRAZIONE
La somma è possibile solo con i radicali simili.
Due radicali si dicono simili se hanno la stessa radice e coefficiente diverso.
Es.: 2 7 ; 3 7 ; 4
5 7 sono radicali simili.
La somma di due o più radicali simili è un radicale che ha come coefficiente la somma dei coefficienti, mentre la radice rimane uguale.
Es.: 3 2 −4
5 2 = 3 −4 5
"
#$
%
&' 2 = 15 − 4 5
"
#$
%
&' 2 =11 5 2
IMP: il coefficiente 1 viene sottointeso, ma è importante considerarlo. Es: 5 + 5 = 1 5 +1 5 = 2 5
• MOLTIPLICAZIONE
Il prodotto di due o più radicali è un radicale che ha per radicando il prodotto dei radicandi e per coefficiente il prodotto dei coefficienti.
Es.: 3 7 ⋅ 4 2 = 3 ⋅ 4( ) 7 ⋅ 2 = 12 14 3
4 5 ⋅ 2 5 = 3 4⋅ 2
"
#$
%
&' 5 ⋅ 5 =3
2 25
7 12 2 15 35
8 2 15 35
8 ⋅ = ⋅ =
Proprietà inversa delle radici moltiplicate - se abbiamo una moltiplicazione sotto radice, possiamo calcolare la radice del numero scomposto in fattori, separandoli ciascuno in una radice
Es:
• DIVISIONE
Il quoziente di due radicali (il secondo diverso da 0) è un radicale che ha per radicando il quoziente dei radicandi e per coefficiente il quoziente dei coefficienti.
Es.: 15 36 : 5 3 = 15 : 5( ) 36 : 3 = 5 12 8 4 : 7 3 =8 7
4 3
5 36 5 14 7 18 14 : 5 7
18 = ⋅ =
Proprietà inversa delle radici divise - se abbiamo una frazione sotto radice, possiamo calcolare la radice del numeratore e del denominatore separatamente
Es:
NOTA BENE: In generale, la moltiplicazione e la divisione possono essere eseguite solo tra radicali aventi lo stesso indice. Non applicare tali proprietà quando c’è una somma o sottrazione tra le radici perché il risultato non è lo stesso.
Es:
• POTENZA
Per elevare a potenza un radicale basta elevare a quella potenza sia il radicando che il coefficiente Es.:
(
2 5)
3= 23 53= 8 125Proprietà importante:
( )
a 2 = a Es: oppureESPRESSIONI
UNA SOLA RADICE INTERA DA CALCOLARE ALLA FINE
Sotto il segno di un’unica radice è posta un’espressione numerica il cui risultato è in frazione. I numeri che compongono la frazione sono quadrati perfetti. Si deve calcolare separatamente il numeratore e il denominatore con la proprietà inversa delle radici divise.
Es:
PIÙ RADICI PERFETTE DA CALCOLARE SINGOLERMENTE
nell’espressione ci sono mini-radici da calcolare interamente prima di effettuare qualsiasi operazione.
Es:
9 + 16 ≠ 9 + 16 3 + 4 ≠ 25 7 ≠ 5
3 4−2
3
"
#$
%
&':15 28:1
5+ 1 =
= 9 − 8 12
"
#$
%
&'⋅28 15⋅5
1+ 1 =
= 1
12⋅28 15⋅ 5 + 1 =
= 7
9+ 1 = 16 9 = 16
9 =4 3 30 = 3 ⋅10 = 3 ⋅ 10
16 25 = 16
25 =4 5
( )
5 2= 52= 25 = 5 !"# 53$
%&
2
=5 3
